概率论与数理统计(21世纪高等院校教材)

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第1章 随机事件及其概率
　　在自然界和人类的社会活动中会发生各种各样的现象，这些现象大致可分为两类，分别称其为确定性现象和随机现象。
　　所谓确定性现象，即在一定条件下必然会出现某一结果（或必然发生某一事件）的现象。例如：
　　(1) 向上抛一粒石子必然下落；
　　(2) 纯净水在标准大气压下，加热至100℃时会沸腾，冷却至0℃时会结冰；
　　(3) 异性电荷必然相吸；
　　(4) 两个相邻的自然数相乘得到的数n(n+l)一定是偶数；
　　(5) 质量为m的物体受到外力f的作用必然产生加速度；
　　(6) 一袋中装有10个大小和外形完全相同的白球，搅匀后从中任取的一球必是白球。
　　所谓随机现象，即在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而且不能预先断言出现哪种结果的现象，随机现象在实际生活中是大量存在的，例如：
　　(1) 往地面上抛掷一枚硬币，观察其结果，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且每次在抛掷之前无法确定哪一面朝上；
　　(2) 100件产品中有3件次品，从中任意取出4件，取到次品的件数可能是0，l，2或3；
　　(3) 一袋中装有大小和外形完全相同的三个球：红球、白球和黑球，搅匀后从中任取一球，取到的可能是红球、白球或黑球。
　　我们不妨想象一下。能够使得整个人类，包括一个国家、一个区域、一个家庭乃至每个人感到振奋、幸福、惬意、快乐、悲伤、恐惧、失望及愤怒的那些主宰人们几乎所有激烈情绪的事件，无一不是随机现象：战争给人类带来的难以预料的结果；自然灾害给一个国家和个人带来的损失与苦难；子女的考学给家庭带来的不安与期望。凡此种种，不一而足。
　　可以毫不夸张地讲，整个世界都是在与“随机现象”的“博弈”中生存的。
　　观察一定条件下发生的结果或事件通常称为试验，仅就一次试验而言，随机现象的结果具有不确定性，但是在相同条件下做大量的重复试验时，随机现象的结果又会呈现出一种明显的规律性。例如，往地面上抛掷一枚硬币的次数足够多时，正面朝上和反面朝上的次数大致相同，都占总抛掷次数的一半左右，英国数学家皮尔逊(Pearson)曾经做过24000次抛掷硬币的重复试验，结果正面朝上为12012次，反面朝上为11988次，都接近12000次，这就是随机现象的统计规律性，可见，随机现象具有表面的偶然性和蕴涵的必然性，偶然性就是它的随机性，必然性就是大量的重复实验中呈现出的统计规律性，概率论与数理统计就是从数量的角度研究随机现象规律性的一门学科。
　　作为概率论的入门，本章将主要介绍概率论中两个最基本的概念：随机事件与随机事件的概率；并在此基础上介绍条件概率及三个重要公式（乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式），事件的独立性及伯努利( Bernoulli)概型。
　　1.1 随机事件及其运算
　　1.1.1 随机事件与样本空间
　　研究随机现象，需要对“具备一定条件时，现象是否发生”进行观察，这种观察的过程称为随机试验，简称试验。如：
　　试验1 向一个桌面上掷一颗骰子，观察出现的点数；
　　试验2 一袋中装有四白三黑三红大小形状完全相同的球，搅匀后从中任取一球，观察球的颜色；
　　试验3 抽查流水生产线的一件产品，观察是正品还是次品。
　　随机试验具有以下三个共同特点：
　　(1) 可重复性，即试验可以在相同条件下重复进行；
　　(2) 多结果性，即试验的所有可能结果不止一个，但是预先知道所有可能的结果；
　　(3) 随机性，即每一次试验一定会出现可能结果中的一个，且只出现一个结果；但在试验之前，不能明确预言会出现哪个结果。
　　定义1 称随机试验的所有可能结果组成的集合为该随机试验的样本空间，用Ω表示；试验的每一个结果（即Ω的元素）称为该试验的一个样本点，用ω表示。
　　定义2 称随机试验的样本空间Ω的子集为该试验的随机事件，特别地，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。
