数学解题研究--数学方法论的视角(十三五江苏省高等学校重点教材)

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观察可能导致发现 .观察将揭示某种规律、模式或定律 . ———[美]乔治 ·波利亚 (1887—1985) 对微小事物的仔细观察 ,就是事业、艺术、科学及生命各方面的成功秘诀 . ———[英]史迈尔 (1812—1904) **章观察 :解题的起点 从信息加工的角度来看 ,数学活动中的观察是有目的、有选择地对各种数学材料进行概括的知觉过程 ,其成果就是发现数学材料的外部特征和整体特征 .通过观察 ,把外部事物的各种信息反映到人的大脑里 .但这*不是一种机械的条件反射 ,伴随着观察同时会发生一系列的心理活动 ,如注意、感知、记忆、想象等 ,而且其中一定还存在着积极的思维活动 . 观察本身不是一种独立解题的思维方法 ,但它是产生数学思想方法的基础 .高质量的观察能迅速、合理地引发好的解题思路 .因此 ,观察作为解题的**步显得特别重要 ,*不能将它与数学解题的思维分割开 . **节观察的一般方法 所谓解题中的观察 ,本质上就是审题 ,它不同于单纯地用眼去看 ,而是有目的、有步骤、有方法地对数学题目进行剖析 .它要求观察者通过观察了解题目的条件是什么 (特别不能遗漏隐蔽条件和特殊情况)、问题的结论是什么 (或者要求是什么 )以及题目中有无图形 .如果有图形 ,还要对照观察图形中各元素 (如边、角、面积等 ),*好能将各相应量标在图形上 .在此基础上 ,发现并获取必要的信息 .当观察的信息比较熟悉 ,与自己掌握的解题模式很接近 ,与自己的认知结构相合拍 ,那么就能立即进入试探过程 ,大部分这类问题便可很快获解 . 在数学学习与研究中 ,观察起着十分重要的作用 .欧拉指出 :数“学这门科学需要观察 ,还需要实验 .”在观察探索时 ,可行且有效的步骤是 : 整体 .局部 .特殊 从一般到特殊 ,从全局到细节的反复观察 ,有利于发现新的信息 .有些问题 ,如能根据题中所提供的信息不断地改变观察角度 ,往往能越过 “思维障碍 ”,突破解题难关 ,获得 “柳暗花明又一村 ”的效果 . 2数学解题研究 ———数学方法论的视角 一、整体观察 解题障碍形成的一个主要原因是忽视对问题整体的观察 ,从而无法下手 .任何一个事物,都存在整体与局部的关系 .在进行数学观察时 ,观察整体的同时 ,还必须观察其局部的特点.从整体中看局部 ,从局部中把握整体 ,只有这两个层面都考虑周到 ,才能真正抓住问题的关键 ,看出被观察题目的特点 . 例 1.设等差数列 {}的前 n项和为 Sn ,问:数列中前几项 1an a1 >0,S12 >0,S13 <0,的和*大 ? 分析在等差数列中求前几项的和*大 ,一定是首项大于零 ,公差小于零的数列 ,所以解题的关键是寻找等差数列的正负分界点 ,即ak ≥0且ak+1 ≤0的k的值 .因此 ,一般的思路是用首项 a1和公差 d表示 ak和ak+1,而在此题中要做到这一点还比较困难 .我们仔细观察题目所给的条件 ,对S12 >0和 S13 <0作整体处理 .利用等差数列的求和公式和性质可得 : a1 +a12) a1 +a13) 12(>0,13(<0,所以 a6 +a7 >0,2a7 <0,因此有 a6 >0,a7 <0.所以22 数列的前 6项的和*大 .例1.如图 1.在 △ABC中,BC边上有 21所示 ,AB=AC=2,100个不同的点 P1,P2,…,P100,记mi=AP2 CPi(1, i +BPi ·i=2,…,100).求 m1 +m2 + … +m100的值 .分析从整体来看 ,求式 m1 +m2 + … +m100的项数多 ,可猜想各项间必有规律 .为发现这一规律 ,我们从观察特殊点入手 .抓住关键词 “100个不同点 ”,考虑 Pi恰取 B或C时,易知有 图 1. 1AB2 =AC2 =4. 再看一特例 :取 BC中点 M ,有 AM2 +BM ·CM =AB2 -BM2 +BM ·CM =AB2 =4. 