数学中的奥秘/科技探索第一视野

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正整数的产生是在有史以前，人类起先并没有数 的概念，对于物质世界中的数量关系的认识，只有一 些模糊的感觉，这种感觉，有人称之为“数觉”。已 经证实，有些动物，如许多鸟类也具有“数觉”。由 于入类能认识世界，改造世界，在长期实践过程中， 形成了数的概念。 在远古时代，原始人为了谋生，最关心的问题是 ——有没有野兽、鱼和果实，有则可以饱餐一顿，无 则只好饿肚子。因此，人类就有了“有”与“无”的 认识。进一步认识“有”的结果，引出了“多”与“ 少”的概念。这就使人类对数量关系从孤立的认识提 高到了比较阶段。 在多与少的分辨中，认识“1”与更多的区别又 是必然而关键的一步。从孩儿认识“1”的过程可以 推测，人们最初对“1”的认识是由于人通常是用一 只手拿一件物品产生的。也就是说，它是由一只手与 一件物品之间的反复对应，在人的头脑中形成的一种 认识。 建立物体集合之间的一一对应关系是数(sh0)“ 数”活动的第一步。在这一活动中，不仅可以比较两 个集合的元素之间的多或少，更主要的是可以发现相 等关系，即所谓的等数性。 尽管集合与映射的概念直到19世纪才出现，但人 们对集合间等数性的认识与集合间的一一对应思想却 早已有之。因而，人们用所熟悉的东西来表示一个集 合的数量特征。例如，数“2”与人体的两只手、两 只脚、两只耳朵、两只眼睛等联系在一起。汉语中的 “二”与“耳”同音，也即某一个集合中元素的个数 与耳朵一样多，这就是利用了等数性。据说，古代印 度人常用眼睛代表“二”。 在数的概念形成过程中，对等数性的认识是具有 决定意义的。它促使人们使用某种特定的方式利用等 数性来反映集合元素的多少。 根据考古资料，远古时代，人们用来表示等数性 的方法很多，例如，利用小石子、贝壳、果核、树枝 等或者用打绳结或在兽骨和泥板上刻痕的方法。这种 计算方法的痕迹至今仍在一些民族中保留着。有时候 ，为了不丢失这些计算工具，而把贝壳、果核等穿在 细绳或小棒上，这样记下来的并不是真正的、抽象的 数，只是集合的一类性质——数量特征的形式转移。 除了实物计数，人们还利用自己的身体来计数， 利用屈指来计数：表示一个物体伸一个指头，表示两 个物体伸两个指头，如此下去。直到现在，南美洲的 印第安人还是用手指与脚趾合在一起表示数“20”。 屈指计数为五进制、十进制等记数制的产生提供可能 ，当这种可能变成事实时，数的概念连同有效的计数 技术也就产生了。 等数性刻画了集合的基数。当人们利用屈指记数 时，不自觉地从基数转入了序数。例如，要表示某一 集合包含三件事物时，人们可以同时伸出三个手指， 这时的手指表示基数。如果要计数，他们就依次屈回 或伸出这些手指，这时手指起了序数的作用。 无论是实物计数还是屈指计数都不是最理想的计 数方法。实物计数演变为算筹、算盘。屈指计数沿着 两个方向发展。 一个方向是探求手指计数的更理想的发展。例如 ，新几内亚的锡比勒部族人，利用手指和身体的其他 部位，可以一直计数到27。中国有一种手指计数法， 最高可算到10万。即使在现代，除了小孩初学计数时 仍用手指外，在证券交易所也有用手指计数的。但随 着数的语言、符号的产生，教育的普及，屈指计数的 技术最终还是被淘汰了。 屈指计数发展的另一个方向是指计数和实物计数 相结合，这个方向上创造出了进位制计数方法和完整 的数的概念。 概念和语言、符号是密切相关的。概念是语言和 符号的思想内容，而思想是在语言符号中形成的。数 的符号和语言也是形成数的概念的必要条件和表达概 念的手段，因而能巩固概念。 在数的概念形成之前，没有表达数的专门语言， 因而只能用“群”、“帮”、“套”、“堆”、“束 ”来表示“多”的整体性语言。 等数性的发现，产生了相应的语言。例如，在不 同的民族，用耳朵、手、翅膀来表示“二”，用“鸵 鸟的脚趾”(四趾)来表示“四”，用“手”表示“五 ”。 早期数的概念并不是抽象的，而是相当具体的。 例如，在英国哥伦比亚的辛姆珊族的语言中，不同种 类事物的数的词语是不一样的。 根据语言学家的研究，数学语言的结构，几乎都 是一致的，人的十个手指都留下了不可磨灭的印迹。 在大部分语言中，十以下的数都有各自的名称，十以 上的数就用了某种组合原则。当然也有“五进制”的 ，即五以下的数都有各自的名称，五以上的数就用了 组合原则，这起源于习惯用一只手计数的民族。不管 各民族的数名如何不一致，它们都是数概念形成的明 证。 数字，即数的符号，是一种文字语言。数字帮助 建立了一些不能从简单的观察和直接计算中发现的数 的概念。在数的概念形成之后，它则起到了把概念以 可见的形式再现的作用。有了数字，给出了抽象数概 念的简单的具体化身，它也给出了非常简单地实现各 种运算的可能。 数字产生于记数的需要，几乎每一个民族都有过 自己的记数符号。P3-5