数学的捷径/轻松科普

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第一章 数学的世界 1—1 何谓数学 1—2 为什么要学习数学 1—3 数学研究什么 1—4 生活中的数学 数学是研究思考对象的学问，能够加强人类的逻辑思维能力，我们为了 培养逻辑性的思考和合理解决问题的能力而学习数学。数学从远古以来便被 认为是探求真理的基本途径，作为对自然的理解和技术开发上的工具，它是 科学技术发展的基石。所以我们称数学是科学的女王。如今在工业、金融、 国防、信息通信、医学等领域，都有数学的影子。特别是我们周围，常常存 在着数学，所以我们的生活无时无刻不需要数学思考。因此，数学对于学习 自然科学、工程学和社会科学专业的学生是必修的科目，对于一般人来说， 称数学是提供生活的智慧的学问，一点也不夸张。 为了探求数学的世界，我们有必要在数学的历史、集合与逻辑、代数学 、分析学、几何学、拓扑学、概率与统计，还有现代数学等数学世界中漫步 一圈。 开启新千年的2000年被联合国教科文组织(UNESCO)定为“世界数学年” ，同一年，作为全世界的数学节日——国际数学奥林匹亚(IMO)在韩国举行 。如今，我们必须相信数学将会开启一个新的时代，也必须了解到“数学是 国力的标尺”的含义。 1—1 何谓数学 上面我们所说的3比4大、8的一半是0或3、生和死一样，这样的问题不 是数学研究的对象。因为在数学之中，所谓大的定义不是指数字形状的大小 ，一半的定义也不是针对数字形状而言的。虽然大家对数学有一定的认识， 但是，在本书最后的章节中学习级数问题时，需要更多数学知识的积累。 要简单地说明数学是什么并非易事。当今的文明社会，是以数学为基础 发展而来的，数学能够培养观察各种现象的能力、逻辑思维能力以及合理地 解决问题的能力，它不仅成为其他学科的基础，而且为解决实际生活中的各 种问题提供帮助。“数学”这个词，英文称Mathematics，是从希腊语中表 示学习之意的词Manthano和表示科学之意的词Mathema得来的，因此，英语 中的数学一词更多地表达的是“学习、思维和思考的科学”。 一般而言，自然科学是涉及实体的，而数学涉及人类内心存在的观念性 的对象，是一门抽象性的学问。对于3个可口的糖果和3个好看的石头，数学 性的观念只是“3”这个数中，味道和外观等不是数学研究的对象。在数学 里，球面与圆环虽然是不相同的曲面，但是可以把带手把的杯子和圆环看做 是相同的曲面。 数学是什么 马克思·布兰克：数学研究用符号表达的构造，是一切符号体系的语法 。 怀特海德：数学是所有的模型的形式化和必然性演绎的推论。 克莱因：数学是创造性的过程，从实际问题中找出抽象性概念并且将其 理想化，并通过对相关联的体系进行抽象化后设定问题，直观地引导出可能 的解，同时对之前的设定进行演绎证明。 在关于数学的本质的讨论中，绝对主义的观点认为“数学性的知识是建 立在可靠的基础上的”，而相对主义的观点则坚持“数学性的知识不存在绝 对的基础，即使存在也不能判断出哪一个是基础”。在这里，我们就来了解 一下属于绝对主义的观点中的柏拉图主义、逻辑主义、形式主义和直观主义 。 第一，柏拉图主义的观点认为，数学的对象与构造和人类没有关系并且 客观地存在着，探求的数学方法是一种演绎法。柏拉图主义者认为，研究数 学就是挖掘已经是绝对存在的关系的过程。 第二，以罗素、怀特海德为代表的逻辑主义者认为，数学的所有概念都 是由穷极的集合论概念或者纯粹的逻辑性的构成所引导出的。逻辑主义者持 有的这种观点认为：所有的数学真理都可能由公理和逻辑的推论规则所证明 。 第三，以希尔伯特为代表的形式主义者认为“数学是用没有意义的符号 表示的形式上的游戏”。所以形式主义者相信“在已成构造的符号体系里， 不可能存在真理和意义”。逻辑上没有矛盾的符号体系是主要被关注的对象 。 第四，对于直观主义者来说，他们把数学看做是无止境成长的过程，他 们相信数学是不可能完全被符号化的。并且直脱主义者主张，任何数学性的 命题都必须具备明确的直观意义。 从上面我们看到，虽然对于数学的本质的论点各不相同，但是总体的观 点认为数学是一种思考的方法，是研究图形的学问，是由抽象化的符号所组 成的学问。在数学之中，必须有根据严密的逻辑性的推论得出的思考。数学 就是对物理世界中的对象和关系进行抽象化，并构建出数学模型，继而研究 一切可能的模型。另外，在抽象化的过程中，将缜密地选择出的用语和符号 作为数学的语言使用。 数学的特性是什么 数学是是具有抽象性、形式性、直观性和逻辑性的系统化的学问。 抽象性是数学的第一特性。在数学中，研究的范围不局限于实际存在的 物理对象。自然数是把物体的个数抽象化，三角形的实体是并不存在的。在 数学中，研究的对象是通过抽象化而获得的概念，数学研究这些概念之间的 关系。 形式性是数学的第二个特征。这是指数学根据公理和推论规则的展开， 形式性是为了保证数学有严密的装备。 直观性和逻辑性是数学的第三个特征。数学在诱导新的命题时，需要有 推论的支持。在推论中包括归纳性的推论和演绎性的推论。归纳性的推论是 通过观察、试验、灵感而发现的新的直观性的思考过程。一般地，在数学里 ，根据归纳性的推论发现新的事实，然后用演绎性的推论证明这个事实，最 后确定其是否为真理。另外，数学在基础性内容的基础上，增加新的内容， 不断发展从而具备系统性。也就是说，数学体系是在公理和定义的基础上， 根据演绎推论证明定理，从而逐渐添加新的内容，最后形成从逻辑上具有合 理性的体系。另一方面，数学不是从一开始就以完备的形态存在的，而是不 断变化和发展的，所以数学还具备运动性的特征。 数学的严密性 数学要求严密的计算和证明的过程。为了求得圆周率π的正确值，包括 阿基米德在内的很多数学家通过不懈的努力，最终发现圆周率是一个无理数 。为了证明圆周率不是一个有理数，毕达格拉斯学派的一名学者为此还付出 了自己的生命。 “费尔马最后的定理”是费尔马在一页书中提到的定理，大部分数学家 都相信这个定理是正确的。但直到360年过后，才得出了正确的证明。另外 ，“哥德巴赫猜想”甚至作为小说出版，即使在有上千个例子成立的情况下 ，由于自然数是无穷无尽的，所以不能作为一般的证明。直到250多年之后 的现在还是悬而未解的难题，这也是它被称为“哥德巴赫猜想”的原因。 如此，在数学上，猜想或者假设是指被相信是正确的，但是缺少证明的 命题，这些命题如果没有得到数学的证明，就决不能被认定是正确的。黎曼 假设和庞加莱猜想都设立了悬赏金，但是直至现在数学家还在为试图找出对 它们的证明忙碌着。 P1-5