固体物理学

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第1章晶体结构和晶体衍射
　　本章主要内容：
　　晶体的结构特点：周期性和长程有序；
　　晶体结构的基本几何性质：对称性（平移对称性和点对称性）；
　　晶体衍射的基本知识：衍射条件和结构因子。
　　自然界的物质通常以三种形态存在，即气态、液态和固态（液晶：介于液态与固态之间的一种形态）。液态和固态又称为凝聚态，以区别于组成原子或离子之间几乎无相互作用的气态物质。固态区别于气态和液态的特点：固态物质组成粒子（原子、离子、分子或团簇）的空间位置在没有外力作用时不会有宏观尺度的变化，在低温下基本处于固定的平衡位置。
　　三类固体材料：
　　晶体：组成粒子在空间的排列具有周期性，表现为长程取向有序和平移对称性。理想晶体是指其内部组成粒子完全按照周期性排列的固体材料，也称完美晶体。实际晶体中可能会存在各种偏离周期性的粒子排列方式，称为晶体中的缺陷。
　　准晶体：是一种介于晶体和非晶体之间的固体结构。准晶体和晶体相似，具有长程有序结构，但不具备平移对称性。晶体具有一次、二次、三次、四次或六次旋转对称轴，但是准晶体可能具有其他的对称轴，如五次对称轴或者更高的六次以上对称轴。
　　非晶体：组成粒子排列无序，但由于近邻原子之间的相互作用，具有一定的短程序。
　　固体物理学研究的主要对象是晶体，包括单晶体和多晶体。单晶体：发育良好的石英晶体、金刚石晶体、蓝宝石晶体、岩盐晶体等（图 1-1）。多晶体：大多数金属、陶瓷等晶体（铜、铁、金、银、高温超导陶瓷材料多晶体等）都是由许多小晶粒组成的（直径大多在微米尺度）。
　　图 1-1 几种晶体的外形和多晶体微观形貌
　　1.1 晶体的周期性结构
　　1.1.1 点阵和基元
　　晶体中的粒子周期性排列的种类和排列规则是晶体结构研究的对象。晶体的物理性质与其组成元素有关，但是同种元素组成不同结构的晶体会表现出不同的性质。例如，碳元素组成的几种不同结构，如石墨、金刚石、 C60和碳纳米管等（图 1-2），其外形、导电性和机械性质等可能完全不同。
　　图 1-2 碳元素组成的几种不同的晶体结构
　　描述晶体结构的几个基本术语：格点（结点）：实际晶体中组成粒子所在的位置可以抽象为一个点（一个数学意义的点，仅代表粒子所在的位置）。点阵或格子：格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列，通常称为布喇菲点阵（或布喇菲格子）。
　　基元：组成晶体的最小基本单元，它可以由一个或几个原子、离子或分子组成，整个晶体可以看成是基元在点阵上的周期性重复排列，点阵中的点即实际晶体中“基元”的抽象。整个晶体可以看作是在布喇菲点阵的每个格点上放置一个基元所构成，即晶体结构＝基元@点阵
　　1.1.2 简单格子（布喇菲格子）与复式格子
　　基元中只包含一个原子（离子）的晶格（格子）称为简单格子（或布喇菲格子），如图 1-3（a）所示。布喇菲格子中的任一格点，其周围的情况与其他格点周围的情况完全相同。这是判断一个点阵是否为布喇菲格子的根本特征。
　　基元中包含两个或两个以上粒子（原子、离子或团簇）的晶格（格子）称为复式格子，如图 1-3（b）所示。如果基元中包含两种或两种以上的原子或离子，则相应空间位置等同的原子或离子构成与布喇菲格子相同的子格子，称为子晶格。复式格子是由若干个不等同粒子组成的子晶格相互位移套构而成。子晶格就是安置基元的布喇菲格子，子晶格的数目就是基元中的原子或离子数。例如，氯化钠结构（图 1-4）可以看成是由氯离子和钠离子分别组成的两个相同的面心立方结构的子晶格沿着某个边长（或对角线）方向位移 1/2个重复周期的长度套构而成的复式格子。其中，钠离子和氯离子分别构成两个相同的子晶格。一个钠离子和一个相邻的氯离子组成基元。
　　图 1-3 简单格子（a）和复式格子（b）
　　图 1-4 氯化钠结构是复式格子小球为 Na+，大球为 Cl.
