概率论与数理统计(普通高等教育十一五规划教材)/大学数学教学丛书

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第1章 随机事件和概率
　　1.1 随机事件
　　1.1.1 随机现象和随机事件
　　在自然界与人类社会中普遍存在着两类现象：一类为确定性现象，即在一定条件下必然会发生的现象例如，在标准大气压下，100℃的纯净水必然沸腾；带异性电荷的两个小球一定相互吸引。我们所学过的徽积分、线性代数就是研究确定性现象的数学工具另一类现象为随机现象，即在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先无法确定会发生哪一种结果的现象。例如，在相同条件下抛掷一枚均匀硬币，其结果可能是国徽朝上，也可能是国徽朝下，并且在抛掷之前，无法确定抛掷结果。这是随机现象的偶然性，但经过多次抛掷时，就会发现国徽朝上的次数几乎总是占抛次数1/2左右，这是随机现象内部蕴含的必然规律，这种随机现象的必然性，即为随机现象的统计规律性。概率论与数理统计是一研究和揭示随机现象统计规律性的数学分支。
　　为了研究随机现象的统计规律性，需对客观事物进行多次观察或科学试验（观察或科学试验统称为试验）。如果试验满足以下三个条件：
　　（1）在相同条件下可重复进行；
　　（2）试验的结果不唯一，但其全部可能结果事先已知；
　　（3）试验前不能确定哪一个结果发生。
　　则称其为随机试验，简称试验，记作E。试验的可能结果称为随机事件，简称事件，记作A，B，C， 。
　　下面是随机试验和随机事件的几个例子：
　　E1：掷一颗假子，观察出现的点数；
　　E2：记录电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数；
　　E3：测试某种型号电子元件的寿命。
　　在上述试验中，用A1，A2，A3分别表示下列事件：
　　A1：出现点数为1；
　　A2：单位时间内收到的呼唤次数为100次；
　　A3：元件的寿命大于1000小时。
　　第1章随机事件和概率
　　在随机试验中不能被分解成其他事件组合的简单事件称为基本事件。比如事件A1，A2。
　　在随机试验中，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间或样本空间，记作Ω1其中的元素，即基本事件称为样本点，记作ω。例如，在试验E1中，如用ω1（i=1，2， ，6）表示出现i点，则样本空间。={ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6}，事件A表示“出现奇数点”，则A={ω1，ω3，ω5}。显然，A是ο的一个子集。实际上，任何一个事件都是其样本空间的一个子集，因此事件发生当且仅当这个子集中的一个样本点出现。
　　我们把样本空间。也作为一个事件，因为在每次试验中必然出现。中的某个样本点，也即Q必然发生，所以常称。为必然事件。类似地，我们把空集也作为一个事件，它在每次试验中都不会发生，称为不可能事件。
　　例1.1写出试验E1，E2，E3所对应的样本壁间，并用集合表示事件A1，A2，A3。
　　解E1：Ω={（1点），（2点）， ，（6点）}，
　　E2：Ω={（0次），（1次）， }，
　　E3：Ω={t小时|t≥0}，
　　A1={（1点）}，
　　A2={（100次）}，
　　A3={t小时|t>1000}。
　　1.1.2 随机事件间的关系及运算
　　事件是一个集合，因此事件间的关系和运算可以用集合间的关系和运算来处理，但要注意事件关系和运算的特有含义
　　1.事件的包含与相等
　　若事件A发生导致事件B发生，则称B包含A或称A是B的子事件，记作AB（图1.1.1）。实际上，若A发生，当且仅当A中有样本点出现，由于B也一定发生，因此该样本点一定属于B，故A是B的子集若AcB且BcA，则称A与B相等，记作A=B，其直观意义是事件A与事件B包含的样本点完全相同。
　　图1.1.1
　　2.事件的并与交
　　事件A与事件B至少有一个发生，称为A与B的井或和，记作AUB（图1.1.2）。
　　图1.1.2
　　类似地，事件A1，A2， ，An中至少有一个发生，称为n个事件的并，记作A1UA2U UAn或UAi；可列个事件A1，A2，An，中至少有一个发生，称为可列个事件的并，记作A1UA2U UAn U或UAi.
　　事件A与事件B同时发生，称为A与B的交或积，记作AnB或AB（图1.1.3）。
　　图1.1.3
　　类似地，n个事件A1，A2， ，An的积，记作A1nA2An或Ai；可列个事件A1，A2， An，的积，记作A1，A2，An n或i=1。
　　3.事件的互不相容
　　若事件A与事件B不能同时发生，即AB=0，则称A与B互不相容（或互斥）（图1.1.4）
　　图1.1.4
　　4.事件的逆
　　对于事件A，由不包含在A中的所有样本点构成的集合称为A的逆（或称为A的对立事件），记作A（图1.1.5）。
　　图1.1.5
　　事实上，事件A与事件B是对立事件，当且仅当AB=0且AUB=Ω。
　　5.事件的差
　　事件A发生而事件B不发生，称为A与B的差，记作A-B（图1.1.6），事件A-B是由属于事件A但不属于事件B的样本点构成。
　　由事件的运算可知：A-B=AB=A-AB。
　　图1.1.6
　　6.样本空间的划分
　　为了研究某些较为复杂的事件，常常需要把样本空间。按样本点的属性，划分成若干个事件A1，A2， ，An，当它们满足：
　　（1）AiAj=（i≠j，j=1，2， ，n）；
　　（2）A1UA2U UAn=Ω，
　　则称这n个事件A1，A2， ，An构成样本空间。的一个划分。显然，对于Acn，则A与Ω构成。的一个划分。
　　7.事件的运算律
　　与集合的运算一样，事件的基本运算（并、交、逆）满足下述运算律。
　　（1）交换律：AUB=BUA，AB=BA；
　　（2）结合律：（AUB）UC=AU（BUC），（AB）C=A（BC）；
　　（3）分配律：AU（BC）=（AUB）n（AUC），A（BUC）=ABUAC；
　　（4）对偶律AUB=AB，AB=AUB。
　　例1.2设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系表示下列事件：
　　（1）A，B，C都发生；
　　（2）A与B都发生而C不发生；
　　（3）A，B，C至少有一个发生；
　　（4）A，B，C恰好有一个发生；
　　（5）A，B，C恰好有两个发生；
　　（6）A，B，C至少有两个发生；
　　（7）A，B，C中不多于两个发生。