由此可猜想 ,均为 4(1,2,…,且从上面的特例可找到解题方法 :对 BC边上任一点 Pi(不妨取在线段 MC上),1可知 mii=100), 由图 1. APi 2 +BPi ·CPi =AM2 +MP2 BM +MPi)( i+ (CM -MPi) =AM2 +MPi 2 +BM2 -MP2 i =AM2 +BM2 =AB2 =4. 故 m1 +m2 + … +m100 =400. 二、实验观察 在学习物理和化学时 ,人们常常通过物理演示实验或化学反应实验帮助认识物理现象的本质和化学性质的特点 .同样的道理 ,对于数学中的某些问题 ,一时看不出它具有哪些特征,或者很难寻找解决问题的办法 ,常常可以通过实验观察 ,从而获得猜测 .然后对其正确性进行推断 ,达到解决问题的目的 . **章观察 :解题的起点3 例1.平面上有 n条直线 ,且任意两条都不平行 ,任意 3条都不共点 ,则这 n条直线互相之间能分割为多少条不同的线段 (或射线 )?分析要想直接解决本题好像不是很容易 ,我们可以进行实验 ,在厘清 1条、2条、3条时的具体情况 ,探索规律 ,从而对 n条直线加以分析和研究 .当n=1时,有1条;当n=2时,有4条;3时,有9条.由此我们可以猜测 : 3 当n= n条直线 可分为 n2条.猜测的结论是否正确 ,需要证明 . 若n=k时,有k2条,则当 n=k+1时,增加的一条直线被原来的 k条直线分为 k+1部分,而原来的 k条直线也都有一部分被分为了两部分 ,增加了 k条,因此 n=k+1时,有k2 + k+1+k=(k+1)条),所以结论正确 . 2(例1.4试证 :只有一个质数 p,使p+10,p+14仍是质数 .分析当问题较为抽象 ,思路、方法难寻时 ,不妨将问题具体化 ,进行实验观察 ,使思路 清晰 ,便于解题 .取p=2时,p+10=12,p+14=16,不是质数 ;取p=3时,p+10=13,p+14=17,是质数 ;取p=5时,p+10=15,p+14=19,不全是质数 ;取p=7时,p+10=17,p+14=21,不全是质数 ;取p=11时,p+10=21,p+14=25,不是质数 .由此观察出 ,p=3是所要求的一个质数 .接下来证明这一结论 .当p=3p+14=k+15=k+5)是合数 ;=3p+10=k+ k+1时,33(当p k+2时,312=3(故只有当 p=k()时,p+14都为质数 , k+4)是合数 ;3k ∈N+ 才有可能使 p+10,而 p=3k中的质数只有 3这一个 . 三、比较观察 比较是人脑中确定各种事物之间差异和关系的思维过程 .俗话说 :有“比较才有鉴别 .” 数学学习中的比较是将有可比意义的概念、题目、方法等组合在一起进行求同存异地观察分 析,通过类比联想找到解决问题的思路和方法 ,这是一种知识间的同化策略 . 例1.判断 : 和椭圆相应的准线的位置关系 . 5以过椭圆的焦点的弦为直径的圆 , 分析此题的结构和要求 ,让我们联想到抛物线的一个结论 :以过抛物线焦点弦为直径的圆 ,必和抛物线的准线相切 .几乎相同的条件 ,在不同的曲线下结论会发生何种变化 ?观察一下抛物线时对该题的证明 ,也许对我们会有所启发 . 设焦点为 F,过焦点的弦为 AB,曲线的离心率为 e,A、B两点到准线的距离分别为 m、n. 则 AB中点 M到准线的距离 d=m +n.而由抛物线的定义可得 =n.所以有 AF BF =m, 2 AF BF 1 m +n + AB .d== = 2 22 因此 ,以过抛物线焦点的弦为直径的圆 ,如图 1. 必和抛物线的准线相切 ,2所示 .把椭圆与抛物线相比较 ,可以仿照抛物线探索解题思路 .利用椭圆的第二定义可得 "《数学解题研究——数学方法论的视角》是“十三五”江苏省高等学校重点教材，江苏省高校品牌专业建设工程资助项目成果。本书从方法论的视角分析数学解题，总结数学解题的规律，不仅注重数学方法对解题的理论指导，还突出数学方法的**作用。全书共九章，观察、化归、类比、直觉、构造、建模、审美、变通、反思。每章都配有习题，习题答案可扫描二维码查看。 本书适合高等师范院校硕士学科教学（数学）方向专业学位研究生、全*制数学与应用数学专业本科生和小学教育（理科）专业本科生作为数学解题研究课程教材使用，也适用于中小学数学教师、教研员及初等数学爱好者阅读。 "