高等数学(下第2版普通高等教育十三五应用型本科规划教材)

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第7章微分方程微积分研究的对象是函数关系，但在大 量的实际问题中，往往并不能直接得到所需的函数，却比 较容易建立这些函数与它们导数或微分之间的联系，从而 得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，这种方程叫 做微分方程。微分方程建立以后，对它进行研究并*终求 出未知函数的过程，叫做解微分方程。 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系 。本章主要介绍微分方程的一些基本概念以及几种常见微 分方程的求解方法。 7。1微分方程的基本概念 现实世界的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题 ，下面通过几何学、物理学、经济管理学领域的一些例子 来阐述微分方程的基本概念。 7。1。1引例 例1一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M（ x，y）处的切线的斜率为2x，求曲线的方程。 解设所求曲线的方程为y＝φ（x）。根据导数的几何 意义可知，未知函数y＝φ（x）应满足关系式dydx＝2x（ 7。1。1）根据题意，y＝φ（x）还需满足下列条件： 当x＝1时y＝2 对式（7。1。1）两端积分，得y＝∫2xdx，即y＝x2 ＋C其中C是任意常数。 把条件“当x＝1时y＝2”代入上式，得 C＝1第7章微分方程7。1微分方程的基本概念［1］［ 2］即所求曲线方程为y＝x2＋1例2设质量为m的物体只*重 力作用由静止开始自由垂直降落。若取物体降落的垂直方 向为x轴，其正向朝下，求物体下落的距离x与时间t的函数 关系x＝x（t）。 解根据牛顿第二定律可建立函数x（t）满足的微分方 程d2xdt2＝g（7。1。2）根据题意，x＝x（t）满足下列 条件：x（0）＝0，dxdtt＝0＝0对式（7。1。2）两端积 分一次，得dxdt＝gt＋C1（7。1。3）再积分一次，得x＝ 12gt2＋C1t＋C2这里C1，C2都是任意常数。 把条件x（0）＝0，dxdtt＝0＝0代入上式和式（7。1 。3），得C1＝0，C2＝0故物体下落的距离x与时间t的函 数关系为x＝x（t）＝12gt2例3如果某商品在时刻t的售价 为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数Q（P ），S（P），则在时刻t的价格P（t）对于时间t的变化率 可认为与该商品在同一时刻的超额需求量Q（P）－S（P） 成正比，即有微分方程dPdt＝k［Q（P）－S（P）］（k＞ 0）（7。1。4）在Q（P）和S（P）确定的情况下，可解出 P（t）与时间t的函数关系（过程略）。 7。1。2微分方程定义 上述三个例子中的式（7。1。1）、式（7。1。2）、 式（7。1。4）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程 。一般地，表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间 的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程。 微分方程中所出现的未知函数的*高阶导数或微分的 阶数，叫做微分方程的阶。如方程（7。1。1）是一阶微分 方程，方程（7。1。2）是二阶微分方程。我们把未知函数