有限元原理与程序可视化设计(清华大学出版社十三五规划教材)

作者简介

梁清香，教授，硕士生导师。1987年本科毕业于太原理工大学应用力学专业，1995年硕士研究生毕业于西安交通大学振动冲击噪声专业。主编《有限元与MARC实现》（2003年2月，机械工业出版社）、《有限元与MARC实现》第2版（2005年4月，机械工业出版社），《理论力学》副主编（2000年8月，机械工业出版社）。主持科研项目5项，主持省级重点教研项目1项，获山西省教学成果一等奖1项，发表学术论文40余篇。

内容简介

第1章有限元法概述 有限元法(finite element method，FEM)是工程领域中应用最广泛的一种数值计算方法。经过近60年的发展，有限元法理论臻趋完善，应用几乎遍及所有的工程技术领域。综合有限元理论、计算数学、计算机图形学和优化技术，开发出了一大批通用与专用有限元软件，它们以功能强、用户使用方便、技术结果可靠和效率高而成为新的技术产品，使用这些软件已经成功地解决了机械、建筑、材料加工、航空航天、造船、核能、声学、电磁学等工程领域的诸多难题。有限元软件已经成为推动科技进步和社会发展的生产力，并且取得了巨大的经济和社会效益。 1.1有限元法的发展概况 有限元法基本思想的提出，可以追溯到Courant在1943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域的分片连续函数和最小势能原理求解圣维南(St.Venant)扭转问题。 现代有限元法第一个成功的尝试，是将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题，这是Turner、Clough等人在分析飞机结构时于1956年得到的成果。他们第一次给出了用三角形单元求平面应力问题的正确解答，打开了利用计算机求解复杂问题的新局面。1960年Clough将这种方法命名为有限元法。 1963—1964年，Besseling、Melosh和Jones等人证明了有限元法是基于变分原理的里兹(Ritz)法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用于有限元法，确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是，有限元法假设的近似函数不是在全求解域上给出的，而是在单元上给出的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。 有限元法在工程中应用的巨大成功，引起了数学界的关注。20世纪60年代至70年代，数学工作者对有限元法的误差、解的收敛性和稳定性等进行了卓有成效的研究，从而巩固了有限元法的数学基础。我国数学家冯康在60年代研究变分问题的差分格式时，也独立地提出了分片插值的思想，为有限元法的创立做出了贡献。 近60年来，有限元法的应用已由平面问题扩展到空间问题、板壳问题、组合结构，由静力问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析对象从弹性材料扩展到塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料等。研究领域从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学、声学等领域，由单一物理场的求解扩展到多物理场的耦合，结构尺寸从宏观扩展到微观。在工程分析中的作用已从分析和校核扩展到新产品设计。随着计算机的发展，应用基于有限元法的计算机辅助工程(CAE)的方法越来越普及，已成为飞机、高层建筑、大型桥梁、高速列车等大型结构设计的主流工具，特别是对一些目前还不能采用试验方法研究的微观结构性能的分析与预测，成为新材料研制的有效手段。可以预测，随着现代力学、计算数学和计算机技术等学科的发展，有限元法作为一个具有巩固理论基础和广泛应用效力的数值分析工具，必将在国民经济建设和科学技术发展中发挥更大的作用，其自身亦将得到进一步的发展和完善。 