　　在每次试验中一定发生的事件称为必然事件，通常用全集Ω表示，在每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件，通常用空集表示。
　　例如，向一个桌面上掷一颗骰子，结果可能是“出现1点”、“出现2点”、 、“出现6点”等。每一个结果都是一个随机事件。另外，“出现的点数不超过5”、“出现的点数超过3”、“出现的点数为偶数”等也都是随机事件。而“出现的点数不超过6”是必然事件，“出现7点”则是不可能事件。
　　在上述随机事件中，“出现1点”、“出现2点”、 、“出现6点”等事件为基本事件；我们把“出现的点数不超过5”、“出现的点数超过3”、“出现的点数为偶数”等事件称为复合事件，每一个复合事件都是由一些基本事件组成的，如“出现的点数为偶数”，就是由“出现2点”、“出现4点”和“出现6点”三个基本事件所组成，可以说，基本事件就是不可分解的事件，而复合事件就是可分解的事件。
　　显然，任何一个随机试验的结果一定是某一个基本事件，因此，样本空间所代表的事件是必然事件。
　　在概率论中主要讨论随机事件，即在试验条件下可能发生也可能不发生的事件。随机事件是样本空间的一个非空子集，一般用大写英文字母A，B，C等表示，然而，偶然和必然的辩证统一性，让我们不能不涉及必然事件和不可能事件，因此，为讨论问题的方便，我们将必然事件和不可能事件也看作随机事件，这与集合论中将全集和空集也看作子集的给定相一致。
　　对一个随机试验，首先要弄清楚它所有的基本事件，进而确定样本空间和随机事件，下面举几个例子。
　　例1 在一个口袋中放有红、黄、绿三个大小形状完全相同的球，从中任取一个并观察它们的颜色，在这个试验中，样本空间Ω由下面三个基本事件组成：
　　例2 试写出下列随机试验的样本空间与指定的随机事件：
　　(1) 从一批产品中任意抽取5件，观察这5件产品中的次品数。
　　事件A=“5件产品中的次品数不超过2件”。
　　(2) 设某零件直径的最大可能误差是±0.1mm.
　　事件B=“误差的绝对值不超过0.05mm”。
　　(3) 盒中装有颜色各为红、黄、白、黑的4个大小形状完全相同的球，搅匀后从中任取两个球，观察球的颜色。
　　事件C=“有白球”。
　　(4) 盒中装有红、黄、蓝三种颜色的粉笔，各色粉笔均超过4支，从盒中任意取出4支粉笔，观察它们有几种颜色。
　　事件D1＝“有红色”， 事件D2＝“有白色”。
　　(5) 观察某地区120急救电话台在某一段时间内接到的呼唤次数。
　　解 (1)设叫wi-i表示所抽5件产品中的次品数为i，则该试验的基本事件为wi＝i(i＝0，1，2，3，4，5)。于是样本空间，而。
　　(2) 该试验的基本事件为区间[-0.1，0.1](单位：mm)中的任一实数w，因此样本空间，而。
　　(3) 该试验的样本空间为Ω={红黄，红白，红黑，黄白，黄黑，白黑}，而
　　C={红白，黄白，白黑}。
　　(4) 该试验的样本空间为Ω＝{红，黄，蓝，红黄，红蓝，黄蓝，红黄蓝}，而
　　D1＝{红，红黄，红蓝，红黄蓝}， D2＝。
　　(5) 该试验的基本事件为wi={呼叫次数为i次}，样本空间为Ω＝{w0，w1，w2， }。
　　例2说明随机试验的样本空间既有离散的，如(1)、(3)、(4)、(5)；又有连续的，如(2)；既有有限集，如(1)、(3)、(4)；又有无限集，如(2)、(5)。
　　1.1.2 随机事件间的关系与运算
　　在研究一个随机现象时，通常会涉及多个随机事件，而且这些随机事件是有关系的。了解事件之间的关系，有助于了解和掌握每个事件的本质，从而使我们通过对简单事件的了解，来研究与之有关的较为复杂的事件。
　　如前所述，一个随机试验的随机事件是样本空间的某个子集。因此，随机事件之间的关系与运算在本质上与集合之间的关系与运算一致，我们将以集合论的观点和表示方法给出随机事件之间的关系和运算。
　　以下设已给定某随机试验的样本空间Ω（全集），A，B，C，A；(i=1，2， )等均表示该试验的随机事件Ω的子集）。
　　1. 事件的包含与相等关系
　　定义3 如果事件A发生时，事件B必发生，则称事件B包含事件A（或事件A含于事件B），记作（或）。如果与同时成立，则称A与B相等，记作A=B.
