小学数学思维方法（第二版）

作者简介

王宪昌，吉林师范大学数学系教授，主要从事代数学、数学史、数学文化、数学思维与创造性思维的教学与研究工作。在《自然辩证法通讯》《自然科学史研究》《科学技术与辩证法》《数学教育学报》等刊物上发表《李约瑟难题的数学诠释》《宋元数学与珠算的比较评价》《中国数学哲学的兴起》《关于数学文化研究的几点思考》等研究论文四十多篇。出版《数学思维方法》（普通高等教育“十一五”国家级规划教材）、《数学文化概论》《数学与人类文明》《数学思想史》（合著）、《数学教学专题讲座》等著作和教材十余部。

内容简介

数学思维方法概述
导学
数学思维方法是在中国数学教育界发展起来的一门课程，它与美籍匈牙利数学家、数学教育家G波利亚的数学教育方法既有联系又有很大区别。本章主要是了解数学思维方法产生发展的历史过程，明确数学思维的特征与规律，掌握数学思维方法的分类。结合中国数学教育的具体情况，认识和理解数学思维方法在初等教育中，特别是在小学数学教育中的地位，为进一步掌握和运用数学思维、数学思维方法做准备。第一节数学思维方法的产生与发展数学思维方法的教学活动是数学方法论教学活动的继承与发展，数学思维方法的教学是继数学方法论教学之后，在数学教育界广泛开展的一个数学教育内容。一、数学方法论在中国的产生与发展
数学是人类智慧的结晶。数学作为一门学科，在人类文明进程中发挥着巨大的作用。人们一直想探寻一种“方法”，用这种“方法”来规范、统一数学的模式并进行创造。在人类历史上，古希腊学者认为“万物皆数”，即用算术的方法描述世界，后来又发明了用欧氏几何的体系来表现数学的意义。笛卡儿曾经提出过“万能的方法”，即把任何问题化归为数学问题，再把数学问题化归为代数问题，通过解代数方程就可以解答一切问题。20世纪30年代，在数学研究领域中，布尔巴基的结构主义，基础学派的形式主义、逻辑主义、直觉主义等，都在探寻一种方法来规范数学的形式。但是，数学的历史发展告诉人们，数学中没有一种“万能的方法”。那么有没有一种可能作为初等教育的一般教学方法呢？为此，很多人都做出尝试，最有影响的当属美籍匈牙利数学家、数学教育家G.波利亚所做出的贡献。相关资料G波利亚是深孚众望的数学家、教育家。1887年12月13日，他生于匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地研习数学、物理和哲学，获博士学位。1914年曾在瑞士苏黎世工业大学任教。1940年移居美国，历任面朗大学、斯坦福大学教授。1985年卒于美国，享年98岁。他在数学领域里有极精深的造诣，不愧为一位杰出的数学家；他还热心于教育，十分重视从小培养学生思考问题、分析问题的能力。波利亚的著作《数学的发现》（第一、二卷）、《数学与猜想》（第一、二卷）等对西方的初等数学教育产生了很大的影响，波利亚书中介绍的数学解题方法如双轨迹模式、笛卡儿模式、递归、叠加、归纳与类比、合情推理等，都成为初等数学教育中的重要方法。
在中国的数学教育中，所谓的数学方法论在20世纪80年代以前，就是指波利亚的“启发法”，即数学的发现与解题的方法。对于数学教育而言，寻找一些带有规律性的方法是每一个数学家、数学教育家都不断追求的目标。20世纪80年代，数学家徐利治教授的《数学方法论选讲》，在中国数学教育界产生了很大的影响，受到了广泛的认同与欢迎。于是以徐利治教授的“数学方法论”为代表的中国式的数学方法论教学在全国高等师范院校中迅速展开，数学方法论成为数学教育领域内很受欢迎的一门课程。相关资料徐利治教授的《数学方法论选讲》选用十个典型的专题，对数学的发展规律和思想方法进行了认真的研究与讨论。徐利治教授认为这些专题的讨论与研究对数学或数理哲学领域的科研工作者和教师有一定的参考价值。《数学方法论选讲》的十个专题分别为：（1）数学方法论引论；（2）略论数学模型方法；（3）关系映射反演原则的应用；（4）略论公理化方法；（5）关于数学的结构主义；（6）代数方程根式解法和伽罗瓦的群论思想方法；（7）关于非标准数域和非康托型自然数模型的构造方法；（8）悖论与数学基础问题；（9）论数学基础诸流派及其无穷观；（10）略论数学发明创造的心智过程。徐利治.数学方法论选讲.武汉：华中工学院出版社，1988.数学方法论的产生与教学，推动了中国初等数学教育的发展，一系列数学方法论的著作与教材陆续出版。在数学方法论被高等师范院校引为数学教育内容的同时，江苏教育出版社出版了一套《数学方法论丛书》，为数学方法论的研究和教学提供了广泛的参考。从1989年开始，江苏无锡市教育科学研究所开展了“贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质”的数学教育实验（简称MM实验）。1994年8月通过专家组鉴定，MM教育方式不断推广。
