微分方程数值方法（第2版普通高等教育十一五规划教材）

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第一部分常微分方程的
　　数值解法
　　本书开篇，我们首先讨论常微分方程初值问题的数值方法．常微分方程作为微分方程的基本类型之一，是生产和科学发展的得力助手和工具．自然界与工程技术中的很多现象，其数学表述归结为常微分方程定解问题．很多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解．因此，常微分方程的数值解法是微分方程数值分析的基础内容．由于生产和技术需要的推动，经过长时间的发展，特别是电子计算机诞生以来的大发展，常微分方程定解问题的数值解法已经比较成熟，理论是比较完善的，数值分析工作者构造了许多有实用价值的方法，并且形成了计算机软件．
　　常微分方程数值解法主要分为两大部分，初值问题与边值问题的数值方法．本部分只讨论初值问题，而不涉及边值问题．因为后者的典型问题与椭圆型方程边值问题具有很多相近性，我们将它放到第二部分第2章讨论．
　　第1章常微分方程初值问题
　　本章讨论一阶常微分方程初值问题
　　(1.0.1)
　　的数值求解，其中f为t和u的已知函数，u0为给定的初值.为方便，我们做如下基本假设：设函数f(t，u)在区域丸内连续，并且关于u满足Lipschitz条件，亦即，存在常数L(以后称为Lipschitz常数)，对所有和u1，u2，有
　　由常微分方程理论，在上述基本假设下，初值问题(1.0.1)在区间[t0，T]上有唯一解u(t)，并且u(t)以为连续可微的.进而，解函数u(t)连续地依赖于初值及右端.
　　在常微分方程理论中，已对某些类型的初值问题(1.0.1)提出了一些解析求解方法，但都满足不了生产实践与科学技术发展的需要.本章着重讨论初值问题(1.0.1)的数值解法，它是一种具有实用价值的方法.
　　什么是数值解法？它是一种离散化方法，利用这种方法，可以在一系列离散点t1，t2， ，tN上求出未知函数u(t)之值的近似值.自变量t的离散值t1，t2， ，tN是事先取定的，称之为节点，通常取成等距的，即，其中h>0称为步长，必要时，可以改变它的大小.而，通常称为初值问题的一个数值解.
　　本章1.1节将以最简单的数值方法为例，说明数值解法中的基本概念和主要讨论的问题.1.2节讨论最常用的单步方法一一Runge-Kutta法，并相应研究它的理论问题.1.3节导出另一类重要方法一一线性多步方法，同时讨论它的使用.1.4节讨论线性差分方程的基本性质，它是本章以后各节对数值方法进行理论分析的工具.1.5节对一般多步方法(包括单步方法及线性多步方法)进行理论分析，讨论它们的收敛性问题，并给出相应的充要条件.1.6节讨论舍入误差对数值解的影响，分析数值方法的绝对稳定性质.1.7节将前述各节的结果推广到一阶微分方程组的情形，并简介一类具有特殊性质的方程——刚性(stiff)方程的数值求解问题.
　　1.1基本概念Euler法与梯形法
　　本节通过Euler法及梯形法的讨论，说明常微分方程数值解法中的一些基本概念与主要研究的问题.
　　1.1.1Euler法
　　Euler法是最简单的数值方法.考虑初值问题(1.0.1).由于u(t0)=u0是已知的，可以算出.设，当h充分小时，则近似地有
　　从而可取
　　作为u(t1)的近似值.类似地，利用U1及f(t1，u1)又可算出u(t2)=u(t0+2h)的近似值
　　一般地，用un表示u(tn)的近似值，在任意节处，的近似值由下式给出
　　(1.1.1)
　　这就是Euler法的计算公式.
　　显然，近似值un依赖于步长h，换言之，由不同的h1及h2算出的近似值un，h1及un，h2是不同的.为简化记号，在不至于混淆的情况下，仍用un表示近似值un，h.
　　Euler法的几何意义是十分清楚的：在这种方法中，实际上是用一条过(t0，u0)的折线来近似替代过(t0，u0)的积分曲线，如图1.1.1所示.因此，这种方法又称为折线法.
　　图1.1.1Euler折线法的数值解与真解比较
　　为考察由Euler法提供的数值解是否具有实用价值，首先应该知道，当步长h取得充分小时，所得数值解un能否足够精确地逼近初值问题(1.0.1)的真解u(tn).这是所谓收敛性问题.其次，还必须顾及数值解与真解之间的误差，以便在实际计算中根据精度要求确定计算方案.在Euler法中，数值解的误差首先是由差商代替导数引起的，这种近似替代所产生的误差称为截断误差.其次，计算过程中还会由于数值的舍入产生另一种误差一一舍入误差.由于Euler法是一种步进方法，显然，只有当最初产生的误差在以后各步的计算中不会无限制扩大时，换言之，只有当(1.1.1)的解对初值具有某种连续相依性质时，方法才具有实用价值.这种性质称为稳定性问题.
　　上述收敛性、截断误差估计与稳定性问题也是常微分方程初值问题其他数值方法的研究中，必须解决的基本问题.现在，先对Euler法一一讨论这些问题.
　　首先讨论Euler法的截断误差估计及收敛性问题.由常微分方程理论，初值题(1.0.1)可写成等价的积分形式
　　于是
　　(1.1.2)
　　在上式中，令t=tn，并用左矩形公式计算右端积分，则有
　　(1.1.3)
　　其中
　　舍去Rn，并用un替代u(tn)，则得到公式(1.1.1).
　　Rn称为Euler法的局部截断误差，它表示当un=u(tn)为精确值时，利用公式(1.1.1)计算u(tn十h)的误差.在逐步计算的过程中，局部截断误差要传播要积累，因此，还必须对这种误差的积累与传播作出估计.
　　设是在无舍入误差情况下，用(1.1.1)计算出的数值解，u(t)为真解， Euler法(1.1.1)的截断误差，或更精确地称为整体截断误差.为估计，先给出Rn的上界.
　　从式(1.1.3)知，