　　例3 5件同类产品中有两件次品，从中任取三件，设A=“恰取到一件次品”，B=“至少取到一件次品”，C=“最多取到两件正品”，则B=C。
　　2. 事件的和（并）运算
　　定义4 事件A与事件B至少有一个发生，是一个事件，称为事件A与事件B的和（并），记作A+B，即A+B=“A与B至少发生其一”。
　　例4 发行甲、乙两种报纸，按户统计订报情况，设A=“订甲种报纸”，B=“订乙种报纸”，C=“甲、乙两种报纸中至少订阅一种报纸”，则C=A十B。
　　3. 事件的积（交）运算　　定义5 事件A与事件B同时发生，是一个事件，称为事件A与事件B的积（交），记作A B(或AB)，即AB=“A与B同时发生”。
　　如例4中AB-“甲、乙两种报纸都订阅”。
　　事件的并与交运算，可推广到事件为有限个或可列个的情形，若A发生当且仅当A1，A2， 中至少有一个发生，则称A是A1，A2， 的和，记为A=∑Ai或；若A发生当且仅当A1，A2， 同时发生，则称A是A1，A2， 的积，记为或。
　　易见，若，则AB=A.
　　4. 事件的差运算
　　定义6 事件A发生而事件B不发生，是一个事件，称为事件A与事件B的差，记作A-B，即A-B＝A-AB.
　　如例4中A-B=“订甲种报纸而不订乙种报纸”。
　　5. 对立事件（逆事件）
　　定义7 事件A与事件B有且仅有一件发生，是一个事件，称事件A与事件B互为对立事件（逆事件），记作A=B(或B=A)，即A-=“A不发生”。
　　如例4中A＝“未订甲种报纸”。
　　事件A与它的对立事件万有关系：而A -B＝AB.
　　6. 事件的互不相容性（互斥性）
　　定义8 若事件A与事件B不能同时发生，即AB=，则称事件A与事件B互不相容（或互斥）。
　　注意，互逆一定互斥，但互斥未必互逆。比如，掷一个骰子，事件“出现3点”和事件“出现偶数点”是互斥的，但这两个事件并不互逆。
　　若事件组A1，A2， （有限个或可列个）中任意两个事件互不相容（互斥），则称事件组A1，A2， 互不相容（或两两互斥）。
　　易见，基本事件是互不相容的，而两个互斥事件不包含共同的基本事件。
　　7. 完备事件组
　　定义9 若事件组A1，A2， （有限或可列个），互不相容，且∑Ai＝Ω，则称Ai，A2， 构成一个完备事件组。
　　易见，一个随机试验的所有基本事件就构成一个完备事件组；而事件A与它的对立事件万也构成一个完备事件组。
　　完备事件组有时也称为对样本空间Ω的一个剖分（或划分）。下面将会看到，完备事件组是事件间的一种很重要的关系，为便于对照和记忆，我们把随机事件的关系与运算列入表1.1.1中。
　　表1.1.1