高等数学习题课教程（上第2版）/经济数学基础丛书

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第1章 函数、极限与连续
　　1.1 知识点小结
　　1.1.1 函数
　　1.区间与邻域
　　设实数，称集合为开区间，记为.同理有集合为闭区间，记为;集合和称为半闭区间，分别记为和.集合记为.同理集合记为，代表全体实数.
　　设为实数，称集合为点的邻域，记为，即，称为该邻域的中心，为该邻域的半径.邻域是数轴上关于点对称的开区间，若邻域去掉中心，则记为.
　　2.函数的定义及其特性
　　设D为非空集合，若f为D上的对应法则且使得，都有唯一确定的实数y与之对应，则称f是D上的一个函数，记为.函数常见的特性包括单调性、奇偶性、周期性、有界性等，要理解它们的含义.例如，有界性是指对于在区间I上有定义的函数，若存在正数M，使得对恒有，则称在区间I上有界，否则称为无界.若存在正数M，使得对恒有，则称在区间I上有上界;若存在正数M，使得对恒有，则称在区间I上有下界.在I上有界等价于在I上既有上界又有下界.
　　3.反函数和复合函数
　　设定义域为D，对任一，总有确定的与之对应使得，视y为自变量而x为因变量，则x是y的函数，称其为的反函数，记为.习惯上仍用x表示自变量，故仍记为.例如，的反函数为，其中y作为自变量，反函数仍习惯写为.函数与其反函数关于直线对称.
　　设函数的定义域为，函数的值域为，若与交非空，则以u作为中间变量，y是x的函数，称其为由和复合而成的复合函数，记为.复合函数的一个重要问题就是对其分层表达，即显示由哪些函数按何种顺序复合.准确地分层表达对今后学习复合函数求导及积分至关重要.
　　4.初等函数
　　基本初等函数包括常数函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数.基本初等函数经过有限次四则运算或复合而构成的可由一个式子表达的函数称为初等函数.分段函数一般不是初等函数，但也有例外，如.
　　1.1.2 数列的极限
　　数列极限的定义:设数列，若对，当时恒有成立，则称常数为数列当时的极限，记为或.也可以理解为对任意给定的，数列从第N+1项开始满足
　　数列极限的性质:①收敛数列的极限是唯一的;②收敛数列必定有界，即若，则对任意正整数，总使;③收敛数列的子数列必定收敛，且极限相同.
　　1.1.3 函数的极限
　　1.时函数的极限
　　设函数在大于某正数时有定义.若对，总，当时恒有，则称常数为函数当时的极限，记为或.注意理解此极限的几何意义.另外，对比可知，将理解为n的函数，则数列极限相当于自变量时的函数极限.
　　2.时函数的极限
　　设函数在去心邻域有定义.若对，总，当时恒有，则称常数为函数当时的极限，记为或.注意理解此极限的几何意义.
　　设函数在区间有定义.若对，总，当时恒有，则称常数为函数当时的左极限，记为或，可简记为.同理，有时的右极限，记为或，可简记为.
　　注意:
　　(1).
　　(2)分段函数的分段点因其两侧函数表达式不一致，故函数在分段点处是否收敛必须利用左、右极限进行讨论.
　　(3)函数极限的性质:唯一性、局部有界性和保号性.尤其注意保号性及其推论.保号性是指若且，则使得任意均有0，即用极限的正(负)确保函数的正(负).其推论为若在某邻域内满足且，则，即用函数的非负(非正)确保极限的非负(非正).该推论不能如保号性那样表述为用函数的正(负)保极限的正(负)，因为一些函数即使在某邻域内为正，其极限未必为正，如.
　　1.1.4 无穷小与无穷大
　　1.无穷小及其性质
　　若，则称为时的无穷小量，简称无穷小.无穷小与函数极限的关系，其中.
　　特别注意，无穷小是以0为极限的变量，不是0.另外，表述变量为无穷小必须指明自变量的变化.例如，但不存在，所以是时的无穷小.
　　无穷小的性质:
　　(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小(无限个无穷小时未必成立).
　　(2)无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小(注意常见的有界函数).
　　推论:常数与无穷小的乘积为无穷小;无穷小与无穷小的乘积还是无穷小.
　　2.无穷大
　　若在时，无限增大，则称为时的无穷大，记为.进一步，若明确是无限增大的，称为时的正无穷大，类似有若是无限减小的，称为时的负无穷大.
　　无穷大与无穷小的关系:在自变量的同一变化过程中，若为无穷大，则为无穷小;反之，当时，若为无穷小，则为无穷大.
　　1.1.5 极限的运算法则
　　若，则
　　(1)
　　(2)
　　(3)，其中.
　　注意:①该运算法则使用的前提是与均存在;②对于自变量的其他变化过程该运算法则也成立;③对于有限个函数的情形该运算法则也成立.
　　1.1.6 极限存在的准则与两个重要极限
　　1.极限存在的准则
　　准则1:夹逼准则.设时有且满足，
　　则有.此准则对于自变量的其他变化过程也成立.
　　准则2:单调有界数列必定收敛.
　　注意:仅单调或仅有界的数列都未必收敛.
　　2.两个重要极限
　　(1).
　　注意:①和的区别;②该结论的重要性在于其泛化形式，即.例如，.
　　(2).
　　注意:该结论的重要性在于其泛化形式，即
　　例如.
　　1.1.7 无穷小的比较
　　设在自变量的同一变化过程中有
　　(1)若，则称此时是比高阶的无穷小，记为.
　　(2)若，则称此时是比低阶的无穷小.
　　(3)若，则称此时是与同阶的无穷小.特别地，若，则称此时是与等价的无穷小，记为.
　　(4)若，则称此时是的k阶无穷小.
　　常见的等价无穷小关系:当时.
　　等价无穷小的代换定理:设，则.将其应用到极限的求解中，以结构简单的无穷小代换结构复杂的无穷小，能使计算事半功倍.进一步，将上述等价关系泛化为更一般的形式，可大大拓展其应用范围.“泛化”指若在的某变化过程中有，则有，等.例如：
　　注意:只能对作商(积)运算的各无穷小进行替换，如.
　　1.1.8 函数的连续性与间断点
　　1.函数的连续性
　　在点处连续:或.
　　在点处左连续:或.
　　在点处右连续:或.
　　左、右连续均为单侧连续，单侧连续与连续的关系为:在点处连续在点处左连续且右连续.
　　注意:分段点处的连续性需通过是否左连续且右连续来判断.
　　在连续:均满足连续，即.
　　在连续:在连续且在右端点处左连续，左端点处右连续.
　　2.函数的间断点
　　凡不满足连续定义的点均为函数的间断点，具体为如下情形之一:
　　(1)在点处没有定义.
　　(2)在点处有定义但不存在.
　　(3)在点处有定义且存在，但.
　　依据函数在间断点处极限的情况，间断点分为两大类四小类，具体如下:
　　第一类间断点:与均存在，又可细分为
　　若，则称为可去间断点.
　　若，则称为跳跃间断点.
　　第二类间断点:与至少有一个不存在，又可细分为
　　若与至少有一个为无穷大，则称为无穷间断点.
　　若与至少有一个因振荡而不存在，则称为振荡间断点.
　　3.初等函数的连续性
　　(1)基本初等函数在定义域内连续.
　　(2)初等函数在定义区间内连续.
　　注意:①定义域和定义区间的区别，定义域可以由定义区间或孤立点组成;②若为初等函数定义区间内的点，则，即代入法求极限.