高等流体与气体动力学

作者简介

内容简介

绪 论
　　流体力学是研究流体宏观运动规律的一门学科，它是人类在与自然界作斗争和生产实践中逐步发展起来的。流体力学是一门既古老而又年轻的学科：一方面它涵盖了很多经典理论，例如理论流体力学建立至今已有200多年的历史；另一方面随着科学技术进步，它本身仍在不断发展完善，例如现代流体力学与其他学科相结合形成了很多新的分支学科或交叉学科。流体力学是一个很有生命力的学科，其发展经历了以下几个主要阶段。
1．公元前250年～17世纪——知识积累期
　　流体力学基本理论的最初萌芽可以追溯到公元前3世纪，大约在公元前250年，古希腊科学家阿基米德在其著作《论浮体》中提出了浮力定律，奠定了流体静力学的基础。此后千余年间，流体力学在系统理论上并未出现重大发展。直到15世纪，达 芬奇（D. Vinci）在其著作中才谈到水波、管流及鸟的飞翔原理等问题；1644年，托里拆利（E. Torricelli）制成气压计并论证了孔口出流问题的基本规律；1650年，帕斯卡阐述了密闭流体能够传递压强的原理，即帕斯卡原理。
2．17～19世纪——经典流体力学
　　17世纪末期开始，流体力学进入了创立与发展阶段。作为力学的一个分支，流体力学随着经典力学中质量、动量、能量三个守恒定律的提出，逐渐成为一门独立的学科。
　　1686年，力学奠基人牛顿提出了黏性流体运动时的内摩擦力公式，即牛顿内摩擦定律，为建立黏性流体运动方程组奠定了基础。但是牛顿并没有建立起流体力学的系统理论，他提出的许多力学模型和结论同实际情形还有较大差异。1738年，丹尼尔 伯努利（D. Bernoulli）将经典力学中的能量守恒原理引入流体力学，通过实验方法建立了流体定常流动下的压强、高度和速度的关系式，即伯努利方程。1775年，欧拉提出了连续介质模型概念，阐述了描述流体运动的欧拉方法，建立了理想流体的运动微分方程，即欧拉运动微分方程，奠定了连续介质力学基础，成为理论流体力学的奠基人。欧拉方程和伯努利方程的建立是流体力学作为一个分支学科建立的标志，从此流体力学进入了用微分方程和实验测量进行流动定量研究的阶段。在18世纪以后，经典流体力学在许多领域得到了不同程度的应用，但由于经典流体力学是建立在不考虑流体黏性的基础上的，其原理在很多工程问题中不能应用。
　　1752年，达朗贝尔（d’Alembert）通对运河中船只所受阻力的实验研究，证实了阻力与物体运动速度之间的平方关系，他还提出了著名的“达朗贝尔悖论”，即理想流体中运动的物体既没有升力也没有阻力，这一论点从反面说明了理想流体假设的局限性。随着工程技术的快速发展，为了解决诸多工程实际问题，尤其是带有黏性影响的流动问题，工程师将流体力学理论与实验结果相结合建立了诸多半经验公式，逐渐形成了水力学学科。1732年，皮托（H. Pitot）发明了测量流体流速的皮托管；1769年，谢才（A. Chezyap）提出了计算明渠流动的流速和流量的谢才公式；1897年，文丘里（R. Venturi）研制了测量有压管道流量的文丘里管。
　　从19世纪开始，随着工业革命的发展，流体力学进入了全面发展并日趋完善阶段。在这一时期，出现了一系列经典理论与方程，包括：1802年，盖 吕萨克（J. L. G. Lussac）建立了完全气体的状态方程；1822年，傅里叶（J. B. J. Fourier）建立了傅里叶导热定律；1827年，拉普拉斯提出了拉普拉斯方程。