1.2有限元法的主要优点 有限元法能迅速成为现代工业与工程技术密不可分的一个组成部分，除了依赖于现代工业化技术发展需要的大环境之外，有限元法本身具有的许多优点也吸引了大量的理论研究人员和应用工程技术人员。它的主要优点是： (1) 应用范围广泛。有限元法已能成功地求解固体力学、流体力学、温度场、电磁场、声场、多场耦合等领域的各类线性、非线性问题。它几乎适应于求解所有的连续介质和场问题，目前已渗透到微观结构领域。 (2) 软件功能强大。有限元软件已经成功地解决了许多领域的工程计算难题。与其他CAD软件的无缝连接及不断完善的前后处理功能，使有限元法的使用范围不断扩充。 (3) 描述简单，便于推广。有限元法采用矩阵形式表示，使问题的描述简单化，使求解问题的方法规范化，便于编制计算机程序。 1.3有限元法在工程中的应用 有限元法在工程中得到了广泛的应用，主要应用范围体现在如下四个方面。 1. 新产品设计 由有限元法设计产品，能缩短新产品的研制周期，减少成本，降低出错返工率； 而仿真驱动产品研发，也将许多工程带到更高境界。 1990年10月，美国波音公司采用有限元软件对新型客机B777实现了完全数字化设计，并试飞成功。现在，基于有限元方法的CAE已成为飞机结构设计的主流工具。图11为飞机整机有限元网格。 图11飞机整机有限元网格 同样，在卫星结构设计过程中，不可避免地要根据各方面的要求不断修改尺寸和材料，优化卫星结构，而如何修改和修改的效果如何，都要进行有限元仿真计算； 汽车产品研发初期，用有限元法对汽车零部件、总成、系统、整车进行模拟分析，可以及时发现产品设计中的隐患，优化结构，从而降低汽车制造和试验成本，使新产品早日投入市场，增强企业的竞争力； 在金属成形领域，新产品设计前先进行模拟仿真，通过分析金属成形工艺和热处理工艺，对加工过程中材料流动、模具充填、成形载荷、缺陷形成等积累更多的知识，从而优化加工过程，提高产品成形质量。目前某些特殊用途的异形钢管就是模拟仿真后出现的新产品。 2. 现有产品的改进与修复 对现有产品的改进设计包括结构、材料等方面的改进，使改进后的产品在满足强度、刚度、稳定性等要求下，在经济性、舒适性、轻量化、美观等方面得到改进； 带缺陷的产品修复补强后，可以继续使用，变废为宝。 图12国家体育馆“鸟巢”有限元网格 “鸟巢”是在有限元软件平台上设计与优化的。有关专家在修改初步设计与施工图设计中，应用有限元软件对主桁架、桁架柱、次结构的布置进行了调整，结构抗震性能与节点构造得到改善，并通过采取一系列优化措施，有效地减小了结构用钢量，达到了控制工程造价的目的，取得了良好的技术经济效果。图12所示为国家体育馆“鸟巢”有限元网格。 目前土石坝已经向300米级高坝发展，基坑的支护问题、边坡稳定问题在土石坝改进设计时均应充分考虑，而这些工作都可由有限元法完成； 汽车产品批量生产后，有限元分析主要解决汽车在使用过程中发现的质量问题，并提出改进方案，为汽车质量改进及优化提供简单而行之有效的方法； 英国Newport pagnell的Tickford桥是一座世界上距今时间最久、最古老的铸铁公路桥，对该桥采用了铺贴复合材料片进行加固修复补强； 带裂纹缺陷的液化石油气球罐对安全运行有重大影响，通过有限元法补强分析，可以找到经济高效地修复球罐裂纹并延长球罐使用年限的方法； 在口腔生物力学研究中，种植固位覆盖义齿对牙齿进行修复补强主要采用有限元法。图13所示为双江口坝体的有限元网格，图14为带缺陷球罐的复合材料补强有限元网格。 图13双江口坝体有限元网格 图14带缺陷球罐的复合材料补强有限元网格 3. 虚拟试验 采用有限元法进行虚拟试验，以找出对产品性能有重要影响的各种关键因素，为产品的改进提供重要参考； 同时，也可节约大量时间，降低产品的研发成本。目前，虚拟试验可以将计算误差控制在10%以内，能够满足工程需要。 如何提高车身的抗碰撞能力，是汽车被动安全中需要解决的问题之一。过去美国福特汽车公司每开发一个新车型，都要用120辆车进行冲撞试验，约耗资6000万美元。现在利用有限元法进行汽车碰撞过程的模拟，以节省昂贵的实车碰撞试验经费，是国内外汽车公司普遍采用的一种方法。图15所示为汽车碰撞过程模拟试验有限元网格。 4. 