二、数学思维方法研究与教学的兴起
随着中国数学教育界数学方法论的教学与研究的深入发展，人们注意到数学教育的另一个方面，即数学教育不仅仅是一种方法，还应当注重形成某种数学方法背后的特定的思维模式，于是数学方法的研究开始转向更深一层的数学思维方法的讨论与研究。一些学者认为，数学方法的学习更应突出数学思维的重要意义，数学教育应当强调教学中积极的思维活动，它的意义超出单纯的记忆或单纯掌握一种具体的方法。随着心理学领域一些研究成果与数学教育的结合，西方的一些数学教育的研究也开始注重心理学中有关思维问题的研究，并探索其在数学教育中的作用。现代的数学教育认为，波利亚所提倡的数学解题方法、合情推理方法不应当成为一种程序化的逻辑解题过程，而应当突出其中的思维活动。现代西方数学教育提倡的“问题解决”的方法，也是创造性的思维活动，需与具体的数学问题结合起来。现代的数学教育理论认为，数学学习的目的，已经开始从掌握“数学知识和技能”向掌握“数学问题的一般方法”即“数学式地思维”的方向转变。与其他学科中的思维相比，数学思维具有特殊性，它在数学教育中占有重要的地位。数学思维的教学形式对数学教师提出了更高的要求，数学教师对数学思维的学习与理解会对教师的数学教育产生深刻的影响。相关资料徐利治教授的学生，同时又是最早从事数学方法论研究的郑毓信教授撰写了许多数学方法论方面的著作，并发表了一系列有关数学教育的专业论文。郑毓信教授等人撰写的《数学思维与数学方法论》影响深远。郑毓信，肖柏荣，熊萍.数学思维与数学方法论.成都：四川教育出版社，2001.郑毓信教授等认为国外的相关研究给予了我们一个重要启示，即数学方法论不能局限于纯理论的分析，必须有相应的心理研究（包括数学发现心理学和数学学习心理学），即以对于实际数学思维活动的深入考察为必要的基础。该书共有七个部分：（1）国内外相关研究的必要互补；（2）问题解决及其策略；（3）解题活动的认知心理学研究；（4）数学概念的生成、分析与组织；（5）概念学习过程中的思维活动；（6）数学思维中的非逻辑成分；（7）从理论到教学实践。
由于数学教育关注数学思维，也由于数学方法论研究提供了数学思维的教学内容，人们开始了数学思维教育的研究。近年来，数学教育界已开始形成相关的数学思维的教育内容。数学思维方法研究的内容及其发展，紧紧地与以下三个方面相联系：第一，数学思维方法研究紧紧跟随和运用数学方法论的内容。数学方法论提供的类似“问题解决”的数学方法，为数学思维方法研究的开展提供了素材和发展空间。同时，数学思维方法研究也促进了数学方法论的进一步发展。第二，数学思维方法的教学，不仅要强调数学方法具有的方法论意义，而且要强调说明在这些数学方法中，数学思维活动的积极意义。现代的研究表明，在数学课堂上学到的一般解决问题的技能和能力，尤其是思维的能力，会在某些情况下迁移和运用到解决其他问题的场合。从这种意义上来说，数学思维的教学远远超过注重程式化方法的教学。第三，数学思维方法的教育内容，更应当与非逻辑思维、创造性思维相联系。非逻辑的联想、类比、猜测既是数学的一种思维方式，又是创造性思维的基础。数学思维方法应当与思维的创造性相联系，而不是把数学限的数学概念、极限的思维及计算方法使人类认识客观世界的能力大大提高。可以说，没有极限理论，没有无限的思维方法和表达形式，就没有现代的数学理论。极限的数学思维方法虽然在小数教育中没有教学的任务，但是作为教师，了解数学的发展历史，理解数学思维变化的历程也是十分重要的。三、随机现象研究的思维方法
在研究随机现象的数学方法——概率论出现之前，人们对偶然出现的数学问题还没有解决的方法。例如，自然界洪水泛滥的年代、每年传染性疾病发生的状况、大自然中暴风雨出现的规律等，在研究随机现象的数学思维出现之前都没有一种确切的数学表达方式。最简单的例子就是人们抛一枚硬币，硬币中某一面出现的状况是无法描述的。从数学发展的规律来分析，社会生产和生活实践的需求也是推动数学发展的重要动力。17世纪西方工商业的大发展促进了社会保险业的诞生，需要对突发的水灾、火灾、意外死亡损失等出现的概率进行研究，这大大地推动了对随机现象的研究。相关资源直接引发数学家研究概率论的是“合理分配赌注问题”。1494年意大利数学家帕齐利在他的著作中首先记载了这一问题：两个赌徒比赛，先胜6次者为赢。两个赌徒在一个胜5次、另一个胜2次的情况下，赌局因故中断，问总赌注应该如何分配。概率论创立的标志是18世纪数学家雅各布·伯努利的著作《猜度术》的出现。梁宗巨，王青建，孙宏安.世界数学通史：下册.沈阳：辽宁教育出版社，2001：696700.
