沙粒、围棋和无穷：寻找最大数的数学史诗之旅

作者简介

"作者简介 戴维·达林，曼彻斯特大学天文学博士。在过去的35年里，他一直是一名自由职业的科普作家，写过大约50本关于宇宙、物理、哲学和数学等学科的书。他的个人网站和社交媒体主页“发现数学”是公众广泛使用的在线资源。他目前正在制作一个以科学为主题的音乐节目，名为“科幻体验”。 阿格尼乔·班纳吉，出生于印度加尔各答，但大部分时间都在苏格兰度过。班纳吉的非凡数学天赋在他很小的时候就得到了认可。2018年，他在国际数学奥林匹克竞赛中获得满分，并列第一，这使他成为世界上杰出的年轻数学家之一。班纳吉目前正在剑桥大学三一学院继续自己的学业。 译者简介 张旭成，德国杜伊斯堡-埃森大学博士，研究方向为代数几何。目前在清华大学丘成桐数学中心从事博士后研究工作，曾译《素数的阴谋》。 韩琨，文学硕士，先后毕业于中国人民大学、香港中文大学。科普图书编辑，现居北京。"

内容简介

"第1章 沙粒和星星 地球上的沙粒和宇宙中的星星哪个多？在远离人造光的晴朗夜晚，单凭肉眼你至少可以看到一两千颗星星；如果当晚没有月亮而你的视力又特别好的话，你可以看到将近四千颗。一把沙子里的沙粒要比这多得多（见图 1-1）。太空之广袤，令人望而生畏。强大望远镜的观测表明，太空包含大量星系，每个星系都拥有数十亿颗星星；我们星球上的沙漠、海滩和海床里都含有大量沙粒，同样令人眼花缭乱。那么，在这场数字游戏中，沙粒和星星谁会胜出呢？ 美国夏威夷大学的研究人员在 2003 年的一项研究中估算出，地球上沙粒的数量为750 亿亿，或者说75 后面跟着17 个0。至于整个可观测宇宙中的星星，他们得出的数字为 700 万亿亿，相当于一颗沙粒对应约一万颗星星。 古希腊数学家和科学家阿基米德（Archimedes）也对这类问题感兴趣。公元前 3 世纪，他写了一篇后来被称为《数沙者》（The Sand Reckoner）的短文给锡拉库萨（又译作叙拉古）国王革隆（Gelon）。这篇面向非专业人士的短文既准确又清晰，有时也被认为是第一篇研究说明性论文。阿基米德在文中提出了一个问题：填满整个宇宙需要多少颗沙粒。 当然了，这个问题的答案取决于沙粒的平均大小和宇宙的大小。按照阿基米德非常慷慨（甚至不切实际）的估算，一粒小米粒可以容纳一万颗沙粒，这使得一颗沙粒的大小几乎可以忽略不计。他还估算出，40 粒小米粒并排放在一起，可以达到一根手指的宽度，大约 19 毫米。这样，一个直径为一指宽的球体可以容纳 6. 4 亿颗沙粒。 阿基米德又根据前辈阿利斯塔克（Aristarchus）的经典日心说，估计了宇宙的大小。在日心说所描述的太空模型中，地球绕太阳运行，恒星固定在一个同样以太阳为中心的球体上，但距离要远得多。当地球从太阳的一侧运行到另一侧时，古希腊人无法辨察出天空中恒星相对位置的任何变化——这一事实即所谓的视差，它意味着恒星与太阳的距离必须有一个最小值。阿基米德据此估算出了当时已知宇宙的最小可能直径——写成现代单位，大约为 2 光年。 今天，我们可以很容易地通过数学计算得出，要填满一个直径 2 光年的球体需要多少颗阿基米德估算大小的沙粒。答案约为 1 后面 63 个零，也可以紧凑地写成 1063—— 10×10×10×…×10（有 63 个 10 相乘）。而阿基米德面临的问题是，在他那个时代，还没有我们这种表示大数的简便方法。 我们现在使用的从 0 到 9 的阿拉伯数字，大约在其 800 年后才出现（而且还是出现在印度，不是在阿拉伯地区）。位值制记数法，即根据同一符号的不同位置来表示其数量级（例如 30、300和 3000 中的 3）的方法，彼时在古巴比伦还处于起步阶段，尚未传入古希腊。况且当时还没有像指数记数法这样的东西，即一个数自乘多少次可以写成上标（即 1063 中的 63）。 在阿基米德开始计算宇宙沙粒时，古希腊人还是用字母表中的字母来表示数的。我们现在的数——1 到9，10 的倍数（10到 90）和 100 的倍数（100 到 900），那时都用不同的字母表示。