重大事故原因分析 1983年，北京一幢正在施工的高层建筑的大型脚手架坍塌，5人死亡，7人受伤； 1940年,美国Tocoma悬索桥的垮塌事故，被记载为20世纪最严重的工程设计错误之一； 2003年,美国哥伦比亚号航天飞机失事，外部燃料箱表面泡沫材料安装过程中存在的缺陷，是造成事故的罪魁祸首； 2014年，浙江某厂蜡油加氢脱硫及柴油加氢精制联合装置中一台溶剂缓冲储罐发生超压破坏事故，罐底板中间外凸变形，周边底板被抬起，储罐整体向一侧严重倾斜，且大角焊缝被撕裂，有害介质大量外流，导致整个装置停工。通过对事故现场调查，结合有限元分析，找出事故发生的直接原因，提出事故安全预防措施。 小到原子分子，大到飞机桥梁，无论是整机、装配图还是零件，无论是固体、流体、气体还是生物体，均可由有限元法进行分析。图16所示为碳纳米管分子结构有限元网格，图17所示为烤瓷冠三维有限元网格，图18所示为船体外流场分析有限元网格。 图15汽车碰撞过程模拟试验有限元网格 图16碳纳米管分子结构有限元网格 图17烤瓷冠三维有限元网格 图18船体外流场分析有限元网格 1.4通用有限元软件简介 有限元软件是商品，也是沟通理论分析与工程实际的桥梁。许多大型工程项目就是依赖于有限元软件分析模拟而确定实施方案的，许多高水平的学术论文也都声明所用的是某某著名的软件。这些软件解决工程实际问题的能力和效率，在国际学术界达成了共识。本节就常用的几个有限元通用软件的情况作简单介绍。 1.4.1通用有限元软件的共同之处 有限元法的高度通用性与实用性导致了有限元通用程序的发展。50多年来，有限元通用软件的发展在数量和规模上是惊人的。一些通用有限元软件在我国的现代化建设中发挥了巨大的作用。这些通用有限元软件的共同之处可归纳为以下几点： (1) 功能强大。一般都可进行多种物理场分析，如结构分析、温度场分析、电磁场分析、流场分析、多场耦合分析等。 (2) 具有丰富的材料库。可以处理多种材料，如金属、土壤、岩石、塑料、橡胶、木材、陶器、混凝土、复合材料等。 (3) 具有多种自动网格划分技术，自动进行单元形态、求解精度检查及修正。 (4) 具有强大的后处理及图像显示功能。 （5） 具有与多种CAD系统直接连接的接口。 （6） 具有良好的用户开发环境。 （7） 具有良好的培训和维护能力。 （8） 技术成熟，已推向市场多年，版本不断更新。 1.4.2几个通用有限元软件简介 有限元软件从20世纪70年代进入市场，不断分化和兼并，目前形成了以美国MSC、ANSYS、SIMULIA三个公司为代表的软件开发商。他们具有雄厚的技术实力和强劲的发展势头，已经占有世界有限元市场60%~70%的份额。下面仅对三个公司的代表软件作简要介绍。 1. MSC.Marc MSC.Marc软件为美国MSC公司的产品。公司创建于1963年，总部设在美国洛杉矶，通过不断的重组和兼并，MSC公司已成为全球规模最大的有限元软件公司。Marc软件原为美国MARC公司的产品。MARC公司创建于1967年，它的创始人是美国著名的布朗大学教授、有限元分析的先驱者Pedro Marcel。MARC公司致力于非线性有限元技术的研究、非线性有限元软件的开发、销售和售后服务。经过30多年的不懈努力，Marc软件得到了学术界和工业界的大力推崇和广泛应用，建立了它在全球非线性有限元软件行业的领导地位。1999年6月，美国MSC公司收购了MARC公司，相应地，将该软件更名为MSC.Marc软件。MSC.Marc软件的功能也在不断得到扩展。 MSC.Marc软件是功能齐全的高级非线性有限元软件，它具有先进的网格适应技术，强大的二次开发功能，优异的并行求解算法，稳定的求解技术，广泛的平台适用性，方便高效的用户界面，良好的接口技术，强大的分析功能，丰富的材料模型，丰富的单元类型。该软件是一个功能强大的有限元分析系统，提供了各种问题的解决方案。