　　1822年，纳维（C. L. M. H. Navier）建立了黏性流体的基本运动微分方程；1845年，斯托克斯（G. G. Stokes）从流体微团运动分解的角度更简洁严谨地导出了这个方程，这组方程就是沿用至今的纳维-斯托克斯方程，从而奠定了黏性流体动力学的理论基础，欧拉方程正是纳维-斯托克斯方程在黏度为零时的特例。1839年，哈根（G. H. L. Hagen）和泊肃叶（J. L. M. Poiseuille）研究圆管内的黏性流体流动，给出了哈根-泊肃叶公式；1845年，亥姆霍兹（H. V. Helmholtz）建立了涡旋的基本概念，提出了旋涡运动定理，并于1860年提出将流体微团的运动分解为平动、旋转和变形三种形式，奠定了涡动力学基础，从而成为无黏性有旋流动研究的创始人。1851年，斯托克斯研究小球在黏性流体中的运动，给出斯托克斯阻力公式；1855年，菲克（A. Fick）提出了菲克第一扩散定律，为研究流体力学的传质、传热问题奠定了基础；1868年，兰金（W. J. M. Rankin）指出理想不可压缩流体运动的势函数与流函数均满足拉普拉斯方程，并将直均流与源、汇等流动进行叠加；1878年，兰姆（H. Lamb）出版流体力学经典著作《流体运动的数学理论》，1895年增订再版时改名为《流体动力学》；1878年，瑞利（L. Rayleigh）研究有环量的圆柱绕流问题时发现了升力，从理论上解释了马格努斯效应。
3．19世纪末期～20世纪中期——现代流体力学
　　从19世纪末期开始，随着现代工业和新技术的发展，以纯理论分析为基础的经典流体力学和以实验研究为基础的水力学，都已不能适应生产发展的需求。在这一背景下，理论与实践的结合日趋紧密，流体力学得到了突破性进展，逐渐形成了理论与实验并重的现代流体力学。
　　1883年，雷诺（O. Reynolds）完成著名的雷诺转捩实验，得到了判断流态的判据——雷诺数；1894年他又提出了雷诺应力的概念，应用时间平均法建立了湍流运动基本方程，即雷诺平均方程，为湍流理论的建立奠定了基础。瑞利提出的量纲分析法和雷诺的相似理论，在一定程度上解决了流体力学研究中的理论分析与实验相结合的问题。
　　1904年，普朗特（L. Prandtl）将纳维-斯托克斯方程作了简化，从推理、数学论证和实验测量等各个角度，提出了划时代的边界层理论。这一理论既明确了理想流体的适用范围，又能计算物体运动时遇到的摩擦阻力，为飞机制造和航空业的发展铺平了道路，标志着现代流体力学的建立。
　　在此阶段，飞机的出现极大地促进了空气动力学的发展。为了解决气体流动的可压缩性问题，1870年兰金（P. H. Rankine）、1887年于戈尼奥（W. J. M. Hugoniot）各自导出了激波前后气体参数间的关系式；1887年，马赫（E. Mach）发现物体在超声速运动中产生的波，并得到了马赫角关系式；1891 年，兰彻斯特（F. W. Lanchester）提出速度环量概念，建立了升力理论，并发展了有限翼展理论；1905年，普朗特建成超声速风洞；1910年，卡门（T. V. Karman）建立卡门涡街理论；1921年，泰勒（G. I. Taylor）提出湍流统计理论基本概念，随后他又研究了同心圆筒间旋转流动的稳定性，发现了泰勒涡；1926年，普朗特提出湍流的混合长度理论；1929年，阿克莱将气体流速与当地声速之比定义为马赫数；1940年，周培源创建湍流模式理论；1941年，钱学森和卡门导出机翼理论的卡门-钱学森公式。
4．20世纪中期至今——当代流体力学
　　20世纪40年代以后，由于喷气推进和火箭技术的应用，飞行器速度超过声速，进而实现了航天飞行，使气体高速流动的研究进展迅速，形成了气体动力学、物理-化学流体动力学等分支学科。
　　从20世纪60年代起，高新技术工业的发展和电子计算的广泛应用，促使流体力学和其他学科的互相交叉渗透，形成许多新的交叉学科或边缘学科，如研究两相或三相共存的两相流和多相流，研究流动中有化学反应的化学流体力学，研究磁流体发电的磁流体力学，研究星云运动的天体流体力学，研究生物体内流体传输运动的生物流体力学等。流体力学这一古老的学科焕发出强大的生机与活力，发展成多个学科分支的学科体系。