　　1.1.3 原胞和基矢
　　三维格子（图 1-5）的最小重复单元是平行六面体。对于最小重复单元，格点（结点）只在平行六面体的顶角上，只包含一个原子（或格点）。这一最小平行六面体称为布喇菲格子的原胞，aa a， ，称为原胞的基矢。平行六面体的体积，即原12 3 胞的体积为 .= a1 . (a2 × a3) 。三维格子中任一格点的位置可以用格矢（也称位矢）来表示（图 1-6），即 R= n a+ n a+n a。
　　图 1-5 原胞与基矢图 1-6 格矢基矢和原胞选取的任意性（以二维格子为例）：如图 1-7中所示两个平行四边形均可作为该二维格子的原胞（它们的面积相同），其中 a1和 a2 为基矢。作为最小重复单元的原胞还可以有更多的选取方法，只要它们的面积相同即可，这也造成了原胞选取的任意性或不确定性。为了同时反映晶体的周期性和对称性，结晶学中通常以最小重复单元的整数倍作为原胞，即结晶学原胞（简称晶胞或惯用晶胞，conventional cell）。晶胞中通常包含多个原子（或格点），如图 1-7中矩形所示，矩形不是最小重复单元，其面积是原胞的两倍。原胞和晶胞的区别在于：原胞是只考虑晶图 1-7 原胞与基矢的选取格点阵周期性的最小重复单元；而晶胞是同时计及周期性与对称性的尽可能小的重复单元。
　　1.1.4 威格纳-赛兹原胞
　　定义：取晶格中任意一个格点为原点，以这个格点与所有其他格点连线的中垂面为界面围成的距离原点最近的最小多面体，称为威格纳 -赛兹原胞（ Wigner-Seitz primitive unit cell，WS原胞）。
　　威格纳-赛兹原胞也是一种周期性重复单元，并保持该晶格所具有的对称性。威格纳-赛兹原胞中只包含一个格点，格点在多面体的中心。它具有和原胞一样的体积。
　　威格纳-赛兹原胞在固体物理学中起着很重要的作用，它的取法是**的（后续 1.7.3节中倒格子 *（reciprocal lattice）空间中的**布里渊区就是倒格子空间中的威格纳-赛兹原胞）。
　　以二维（三维）格子为例，威格纳 -赛兹原胞的画法如图 1-8所示：以任一格点为原点，作原点与所有其他格点连线的垂直平分线（面），从原点出发不跨过任何垂直平分线（面）所能到达的所有点的集合或距离原点最近的垂直平分线（面）所围成的最小面积（体积）构成威格纳-赛兹原胞。
　　图 1-8 威格纳-赛兹原胞几种典型晶体结构的威格纳-赛兹原胞的取法如图 1-9所示。
　　图 1-9 几种典型结构的威格纳-赛兹原胞
　　由此可见，原胞是最小的重复单元，威格纳 -赛兹原胞的选取是**的，原胞中仅包含一个格点，居于原胞的中心。
　　1.2 几种典型的晶体结构
　　1.2.1 简单立方
　　如图 1-10所示，在立方体的每个顶角上有一个原子（格点），这样的格子称为简单立方（ simple cubic，SC）格子或简立方结构。由于每个顶角原子为相邻的 8个原胞所共有，因此每个原胞中只包含一个原子（格点）。简立方格子是简单格子（布喇菲格子）。
　　简立方结构的基矢可表示为
　　简立方格子原胞的体积为
　　图 1-10 简立方结构
　　1.2.2 面心立方
　　如图 1-11所示，除立方体的顶角外，在立方体的六个面的中心还有 6个原子，称为面心立方（ face centered cubic，FCC）结构。因为每个格点周围的情况完全相同，所以面心立方格子是布喇菲格子。图 1-11为面心立方格子的晶胞，因为面上的原子（格点）为各自相邻的立方体的侧面所共有，所以 6个面上共有 3个原子属于该晶胞，而 8个顶角上的原子（格点）为各自相邻的 8个立方体所共有，因此 8个顶角共有 1个原子（格点）属于该晶胞，这样每个晶胞中就包含了 4个原子（格点）。面心立方格子的原胞的取法如图 1-12所示，其基矢可表示为