解题漫谈（单墫解题研究丛书）

作者简介

单墫，我国著名数学传播、普及和数学竞赛的专家。1964年毕业于扬州师范学院数学系，在中学、大学任教四十多年。 1983年获理科博士学位（我国首批18名博士之一），1991年当选全国“优秀教师”，1991年7月起享受政府特殊津贴，1992年评为国家有突出贡献的中青年专家。1995年评为省“优秀学科带头人”。 单墫教授曾任南京师范大学数学系主任，中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长，国家教委理科试验班专家组组长，南京数学学会理事长。 单墫教授主要从事数论与组合方面的研究，很多成果达到国际先进水平。 1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练，1990年作为领队，率队参赛IMO均获总分第1，为我国数学竞赛事业作为很大贡献。

内容简介

1. 溶液浓度 问题：A瓶装180毫升浓度为35.5%的某种溶液，B瓶装120毫升浓度为67.2%的同种溶液。从A、B取出等量的溶液，然后分别倒入B、A.混合后两瓶溶液恰好相等。问各取出多少毫升溶液？ 甲：这个浓度问题，我会做。 师：那你就做一做。 乙：这题我也会做。 师：我把数据改一改，35.5%、67.2%分别改为32.5%、58.4%.你做做看。 过了一会，两人都做好了。 甲：答案是72毫升。 乙：我的答案也是72毫升。 甲：题目数据不同，怎么答案恰好一样，太巧了。 师：看看你们怎么做的。 甲：我用算术方法。 乙：我用代数方法。 师：进入中学，用代数方法更多，我们先看看乙的做法。 乙：设各取出x毫升，则 (180-x)×35.5%+x·67.2%180=(120-x)×67.2%+x·35.5%120 然后去分母整理，最后得出结果。 甲：不见得比算术方法好。 乙：老师怎么做的？师：我的方法和你的差不多。同样设取出x毫升.但将题目中的数据改成字母：A瓶有a毫升浓度为p的溶液，B瓶有b毫升浓度为q的溶液(p≠q)。 甲：那么方程就是 (a-x)p+xqa=(b-x)q+xpb 去分母整理得 (a+b)(p-q)x=ab(p-q) 因为p≠q，所以 x=aba+b.(1) 在a=180,b=120时，x=72。 乙：这比数的计算简单。 甲：不论p、q为什么值，答案都是(1)。 师：代数就是用字母代替数.用字母代替数后，不但计算简单（避免了繁琐的数值计算），而且具有一般性，容易看到规律.学习代数后，就应当自觉地用字母代替数，力求得出一般的结果。 所谓好的解法，就是简单而又一般的解法。 评注：引入字母后，数学发生了巨大的变化。研究的对象不仅是数，而且还有字母。字母可以代表数（起初就是这样），也可以不代表数（比如代表向量、矩阵等等）。字母自成体系（或称为系统），可以有各种运算与规则（比如矩阵可以定义乘法，满足结合律，却不满足交换律）。 2. 力求简单 问题酒精与水的溶液中，酒精∶溶液总量=k∶m.如果再加x个单位的水或者去掉x个单位的酒精（x≠0），那么得到的酒精∶溶液总量的比都相同。求这新的比的数值。 师：还是浓度问题。 甲：不妨设原溶液中有k个单位酒精，(m-k)个单位水。由题意 km+x=k-xm-x(1) 去分母，整理得 x(x+m-2k)=0(2) 所以 x=2k-m(3) 代入（1）的左边得新比的值为 km+x=k2k=12 乙：我设新比为r，则 k=(m+x)r(4) k=(m-x)r+x(5) (4)-(5)得 2xr=x(6) 所以 r=12. 师：不求x，直接得出r。等二种解法稍简单一些。 甲：还有其它解法吗？ 师：题意，在两种情况，酒精与溶液总量的比相等。其中第二种情比第一种，酒精少x个单位，水也少x个单位，即总量少2x个单位。如果将酒精为x个单位，溶液总量为2x个单位的溶液加到第二种情况的溶液中，那么就变为第一种情况，而浓度（酒精与溶液问题的比）不变。所以加入，浓度与它们也相同，即浓度为x2x=12。 乙：这种解法更加简单。 师：其实这种解法与你们的解法并无实质的差异，只不过省去了一些形式上的演算.但省去形式上的演算，更多地用脑思考，对发展思维能力是有益的。 很多数学会议休息时，数学家们边喝咖啡边讨论问题。这时不可能进行纸面上的演算，更需要直接剖析问题的本质。 数学家Erd s曾说：数学家是将咖啡转变成定理的机器”。 单墫老师的书，是许多数学爱好者，尤其是关注数学竞赛的人，是必备之书。本书是单墫老师的新力作。其轻快的文风，亦师亦友的叙述方式，使得令人生畏的数学解题变得轻松有趣起来。