工程数学复变函数矢量分析与场论数学物理方法

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第3章留数及其应用 第3章留数及其应用 留数是复变函数中特有的概念，它在复变函数论和其他实际问题中都有重要应用. 3.1留数与留数定理 定义3.1设z0是f(z)的孤立奇点，即f(z)在z0的去心邻域0<|z-z0|<ε内解析，f(z)在此邻域内的洛朗展开式为 f(z)=∑∞n=-∞Cn(z-z0)n.(3.1) 设L是0<|z-z0|<δ内包含z0的任意一条简单闭曲线，对式(3.1)两边积分，得 ∫Lf(z)dz=2πiC-1, 称 C-1=12πi ∫Lf(z)dz 为f(z)在z0的留数(也称为残数)，记为Res［f(z),z0］或 Res(f,z0). 从上述定义可以知道，如果z0是f(z)的可去奇点，那么Res(f,z0)=0. 定理3.1(留数定理)设D是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C.设f(z)在D内除去有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外，在每一点都解析，并且它在C上每一点都解析，那么有 ∫Cf(z)dz=2πi∑nk=1Res(f,zk),(3.2) 这里沿C的积分按关于区域D的正向取. 证明以D内每一个孤立奇点zk为心，作圆γk，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点.从D中除去以这些γk为边界的闭圆盘的一个区域G，其边界是C以及γk，在G及其边界所组成的闭区域上，f(z)解析.因此根据柯西定理，有 ∫Cf(z)dz=∑nk=1∫γkf(z)dz, 这里沿C的积分是按关于区域D的正向取的，沿γk的积分是按反时针方向取的.根据留数的定义，定理的结论成立.第3章留数及其应用 第3章留数及其应用 留数是复变函数中特有的概念，它在复变函数论和其他实际问题中都有重要应用. 3.1留数与留数定理 定义3.1设z0是f(z)的孤立奇点，即f(z)在z0的去心邻域0<|z-z0|<ε内解析，f(z)在此邻域内的洛朗展开式为 f(z)=∑∞n=-∞Cn(z-z0)n.(3.1) 设L是0<|z-z0|<δ内包含z0的任意一条简单闭曲线，对式(3.1)两边积分，得 ∫Lf(z)dz=2πiC-1, 称 C-1=12πi ∫Lf(z)dz 为f(z)在z0的留数(也称为残数)，记为Res［f(z),z0］或 Res(f,z0). 从上述定义可以知道，如果z0是f(z)的可去奇点，那么Res(f,z0)=0. 定理3.1(留数定理)设D是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C.设f(z)在D内除去有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外，在每一点都解析，并且它在C上每一点都解析，那么有 ∫Cf(z)dz=2πi∑nk=1Res(f,zk),(3.2) 这里沿C的积分按关于区域D的正向取. 证明以D内每一个孤立奇点zk为心，作圆γk，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点.从D中除去以这些γk为边界的闭圆盘的一个区域G，其边界是C以及γk，在G及其边界所组成的闭区域上，f(z)解析.因此根据柯西定理，有 ∫Cf(z)dz=∑nk=1∫γkf(z)dz, 这里沿C的积分是按关于区域D的正向取的，沿γk的积分是按反时针方向取的.根据留数的定义，定理的结论成立. 结合工程数学学时少的实际，本书将复变函数、场论与实量分析、数学物理方法合在一起讲述。另外，讲解中还借助Maple软件来处理繁琐的计算与推导过程。