图解数学学习法(让抽象的数学直观起来)

作者简介

畑村洋太郎，日本东京大学工学博士，曾任日本工学院大学国际基础工学教授，目前为日本东京大学名誉教授。主要著作有《失败学的启发》、《失败学的进展》、《创造学》、《决定学的法则》、《设计的方法论》等。

内容简介

人们总是异想天开，希望能预知将来会发生什么事情。概率这个概念， 可以说就是人们“预见未来，把握现在”的愿望在数学上的体现。 换句话说，概率只有在事件还未发生、需要预见时才有意义。 人们好像都误解了这一点。大家想一想报道台风情况的新闻。播音员会 说“台风仍在蔓延中”，这很可笑。摄制新闻和播放新闻有时间差，播放时 台风可能已经结束了，这时再预测完全没有意义。 概率的情况也相同，说已经发生的事“概率多少”是完全没有意义的。 那么，数学上是怎么表示预知未来的概率的呢？数学是按照下面的步骤 来思考的： 1．假设所有可能的结果，并一一列出来。 2．对所有的结果一视同仁，将其等量化。 3．计算每个结果与结果总数的比值。 这样算出来的概率，在未来面临选择的时候，为人们提供一个判断的依 据，增加了自信。 人人都有数字信仰，不看到数字就觉得不可信。人们想通过数学精密的 理论体系来预见、把握未知的将来，这才有了概率。 因此，概率思考的是还未发生的未来的事。等到事件发生以后，一切已 成定局，再来谈概率就没有意义了。发生之前可以猜测概率是50％或。70％ ，发生以后概率不是O就是100％了。 这样看来，概率真是个“大老粗”。事物的屙l生千差万别，概率非要 对它们“一视同仁”，强迫大家搞“一刀切”。不过，不这样做就无法进行 预测。 我刚才说过，概率代表了人们“预知未来，把握现在”的愿望。换句话 说，概率不仅是人们预测未来的工具，也是人们选择未来的判断依据。 要注意的是，概率是对未来的思考，而不是对未来的理解。 的确，概率是对未来的思考。但更为紧迫实际的是，现在该如何行动。 因此，光知道未来将会发生什么事还不够，还要利用预测结果，指导现在的 行动。 概率在数学体系中大放异彩的原因也正在于此。概率产生于现实世界， 应用于现实世界。和其他许多数学概念不同，它不是抽象世界的产物。不过 ，概率中有其他数学概念中没有的思维转换。 可能大家觉得上面讲的都是理所当然的事，不需要废话。但是清楚地意 识到概率讲的是未来的事很重要。数学有一种魔力，能把人带入它独特的抽 象世界中。一旦进入这个世界，多数人就会拼命去追寻某一个问题的答案． 深陷其中，再也出不来，于是忘记了自己最初为什么要学数学。 把这10张牌混在一起，然后随便抽出1张。抽出红桃、方块、黑桃、梅 花的概率各是多少呢？这个问题很简单。 这就是答案。 但是，知道这个答案又怎样呢？不进一步思考，就无法把握概率的本质 。只知道概率的值是完全没有意义的。 刚才说过，概率是指导行动的依据。要利用概率来指导行动，需要进行 思维的转换。 概率是按照下图中的步骤求出来的。 但是，光求出概率的值还不够。还要问一问，求出了结果又怎样？求出 概率的值并不是目的。 那目的是什么呢？ 目的是“猜中抽出的是什么牌”。以“猜牌”为目的，就需要把刚才的 步骤倒过来。 人都是功利主义者，为了达到目的，不管怎么偷换概念都无所谓。例如 ，在刚才扑克牌的例子中，本来概率是多次抽扑克牌得出的结果，我们却把 它当成了红桃、方块、黑桃、梅花本来就具有的性质。 但是，只有这样做才能“猜出扑克牌”。也就是说，认为抽出红桃的概 率是■，抽出方块的概率是■，抽出黑桃的概率是■，抽出梅花的概率是■ ，就能据此判断抽出的牌是什么牌面。 人是先思考再行动的动物。正因为如此，人才需要概率。 下面我们来看看实际生活中概率是怎样应用的。 我们最熟悉的概率，就是棒球的打率。 就像前面说过的，打率是把已知的结果数字化，所以可能有些人认为不 能算是概率。确实如此，不过，打率还有一个特点，承认这个特点，才能承 认它也是概率。 这个特点就是，打率是根据过去的成绩来猜测现在和未来的情况。 击球员站在打席上打出安打的可能性，可以通过过去的成绩(打出安打 的打席数／总打席数)推测出来，这就是打率，是根据过去的情况预测将要 发生的事。 这里请大家注意，我们默认了过去、现在、未来有相同的可能性。 这就是前面说到的概率等分原则，也就是“一刀切”。因为谁也不能保 证过去发生的事和将要发生的事有相同的可能性。 击球手面临的状况随比赛进行不断变化。对方的投手是谁，跑垒员的上 垒情况，自己的情况等。严格来说，每个打席、每个球，情况都各不相同。 但是，我们完全无视这些差别，假设“不论何时、不论哪个打席都一样”。 这个假设是打率成立的根本所在。如果不承认这一点，一切就都不成立。 重要的是，承认过去和未来的连续性。要预知未来，只有参考已经发生 的事。 以西雅图水手队的铃木一郎的打率为例，他和亚历桑那州响尾蛇队的兰 迪·约翰逊的比赛成绩是多少？和波士顿红袜子队的贝德洛·马鲁奇内斯的 比赛成绩又是多少？像这样，先把过去所有打席的情况理清楚，得出铃木一 郎的安打占总打席数的31．6％。于是，铃木一郎站在1号击球区的位置，不 论过去还是现在，打出安打的可能性都一样。有了这个前提，31．6％就可 以看做是“铃木一郎在这个打席上打出安打的概率(打率)”。 不过，有时这种假设并不成立，比如说经济预测。社会经济状况每分每 秒都在发生变化。这时，过去和未来的连续性就无法保证。当社会结构发生 变化，各种相关因素也发生巨大改变时，就不可能再根据过去的成绩预测未 来。因此，经济预测都靠不住。P127-134