我们熟悉的 24 个希腊字母，从 α 到 ω（今天的希腊语中仍在使用），必须辅以取自更古老的语言和方言中的其他字母，才能提供足够的记号。α 到 θ 代表 1 到 9，ι 到 φ（源自腓尼基语）代表 10 的倍数（10 到 90），ρ 到 ?（在爱奥尼亚东部一些方言中使用）代表 100 的倍数（100 到 900）。古希腊人不会在不同的位置重复使用同一个字母，例如，222 会写成 σκβ（＝200 ＋ 20 ＋ 2）。对于 1000 的倍数（1000 到 9000），一些字母会重复使用，但须另附各种标记。这就是古希腊的记数系统所能达到的极限，除了 murious——它是已定义的最大的单个单位，写作 μ 的大写 Μ，相当于我们今天的 10 000。罗马人称它为 myriad，这一名称后来被英语吸收，但含义发生了变化，表示“无数的”或非常大（但未定义）的数。 使用上述字母串记数的方法，古希腊人可以写出比 murious更大的数，但也只能是 M 的倍数。例如，1 234 567 会写成ρκγΜ, δφξζ（123×10 000 ＋ 4567）。但对于超过几亿的数来说，这种记数法很快就后继乏力。 阿基米德意识到，要表示他在计算宇宙沙粒时所产生的那种巨大的数，必须想出一套全新的数字命名系统。阿基米德首先将所有不超过 myriad myriad 的数定义为“第一阶”的数——对我们来说这似乎并不是一个很大的进步，因为我们可以很容易地将myriad myriad 写成 104×104，也就是 108（1 亿）——然后从这里开始无限延续下去。但是阿基米德开始他的大数项目时，并没有像我们的指数记数法这样用指数来表示一个数自乘次数的东西。 在将所有不超过 myriad myriad 的数定义为第一阶的数之后，阿基米德继而考虑了介于 myriad myriad 和 myriad myriad 乘以myriad myriad（1 后面跟着 16 个 0，或者用现代记数法是 1016）之间的数，并将这些数称为“第二阶”的数。之后他依此类推，以同样的方式定义了“第三阶”“第四阶”的数——后一阶都比前一阶大 myriad myriad 倍。最终，他达到了“第 myriad myriad阶”的数，换句话说，在我们的指数记数法中，是 108 自乘 108 次，即 108 的 108 次方，等于 10800 000 000。他将所有这些数定义为“第一周期”的数，如果将其中最大的数完整写下来，会有8 亿位。他把 10800 000 000 这个数本身作为“第二周期”的跳板，以它为起点再次开始这个过程。他用同样的方法定义了第二周期里的阶，每个新的阶都比前一阶大 myriad myriad 倍。到“第myriad myriad 周期”结束时，阿基米德得到了 myriad myriad 的myriad myriad 乘以 myriad myriad 次方这么大的数，我们可以将它写成 1080 000 000 000 000 000，即 10 的 8 亿亿次方。 请记住，阿基米德并不知晓我们书写大数的紧凑写法，古希腊数学中甚至没有零的概念。他从一个为超过几亿的数命名都困难的系统出发，创造了一种可以描述在 10 进制下有 8 亿亿位的数的方法。 事实证明，在数沙项目中，阿基米德并不需要这么大的数。利用他对一颗沙粒和整个宇宙大小的估计，阿基米德得出的数只达到了第一周期的第八阶。用指数记数法，仅仅 8×1063 颗阿基米德估算大小的沙粒就足以填满希腊人认知里直径 2 光年的宇宙。即便使用现代更大的估计，可观测宇宙的直径为 920 亿光年，填满它也用不到 1095 颗沙粒——而这个数刚刚才达到阿基米德第一周期的第十二阶。 《数沙者》是最前沿的工作。阿基米德不仅在有限的数据条件下提供了一幅与我们现在所知最接近的宇宙图景，而且发明了一种描述大数的全新方法。