线性代数学习指导

作者简介

内容简介

第1章 矩阵
　　一、基础知识导学
　　1.基本概念
　　(1)矩阵乘法:设记其中称矩阵是与的乘积，记为
　　(2)线性方程组:称为个未知数个方程的线性方程组或简称为元线性方程组.
　　记
　　则线性方程组可由矩阵形式表示为
　　称为方程组的系数矩阵，为方程组的增广矩阵.
　　若称为齐次线性方程组;若称为非齐次线性方程组.
　　(3)方阵的行列式的定义:
　　其中为排列的逆序数.
　　(4)余子式:去掉方阵的行列式的元素所在的行与列，剩下的元素所构成的行列式称为的余子式，记为称为的代数余子式.
　　(5)可逆矩阵:设是阶方阵，如果存在阶方阵，使得则称矩阵是可逆的，并称矩阵是的逆矩阵.
　　可逆矩阵又称为非奇异矩阵.
　　(6)伴随矩阵:设是阶方阵，是行列式中元素的代数余子式，称方阵为的伴随矩阵.
　　(7)矩阵的初等行变换:
　　①对换:交换矩阵的两行，记作;
　　②倍乘:用数乘矩阵的第行，记作;
　　③倍加:把矩阵的第行的倍加到第行上去，记作.
　　类似地，将定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换.
　　初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.
　　(8)矩阵等价:若矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，则称矩阵与等价，记作.
　　(9)初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵.
　　(10)行阶梯形矩阵:矩阵的零行在非零行的下方，每个非零行的**个非零元素(即主元)均在上一行**个非零元素的右边.
　　(11)行最简形矩阵:一个行阶梯形矩阵，满足每一个非零行的**个非零元(即主元)均是1，每个非零行的**个非零元所在列的其他元素都是零.
　　(12)标准形矩阵:如果矩阵的左上角为r阶单位矩阵，其余元素为零，则称为标准形矩阵.
　　(13)矩阵的秩:矩阵的不等于零的子式的最高阶数称为矩阵的秩，记作rank(A)(或).并规定零矩阵的秩是零.
　　2.主要定理与结论
　　(1)矩阵乘法满足结合律，一般不满足交换律.
　　(2)分块矩阵相乘，前一矩阵的列分块法与后一矩阵的行分块法必须一致.
　　(3)行列式与其转置行列式的值相等，即.
　　(4)对换行列式的i，j两行(或两列)，行列式的值变号，即.特别地，如果行列式有两行(列)相同，则行列式等于零.
　　(5)行列式的某一行(列)如果有公因数k，则k可以提到行列式符号外，即，若行列式的某一行(列)元素全为零，则行列式等于零;若行列式有两行(列)成比例，则行列式等于零.
　　(6)把行列式第i行(列)各元素的k倍加到第j行(列)的对应元素上(记作)，其值不变.
　　(7)若行列式某一行(列)的元素均可表示为两项之和，则
　　(8)设D为n阶行列式，为元素aij的代数余子式，那么
　　(9)上(下)三角行列式D的值等于其对角线上元素的乘积，即
　　(10)设为阶方阵，若则都是可逆的，且
　　(11)若可逆，则，也可逆，且
　　(12)设A为n阶方阵，则
　　(13)阶方阵可逆的充分必要条件是，且若可逆，则.
　　(14)分块对角阵的幂(或逆矩阵)等于各子块的幂(逆)构成的分块对角阵.
　　(15)设均为可逆方阵，令，则可逆，且，
　　(16)对一个矩阵施行一次初等行(列)变换，相当于在左(右)边乘上相应的阶(阶)初等矩阵.
　　(17)对于矩阵可经过初等变换(行变换和列变换)把它化为标准形，此标准形由三个数完全确定，其中是行阶梯形矩阵中非零行的行数.等价矩阵的标准形相同.
　　(18)方阵可逆当且仅当的行最简形为单位矩阵.
　　(19)方阵可逆当且仅当等价于单位矩阵.
　　(20)方阵可逆当且仅当能表示为有限个初等矩阵的乘积.
　　(21)n阶方阵可逆当且仅当.
　　(22)设为的矩阵，则
　　①;
　　②的充要条件为的所有阶子式全为0;
　　③的充要条件为存在的阶子式不等于0;
　　④矩阵经初等变换后其秩不变;
　　⑤若为可逆矩阵，则;
　　⑥设为矩阵，为矩阵，则;
　　⑦设为矩阵，为矩阵，则;
　　⑧若均为矩阵，则;
　　⑨若，则;
　　⑩若，则可表示为一个列矩阵与一个行矩阵之积.
　　(23)线性方程组的基本定理.
　　①齐次线性方程组.
　　n元线性方程组只有零解的充分必要条件是;
　　n元线性方程组有非零解的充分必要条件是.
　　②非齐次线性方程组.
　　n元线性方程组无解的充分必要条件是;
　　n元线性方程组有解的充分必要条件是其中有唯一解有无穷多解.
　　③克拉默法则.
　　n个未知量n个方程的线性方程组
　　(*)
　　当(且仅当)它的系数行列式时，有唯一解其中是把行列式D的第j列的元素换成方程组的常数项而得到的n阶行列式.
　　对于齐次线性方程组，根据克拉默法则，如果它的系数行列式，那么它只有零解.因此，如果该方程组有非零解，则必有系数行列式.
　　3.主要问题与方法
　　(1)行列式的计算.
　　计算行列式，要根据行列式的特点采用相应的方法.常用方法有:利用定义;利用行列式的性质化行列式为上(下)三角行列式;按某行(列)展开等.
　　(2)与代数余子式相关的问题.
　　我们往往利用下述表达式简化与代数余子式相关的问题.设n阶行列式，那么
　　(3)求矩阵的逆矩阵的常用方法.
　　①利用定义;
　　②利用伴随矩阵;
　　③利用初等行(列)变换.
　　(4)求矩阵秩的常用方法.
　　①利用定义，求矩阵不为零的子式的最高阶数;
　　②利用初等行变换化矩阵为行阶梯形;
　　③利用矩阵秩的相关性质.
　　(5)线性方程组问题.
　　求齐次线性方程组解的步骤:
　　①用初等行变换化方程组的系数矩阵为行最简形矩阵
　　②写出的同解线性方程组
　　③确定自由未知量，并把非自由未知量用自由未知量表示;
　　④令自由未知量为任意常数，将方程组的解写成向量(矩阵)的形式，其中为任意常数.
　　求非齐次线性方程组的解的步骤:
　　①写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵;
　　②利用线性方程组的基本定理判断方程组是否有解，若方程组有解，继续下一步;
　　③把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵;
　　④写出同解线性方程组确定自由未知量，并把非自由未知量用自由未知量表示;
　　⑤令自由未知量为任意常数，将方程组的解写成向量(矩阵)的形式其中为任意常数.
　　当方程组中方程的个数与未知量的个数相等时，此类问题也可直接利用克拉默法则.
　　二、典型例题解析
　　例1.1～例1.13主要是有关行列式的例题.
　　例1.1 计算n阶行列式
　　分析此行列式中每行(列)仅有一个非零元素，故可以利用行列式的定义计算行列式，或者利用行列式的性质化行列式为上(下)三角行列式，或者直接按某行(列)展开进行计算.