从数学思维方法的意义分析，数学中的概率论是一种从数量上研究偶然性，并在分析偶然性因素的变化中，寻找其某些规律、数量关系的数学方法。概率论作为揭示偶然性与必然性关系的一个数学分支，使人们对客观世界中存在的各种不确定的随机事件有了新的认识，并形成了一种确定性的数学表述方法。例6：连续两次抛掷一枚硬币，如果第一次正面朝上，那么第二次一定是反面朝上吗？解题思路：从概率角度分析，抛一枚硬币正面和反面朝上的可能性相等，都是二分之一。并不会因为第一次正面朝上而影响第二次正面和反面朝上的可能性相等的理论事实。因此，第二次正面和反面朝上的可能性仍然相等。 例7：天气预报预测明天降水的概率是90%，明天一定下雨吗？ 解题思路：明天是否降水是一个随机事件，尽管降水概率高达90%，说明降水的可能性很大，但可能性大的事件也可能不发生，所以不能说明天一定下雨。可以认为，对偶然的随机现象的认识，使概率论成为研究客观事物规律的一个极为重要的工具。运用大量数据进行统计，从而寻找某些规律，已经成为现代人认识世界的重要思维方法。例8：袋中装有4个红球和1个白球。只告诉学生袋中球的颜色为红色和白色，不告诉他们红球数目与白球数目，让学生通过多次有放回的摸球，统计摸出红球和白球的数量及各自所占比例，由此估计袋中红球和白球数目的情况。解题思路：本例题借助摸球游戏，使学生体会到数据的随机性。一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸），就能发现一些规律。教学时，教师可以先鼓励学生思考，在不打开袋子的前提下，如何估计袋中红球和白球的数量情况，启发学生想到可以通过摸球得到数据，由数据进行估计。然后，教师组织大家做摸球活动，在摸球的过程中提醒摸球的规则：有放回，尽可能摇匀，并指导学生记录下每次摸到的颜色。为了保证试验次数，全班可以分小组进行试验，然后将所有小组的试验数据汇总。通过统计和比较摸到的红球和白球的数量，对袋中球的情况进行估计。实际上，如果袋中装有4个红球和1个白球，可以知道摸到红球的概率为45（也就是810）。通过摸球的试验，可以用红球出现的频率来估计概率，显然，摸球的次数越多，估计的精度越高。一般情况下，摸球的次数与估计的精度之间的关系是什么呢？通过计算可以得到：保证有80%以上的可能使得“摸到红球的频率在710到910之间”，需要摸27次以上；保证有95%以上的可能使得“摸到红球的频率在710到910之间”，需要摸60次以上。教师不必会推导这个结论，但知道这个结论，可以使教师更好地理解运用数据进行估计的内涵并进行有效操作，知道通过摸球的数据进行推测并不是毫无道理的“瞎碰”，而是有数学理论保证的。对随机现象的研究，并由此形成的以概率论为代表的数学理论及其思维方式，在数学的意义上至少有如下三个方面的作用：第一，随机现象的研究，推动了原来的必然性规律的数学理论的发展。因为随机现象对研究原来的确定性、必然性的数学理论提出了新要求。第二，随机现象的研究，使我们对世界发展的客观规律有了新的认识。如何对自然科学与社会科学中的随机现象给出数学的表述，成为随机现象研究的广泛领域。第三，将随机现象研究的概率论作为统计数据中随机现象研究的基础，把统计学提升到了新的层次。数理统计成为一门广泛应用于客观世界的数学工具。现在由计算机与互联网进行的“云计算”“大数据”的研究，大量运用到了对随机现象的研究成果上。作为一种研究，随机现象的思维方法代表了数学思维的深入和探索。理解并运用这种思维方法，也是初等教育中数学专业老师应具备的素质。四、模糊数学的思维方法
