线性代数

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第1章行列式
　　行列式是人们从求解线性方程组的需要中建立和发展起来的，而又远远超出求解线性方程组的范围，在求矩阵的秩、求矩阵的特征值、判断向量组的线性相关性、判断二次型的正定性等方面都有应用，成为线性代数重要的工具.
　　1.1行列式的概念
　　1.1.1二阶与三阶行列式
　　行列式的概念起源于解线性方程组，因此我们首先讨论解方程组的问题.
　　设有二元线性方程组
　　(1.1)
　　用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22-a12a21≠0 时，有
　　(1.2)
　　为了方便记忆， 我们引进下面的符号来表示式(1.2)这个结果．
　　定义1我们称
　　(1.3)
　　为二阶行列式．
　　图1.1
　　它含有两行两列．横的称为行，纵的称为列．行列式中的数aij(i=1，2;j=1，2)称为行列式第i行，第j列的元素．从式（1.3）知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又称行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又称次对角线)上两个元素的乘积，取负号.此为对角线法，如图1.1所示.
　　根据定义，易知式(1.2)中的两个分子可分别写成
　　记，其中，D1是将D中的**列换成常数项得到的，D2是将D中的第二列换成常数项得到的.则当D≠0时，方程组(1.1)的解(1.2)可以表示成
　　(1.4)
　　这样将解用行列式来表示，形式简洁整齐，同时也便于记忆．
　　例1用二阶行列式解线性方程组
　　解
　　因此，方程组的解是.
　　对三元一次线性方程组
　　(1.5)
　　作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．
　　定义2我们称
　　(1.6)
　　为三阶行列式．
　　图1.2
　　它有三行三列，是六项的代数和， 每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号．其规律遵循图1.2所示的对角线法则：图中有三条实线看作平行于主对角线的连线，三条虚线看作平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号.
　　当D≠0时，方程组（1.5)的解可简单地表示成
　　(1.7)
　　它的结构与前面二元一次方程组的解类似．
　　例2计算
　　解
　　例3解线性方程组
　　解
　　所以
　　例4已知