阿基米德是第一个在没有现代记数法的情况下解决了命名和操作大数问题的人。他使用以 10 000 为底的数字系统，有效地开创了幂运算——即将一个量提升到另一个量的幂次的过程。他还发现了同底数幂相乘、指数相加的规律，即对于任意的数 x，m，n，有 xm×xn ＝ xm+n。例如 32×33 ＝ （3×3）×（3×3×3）＝ 35。 阿基米德第一个证明了人有可能超越其时代传统——在他所处的那个时代，大数传统上被简单地称为“无数”。这种处理方式在描述沙粒和星星时尤为明显。比阿基米德更早的古希腊诗人品达（Pindar）在他的《奥林匹亚颂》第二首（Olympus Ode Ⅱ）中写道：“沙粒无法计数。”希腊语中甚至还有一个词 psammakósioi（字面意思“沙百”），就是用来表示“不可数的”。《圣经》的作者也放弃了沙粒和星星的计数。《圣经》里有 21 处提到不可能计算出沙粒的数量。《旧约·创世记》（32：12）中说：“海边的沙，多得不可胜数。”《新约·希伯来书》（11：12）更是将沙粒和星星混为一谈：“如同天上的星那样众多，海边的沙那样无数。” 正如我们所见，阿基米德并没有把自己局限在海边甚至整个地球的沙粒上。他想象整个宇宙都充满了小到几乎看不见的沙粒，这样就保证了同时代没有人能超过他估算的数。几百年后，世界另一个地方的知识分子，出于截然不同的目的，也写了一些关于大数的东西。如果能知道阿基米德会如何看待后人的努力，那将是一件很有意思的事情。 东方哲学，尤其是佛教，一直着迷于空间、时间和心灵的广袤。因此，这些思想体系的学者们最终转变观念，开始在最广大的宇宙尺度上用数来表示事物的年龄或程度，也就 不足为奇了。写于公元 3 世纪的大乘佛教经典之一《方广大庄严经》中，有一段发生在已经去世数百年的佛陀（Gautama Buddha）和神秘数学家阿周那（Arjuna）之间的对话。佛陀在回答阿周那的问题时，阐述了一个基于拘胝（koti，又作拘梨，梵语“一千万”）的数值系统，令人晕头转向。佛陀在每一步都会说出一个百倍于上一步的数：1 阿由多（ayuta）是 100 拘胝，1 尼由多（niyuta）是 100 阿由多；以此类推，直到怛罗络叉（tallakshana），它等于 1 后面跟着 53 个 0。佛陀解释说，在怛罗络叉的范围之外，还有一个阇阿伽罗摩尼（dvajagravati），等于1099，接着是其他 4 个递增的层级，直到随入极微尘波罗摩呶罗阇（uttaraparamanurajahpravesa），相当于 10421。?" "1.寻找最大的数以及用什么方法表达并形成大数，是数学领域一个非常有趣且很多人研究的一个主题。世界上有最大的数吗？在不加任何修饰限定的情况下，答案显然是否定的：无论你说出多大的一个数，通过简单的“加1”我们就可以得到一个更大的数。但探寻最大的数这一问题并没有就此终结，因为我们真正感兴趣的，是那些大且“有意义”的数。这种意义既可以来自于现实的物理世界，也可以来自于抽象的数学世界。科学领域中目前有意义的最大数字是多少？是我们本书追问的目标，读到本书结尾，你会获得答案。 2.以寻找最大的数为线索，回顾了数学发展史及伟大数学家的故事。大数探索肇始于东西方哲人对宇宙的描述和思考：阿基米德试图用沙粒填满古希腊人认知里直径两光年的宇宙，而佛陀遍历了梵文辞典来激发普罗大众对宇宙的敬畏——两者持有截然不同的目的。从阿基米德数、古戈尔数、爱丁顿数、梅森素数、香农数、斐波那契数、葛立恒数，到阿克曼函数、康威链式箭号表示法、高德纳箭号表示法，从庞加莱、图灵、希尔伯特、康托、哥德尔，从指数、数论到图论，遍历伟大数学家思考和发现大数的故事。 3.适合对大数好奇的普通读者，也适合数学专业人士。在追寻最大的数的路上，我们会遇到一些非比寻常的想法，它们与我们惯有的思维方式很不一样，因此最大的挑战是找到熟悉的词汇和概念，通过它们搭建起理解的桥梁。我们将远离“故土”，冒险进入迄今为止很少有人亲见或经历过的思想领域。我们追求的是找到数字宇宙的边界。"