在模糊数学没有出现之前，数学讨论的思考对象，如数量、空间、元素都是确定的，随机现象表现的对象在随机出现时也是确定的。但是在有的客观事物中，讨论的对象本身就没有确定性而带有模糊性。如是否年轻、温度的高低、衣物洁净程度等，这些事物在人的理解中存有很大的模糊空间。40岁的人对于70岁的人来说算年轻，而对于20岁的人来说不年轻；温度零上10度，对于零下30度的环境是高温，而对于零上30度而言是低温。模糊数学在处理这种“亦此亦彼”的研究对象时，用一个模糊集合、采用一个“隶属函数”的形式来表示事物的模糊性特征。相关资源模糊数学认为，普通集合是一个明确的集合。对于这种集合，一个元素与它有明确的隶属关系，要么属于这个集合，要么不属于这个集合。如果把这种特征看作一种函数关系式，则可以写成A（u）=1,当u∈A时
0,当uA时这里的A(u)，成为集合A的特征函数。对于模糊集合，一个事物与它没有“属于”或“不属于”的绝对分明的隶属关系。也就是说，一个事物可能有一大部分或一小部分属于这个集合，即一个事物属于这个集合处于“亦此亦彼”的模糊状态。模糊集合论的创始人查德给出了集合的隶属函数的概念，隶属函数是把特征函数值由二值函数{0，1}推广到［0，1］闭区间上的任意值。通常把隶属函数表示为μ（u），它满足0≤μ(u)≤1或记作μ(u)∈［0，1］所谓给定论域U上的一个模糊子集A是指：对于任意u∈U，都指定一个数μ(u)∈［0，1］，叫作u对A的隶属度，函数μ（u）叫作A的隶属函数。例如图中，μ(u1)=05，μ(u2)=01，它表示u1属于这个集合的“程度”是05，而u2属于这个集合的“程度”是01。显然，这是一种非普通集合的模糊状态。例如，“年轻”是一个模糊概念，确定一个人是否年轻是困难的，因为它没有明确的界限。现在我们用模糊集合的方法就可以划分一个人的年轻“程度”。取论域U=［0，100］(年龄)。设描述“年轻”的集合为Y。年龄u属于Y的隶属度为Y(u)=1,0≤u≤25
1+u-2552-1,25≤u≤100由Y（23）=1，Y（40）=01可知23岁的人隶属年轻人的程度为100%，而40岁的人隶属于年轻人的程度为10% 。陈贻源.模糊数学.武汉：华中工学院出版社，1984：1821.
模糊数学表现的思维方式，表现了数学思维在探索未知领域的独特表现形式。作为数学的维方式，模糊数学至少给我们三点启示：首先，数学思维不受任何束缚，数学思维可以探索人类想要研究的任何领域，无论是确定、随机还是模糊的。其次，模糊数学扩大了数学的应用领域，其一切需要模糊识别、模糊判断、模糊决策的领域，数学都可以发挥作用。最后，模糊数学的思维方法，使人们对事物认识的“同一”与“差异”有了新的理解。在隶属程度的意义下，差异与同一联系起来，并且将“部分的同一”数量化。这是对数学方法论的又一贡献。对于小学的数学教育而言，在数学方法和思维方法的层面上，只有算术与代数的思维方式与小学数学教育相关。极限思维方法、随机思维方法、模糊数学的思维与小学数学教育的内容关联甚微。但是对数学的理解，对数学思维的变化的理解，会对教师的数学教育起到良好的引领作用。讨论与思考1.说明算术思维与代数思维的差异。2.为什么说极限数学思维方法是数学的一种飞跃？3.举出具体实例说明随机现象在日常生活中的表现。第四节数学思维方法与数学教育数学思维方法的发展与数学家、哲学家对数学的思辨有关，数学家们对数学的理解往往会形成一种独特的思维方式。对数学教育而言，了解数学的思维方法与数学家的哲学思考，了解数学历史变化中的某些关系，并且由此认识数学思维、数学思维与数学教育的关系，对我们所从事的数学教育有积极意义。一、数学思维方法与数学哲学