第1章 场论与张量初步
　　本章主要介绍气体动力学与黏性流体力学的数学基础知识，包括场论基础、张量表示法。
1.1 场论基础
1.1.1 场的定义与几何表示
　　在自然科学中，常常要描述某种物理量在空间的分布和变化规律，为了揭示和探索这些规律，数学上提出了场的概念。
1．场的定义
　　如果空间里的每个空间点，都对应某个物理量的一个确定的值，则称这个空间里确定了该物理量的场。
　　如果研究的物理量是数量，就称这个场为数量场或标量场，例如温度场、密度场、压强场等，可用函数 表示。如果研究的物理量是矢量，就称这个场为向量场或矢量场，例如速度场、力场、电磁场等，可用函数 表示。
　　若在同一时刻，场内各点的值都相等，则称此场为均匀场［可表示为 ］，否则为非均匀场。若场中物理量在各点处的值不随时间而变化，则称该场为定常场或稳态场［可表示为 ］，否则为非定常场或非稳态场。
场论是研究标量场和矢量场数学性质的一个数学分支。
2．场的几何表示
　　采用几何方法即用图形表示一个场既直观又便于理解，是极为方便实用的。下面引入标量场和矢量场的几何表示。
1）标量场的等值面
　　对于某个标量场，物理量可以用一个函数来表示，我们假定这个函数具有一阶连续偏导数：
（1-1）
　　为了直观地研究物理量 在场中的分布情况，常常要考查场中具有相同物理量的点。任取一固定时刻 ，研究该时刻物理量数值相等的点，令
（1-2）
　　与这个方程相对应的曲面称为标量场的等值面（或等位面）。在等值面上 值都相等，如果取一系列不同的 值，可得到空间中一族与之对应的等值面。这族等值面将整个标量场分成很多区域，如图1-1所示。
　　在标量场中，等值面的特点如下：①等值面连续充满整个标量场所在空间且互不相交；②通过标量场的每一点有一个等值面，但一个点只能在一个等值面上；③等值面的疏密可反映数量函数的变化状况，例如等值面密集的地方函数变化得快，等值面稀疏的地方函数变化得慢。
2）矢量场的矢量线
　　矢量场中的矢量既有大小又有方向，需分别进行几何表示。矢量的大小也可以用上述等值面的概念来几何表示，而矢量的方向可以采用矢量线来表示。
　　所谓的矢量线是这样的曲线，线上每一点的切线方向都与该点的矢量方向重合。例如静电场中的电力线，磁场中的磁力线，流场中的流线。
　　下面我们来讨论确定矢量线的方程。
　　已知矢量场 ，假设 为矢量线上任意一点，其对应的微元矢径 ，在 点与矢量线相切，则 与矢量 必定共线，即 ，于是，可得矢量线微分方程：
（1-3）
　　对微分方程（1-3）积分可得矢量线族，再以 点为边界条件即可确定过 点的矢量线。在确定矢量线之后，则可以用矢量线的切线方向确定场内每点的矢量方向。如果在场中取任一非矢量线的封闭曲线 ，通过 上每一点作矢量线，则这些矢量线所包围的区域称为矢量管。
【例1-1】已知矢量 ，求通过点(1， 2， 1)的矢量线方程。
　　解　由于矢量线方程为 ，当 时， ，积分得通解为 ，则 ，将 代入可得 ，因此 。
　　当 时， ，积分得 ，则 ，将 代入可得 ，因此 。
　　所以通过点(1， 2， 1)的流线方程为 。
【例1-2】已知二维流场中的速度分布 ，求流线方程，并分析流动情况。
　　解　对二维流动问题，流线方程为 ；将速度表达式代入流线方程得 ，整理得 。于是积分可得流线方程为 。
　　在本例中，由流线方程可知，该流动的流线为一族以坐标原点为圆心的同心圆，流体绕坐标原点做圆周运动。
1.1.2 标量场的梯度
　　在标量场中， 可以表示标量 在场中的总体分布情况，但无法描述标量 在场中每点邻域内沿某一方向的变化情况，为此我们引入方向导数的概念。
1．方向导数
　　如图1-2所示，在场中任取一点 ，过 点作曲线 ，用极限 表征标量函数 在 点上沿曲线 方向的函数变化，称为 在 点上沿 方向的方向导数，用 表示