高等数学导学训练与习题全解

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第1章 函数与极限
　　1.1 集合
　　内容提要与思想方法
　　先介绍实数集R的两类特殊子集.
　　(1)区间
　　开区间:(a，b)={x|a<x<b}.
　　闭区间:.
　　半开半闭区间.
　　无穷区间;
　　注意 这里-∞和+∞只是一个记号，分别是负无穷大和正无穷大.无穷大不是一个数.
　　(2)邻域
　　点a的δ邻域;
　　点a的去心邻域.
　　1.2 函数
　　内容提要与思想方法
　　1.函数的定义
　　(1)函数的两要素函数的定义域和对应法则.
　　(2)函数的表示法解析法、图形法和表格法.
　　(3)分段函数
　　①符号函数.
　　②取整函数.
　　2.函数的特性
　　(1)有界性 设函数f(x)在集D上有定义，若存在常数M1(或者M2)，使对一切x∈D有 (或，则称f(x)在D上有上界(或有下界).
　　若存在正数M，使对一切x∈D有，则称f(x)在D上有界.
　　若对任给的正数M，总存在某个x1∈D，使，就称f(x)在D上无界.
　　(2)单调性 设函数f(x)在集D上有定义，如果对D中任意两个数x1，x2.当x1<x2时，总有，则称函数f(x)在集D上单调增加(或单调减少).
　　当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，则称函数f(x)在集D上严格单调增加(或严格单调减少).
　　(3)奇偶性 设y=f(x)，x∈D，其中D关于原点对称，即当x∈D时，有.如果对任意x∈D，总有(或f(.x)=f(x))，则称函数f(x)为奇函数(或偶函数).
　　在坐标平面上，偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称.
　　(4)周期性 设函数.若存在常数T.=0，使对任意x∈D，总有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的一个周期.通常所说周期函数的周期是指最小正周期.
　　3.反函数
　　设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Y=f(D).若对Y中每一值y0，D中必有唯一一个值x0，使f(x0)=y0，则令x0与y0相对应，便可在Y上确定一个函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作.
　　注意(1)反函数的定义域和值域分别是它的直接函数y=f(x)的值域和定义域.
　　(2)严格单调增加(减少)函数必有反函数，且反函数也是严格单调增加(减少)的.
　　(3)在同一坐标平面内，y=f(x)与y=f-1(x)的图形是关于直线y=x对称的.
　　4.复合函数
　　已知两个函数y=f(u)，u∈D1和.如果，则对每个x∈D.2，通过函数u=φ(x)有确定的u∈D1与之对应，又通过函数y=f(u)有确定的实数y与u对应，从而得到一个以x为自变量、y为因变量、定义在上的函数，称它为由函数y=f(u)与复合而成的复合函数，记作y，其中y=f(u)称为外层函数，称为内层函数，u称为中间变量.
　　5.基本初等函数
　　(1)幂函数y=xμ(μ∈R).
　　(2)指数函数.
　　(3)对数函数.
　　(4)三角函数
　　正弦函数;
　　余弦函数;
　　正切函数;
　　余切函数;
　　正割函数;
　　余割函数.
　　(5)反三角函数
　　反正弦函数;
　　反余弦函数;
　　反正切函数;
　　反余切函数.
　　6.初等函数
　　由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算与有限次的函数复合所产生的能用一个解析式来表示的函数称为初等函数.
　　7.双曲函数
　　双曲正弦函数
　　双曲余弦函数
　　双曲正切函数
　　双曲余切函数
　　典型习题及其详解
　　1.下列各组函数是否相同？试说明理由.
　　(1).
　　(2).
　　解(1)不相同，因为定义域不同.
　　(2)不相同，因为定义域不同.
　　(3)g(x)=h(x)=f(x).
　　2.求下列函数的定义域:
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　解(1)由且，得函数的定义域为
　　(2)由且，得函数的定义域为.
　　(3)函数的定义域为R.
　　(4)由，得函数的定义域为.
　　3.设，如果，试确定a，b，c的值.
　　解 由f(0)=0得c=0，又由，解得.
　　4.通过作图，求下列函数的单调区间.
　　(1);
　　(3)y=sin2x.
　　解(1)y=x2+1的图形如图1.1所示，单调递减区间为，单调递增区间为(0，+∞).
　　(2)y=ln(x+1)的图形如图1.2所示，单调递增区间为.
　　(3)y=sin2x的图形如图1.3所示，单调递减区间为， ，单调递增区间为.
　　图1.1
　　图1.2
　　图1.3
　　5.下列函数是不是周期函数？如果是，指出它的周期.
　　(1)y=|sinx|;
　　(2)y=cos2x;
　　(3)y=xtanx;
　　(4)y=2cos(πx+1).
　　解(1)是周期函数，周期为π.
　　(2)是周期函数，周期为π.
　　(3)不是周期函数.
　　(4)是周期函数，周期为2.
　　6.求下列函数的反函数.
　　(1)y=sinhx;
　　(2)y=coshx(x>0).
　　解(1)由x=sinhy，有.
　　令u=ey，则由上式有，它的根为，因u=ey>0，所以
　　由于y=lnu，故得y=sinhx的反函数为.
　　(2)由，有x.
　　令u=ey，则由上式有，它的根为，即，因y>0，所以.故得的反函数为.
　　7.下列各函数是由哪些基本初等函数复合而成的？
　　(1);
　　(2);
　　(3).
　　解(1).
　　(2).
　　(3).
　　(4).
　　8.设，写出的表达式.
　　解.
　　9.设，证明:
　　(1)
　　(2)
　　10.证明:
　　(1);
　　(2);
　　(3);
　　(4);
　　(5).
　　证(1)
　　(2)同理可证
　　(3)