如非线性结构分析(包括非线性静力分析、非线性瞬态分析、非线性动力分析、非线性屈曲分析、刚塑性分析、黏塑性分析、弹塑性分析、黏弹性分析、超弹性分析、超塑性分析、周期对称结构分析、灵敏度和优化分析、超单元分析、接触分析)、失效和破坏分析(包括断裂分析、裂纹萌生与扩展、复合材料的分层、韧性金属损伤和橡胶软化失效、复合材料脱层分析、磨损分析)、传热过程分析(包括稳态/瞬态热传导分析、强迫对流传热分析、有接触传热的耦合分析)、多场耦合分析(包括静电场分析、静磁场分析、滑动轴承分析、流体分析、声场分析、热机耦合分析、流热固耦合分析、热电耦合分析、热电固耦合分析、磁热耦合分析、磁结构耦合分析、扩散应力耦合分析、压电分析、流体土壤耦合分析、电磁场耦合分析)、加工过程仿真(包括锻造、挤压、冲压、超塑、板材拉深、粉末成型、吹制、铸造、热处理、焊接、切削、复合材料固化等多种加工过程的仿真)、热烧蚀分析等。 2. MSC. NASTRAN MSC.NASTRAN也是美国MSC公司的产品，它是1966年美国国家航空航天局(NASA)为了满足当时航空航天工业对结构分析的迫切需求，主持开发的大型应用有限元程序。1971年MSC公司对原始的NASTRAN做了大量改进，推出了自己的专利版本MSC.NASTRAN。MSC.NASTRAN能够有效解决各类大型复杂结构的强度、刚度、屈曲、模态、动力学、热力学、非线性、(噪)声学、流体结构耦合、气动弹性、超单元、惯性释放、设计敏度分析及结构优化等问题，是航空航天部门的法定结构分析软件。 3. ANSYS ANSYS软件是美国ANSYS公司的产品，该公司成立于1970年，重点开发开放、灵活、对设计直接进行仿真的解决方案，提供从概念设计到最终测试产品研发全过程的统一平台； 同时追求快速、高效和成本意识的产品开发。ANSYS公司和其全球网络的渠道合作伙伴为客户提供销售、培训和技术支持一体化服务。公司总部位于美国宾夕法尼亚州的匹兹堡，全球拥有60多个代理，在40多个国家销售产品。ANSYS公司于2006年收购了在流体仿真领域处于领导地位的美国Fluent公司； 于2008年收购了在电路和电磁仿真领域处于领导地位的美国Ansoft公司。通过整合，ANSYS公司成为全球最大的仿真软件公司之一。ANSYS整个产品线包括结构分析(ANSYS Mechanical)系列、流体动力学(ANSY CFD(FLUENT/CFX))系列、电子设计(ANSYS ANSOFT)系列以及ANSYS Workbench和EKM等，其多场耦合分析功能博得了用户的钟爱。产品广泛应用于航空、航天、电子、车辆、船舶、交通、通信、建筑、电子、医疗、国防、石油、化工等众多行业。因其率先开发出微机版本，故发展了大批的有限元用户群。ANSYS公司在北京、上海、成都、深圳相继成立了办事处，构成了ANSYS在中国完整的市场、销售及售后服务体系。目前，中国100多所理工院校采用ANSYS软件进行有限元分析或者作为标准教学软件。 4. ABAQUS ABAQUS软件是由美国SIMULIA公司(原ABAQUS公司)研究开发的完全商品化的工程有限元分析软件。ABAQUS公司成立于1978年，总部设在罗得岛州普罗维登斯市。ABAQUS软件可以解决金属、橡胶、高分子材料、复合材料、钢筋混凝土、可压缩超弹性泡沫材料以及土壤和岩石等材料的线性及非线性问题，可以解决结构、热传导、质量扩散、热电耦合分析、声学分析、岩土力学分析(流体渗透/应力耦合分析)及压电介质分析等问题。电子领域是ABAQUS软件的一个重要应用领域，主要模拟封装和电子器件跌落。另外，ABAQUS软件还是世界各大汽车厂商分析发动机中热固耦合和接触问题的标准软件。 1.5有限元法基本知识 1.5.1有限元法基本思想 有限元法是在连续体上直接进行近似计算的一种数值方法，其基本思想通过下面的例子来说明。图19简单说明了早期数学上求圆面积的近似方法。首先将连续的圆分割成一些三角形，求出每个三角形的面积，再将每个小三角形面积相加，即可得到圆面积的近似值。前面是“分”的过程，后面是“合”的过程。之所以要分，是因为三角形面积容易求得。这样简单的一分一合，就很容易求出圆面积的近似值。 图19圆面积的近似求法 上述例子体现了有限元法的基本思想，即“拆整为零，集零为整”。 “拆整为零”即“分”的过程，具体包括如下三步： 1. 离散化 将连续的求解区域离散为有限个部分的集合体，并认为各部分只通过有限个点连接起来。例如，所求的连续体如图110(a)所示，可假想它由图110(b)所示许多小部分组成，这些规则或不规则的小部分称为单元(element)。单元之间只通过有限个点连接起来，如图110(c)所示，单元①与单元②只在1、2两点相连，这些连接点称为节点(node)。这一过程称有限元离散化过程。 图110将连续体假想为有限个单元的组合体 2. 假定单元场函数 在每一个单元内假定近似场函数(位移函数或应力函数)，并将单元内的场函数由该单元各个节点的数值通过函数插值表示，这样，未知的场函数(或包括其导数)在单元内各个节点的数值就成为新的未知量(其个数称为自由度)，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。 3. 单元分析 对每个单元分析，求出单元的特性。 “集零为整”即“合”的过程，将单元的特性装配在一起得到离散体整体的特性，并利用数值计算方法得到整个求解域上场函数的近似值。 1.5.2有限元法分类 有限元法按基本未知量可分为三大类，即有限元位移法、有限元力法和有限元混合法。在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量； 在有限元力法中，选节点力作为基本未知量； 在有限元混合法中，一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节点力。有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元法应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。所以本书如不作特别声明，有限元法指的是有限元位移法。 有限元法按求解问题的类型分为两大类： 线弹性有限元法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础。 1. 线弹性有限元法 线弹性有限元法以理想弹性体为研究对象，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。具体讲，下面四条必须同时满足的问题为线弹性问题： (1) 材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定理。 (2) 应变与位移的一阶导数呈线性关系。 (3) 微元体的平衡方程是线性的。 (4) 结构的边界条件是线性的。 线弹性有限元问题归结为求解线性方程组问题，所需时间较少。 线弹性有限元一般包括线弹性静力分析与线弹性动力分析两个主要内容。学习这些内容需具备材料力学、结构力学、弹性力学、振动力学、数值方法、矩阵代数、算法语言等方面的知识。 2. 非线性有限元法 有限元法所求解的非线性问题可以分为如下三类： (1) 材料非线性问题。在线弹性问题的四个条件中，不满足第(1)条的称为材料非线性问题。 材料非线性问题中，材料的应力与应变呈非线性关系。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有： 非线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、黏塑性及蠕变等。 (2) 几何非线性问题。在线弹性问题的四个条件中，不满足第(2)(3)条的称为几何非线性问题。 几何非线性由结构变形的大位移造成。一般分两类： 一类叫小变形几何非线性问题，在这类问题中应变很小，但不能忽略高阶应变，所以它可以表述为结构在加载过程中不能忽略小应变的有限转动的弹性力学问题，如薄板的大挠度问题就属于小变形几何非线性问题； 另一类叫有限变形(或大应变)几何非线性问题，在这类问题中，结构将产生很大的变形和位移，变形过程已经不可能直接用未受力时的位置和形态加以描述，平衡状态的几何位置也是未知的，而且必须给出应力、应变的新定义。由此可见，有限变形(或大应变)几何非线性问题的求解有别于小变形几何非线性问题，如橡胶部件形成过程与金属塑性加工过程均为有限变形几何非线性问题。 (3) 边界非线性问题。在线弹性问题的四个条件中，不满足第(4)条的称为边界非线性问题。 有限元理论编写通俗易懂、简明扼要，内容适当，满足基本的工程需要；平面问题所占篇幅大，讲透平面问题，其他问题迎刃而解。有限元建模方法介绍实用详尽，选取例题涵盖面宽且具代表性。特色三：有限元程序实现输入输出的可视化。