在数学的历史中，早期西方的数学家、哲学家都认为数学是绝对正确的真理。因此，数学的学习和教学都是一种严格、绝对的知识和数学逻辑的传授。那时把数学看作静态、凝固的，由抽象的数学知识构成的数学的理论大厦。但是20世纪的数学哲学和数学自身的研究证明，数学也是可以错的，严谨只是相对的，证明也是可以反驳的。现代的数学被描述为动态、不断流动的、新陈代谢的河流。张奠宙,李士锜.数学教育学导论.北京：高等教育出版社，2003：26.在西方数学经历了20世纪初期的论证之后，由形式主义、逻辑主义、直觉主义形成了三大派别的数学哲学观。由此而形成的形式化、逻辑化、构造化的思维方法，对数学思维也产生了很大的影响。随着“拟经验主义”的数学哲学观、模式论的数学哲学观的发展，人们开始认识到某些数学的经验性与拟经验性。对数学教育而言，人们不再过分地强调数学的知识、解题方法，而对数学的思维方法、数学的思维过程给予格外的注意。换句话说，由于人们对数学的理解和认识的改变，数学由绝对真理、知识结构向方法及思维的方向演变。相关资源张奠宙教授认为，数学观念的变化必然带来数学教育观念的变化。例如：（1）数学不等于逻辑。数学要讲推理，但更要讲道理。（2）数学不是知识的堆砌。数学教学要培养学生的能力，形成数学意识，倡导数学创新。（3）数学不等于做练习。数学教学要培养学生质疑反思能力，善于构造概念、提出命题、猜想结果、完善证明。张奠宙,李士锜.数学教育学导论.北京：高等教育出版社，2003：3233.
二、数学思维方法与数学史
在数学的发展进程中，数学前进的每一步，其实都伴随着独特的数学方法和数学思维形式。对于初等数学而言，算数、代数、初等几何等具有丰富的数学方法和数学思维内容。传统数学教育的一个误区，就是只看中知识、只注重记忆，而忽略了数学方法形成时的数学思维方式。把知识和理论当作传授教育的唯一任务，以致真正的数学能力，即运用数学解决问题、用数学的思维去观察和思考问题的能力被忽略了。从数学史的意义上说，数学理论的发展，首先依赖数学家与前人不同的思维方法，正是这种方法才推动了数学向前发展。对于初等数学，尤其是小学数学的教育而言，传授如何用数学的思维方式去理解数学知识、方法，如何用数学的思维去解决实际问题，就显得更为重要了。从这一点上来说，数学教师的数学史的知识及修养就是应当具备的素质。相关资源对于中国数学的历史而言，由于缺乏严格的形式逻辑的历史创造和继承，所以多是为了实用目的形成的初等数学。了解中国数学的发生、发展尤为重要。中国古代用被称为“算筹”的竹棍进行计算。这种算筹的摆放有两种形式：纵式：
横式：中国数字:一二 三四五六七八九中国古代数学形成了独立的算法并创造出与《几何原本》同样重要的数学著作《九章算术》。《九章算术》著作中的数学问题及其解法，代表了中国古代的一种独特的数学思维方式。
小学数学的学习是人生基础知识、方法和思维模式重要的奠基过程。这种学习方式、思维方式对其他学科的学习有重要的迁移作用。从这种意义上说，数学思维教育的意义更为重要。三、数学思维方法与数学教育
数学思维、数学思维方法是刚刚兴起的教学内容。从教育的角度考察，一种新的教育内容的确立，需要教育者认识到教育的内容、方法和教育目标的明确性。在现代教育中，数学思维、数学思维方法的教学有如下三方面的意义：首先，数学思维是现代公民应当具有的基本技能。数学思维可以加深人们对数量、数学方法的理解。我们必须意识到数学思维及数学思维方法的教学不是为培养数学家进行的训练，而是对数学知识、方法的基本教育。其次，数学思维、数学思维方法的学习，可以使人们尤其是少年儿童迅速地抓住数学问题的基本特征，然后从数学思维的角度思考和解决问题。在这一点上，小学基础数学的教育就显得格外重要。最后，数学思维、数学思维方法的教育，会使少年儿童较早地学会从数学的层面考察问题、解决问题。数学概念、数学知识可以通过电子信息由互联网取得，但数学的思维只有掌握了才能运用，这是互联网无法解决的。数学思维方法是一个开展不久的数学教育内容，学习、培养和运用数学思维方法是当前基础数学教育十分关注的。当然，这也是数学教育专业人员当前正在研究、讨论和不断探索的内容。讨论与思考1.了解数学家关于数学整体的认识与理解。2.中国数学史中关于算术计算的思维方法对小学数学教育有哪些启示？3.为什么强调数学思维、数学思维方法是现代数学教育的重要内容？

拓展阅读导航1.郭思乐,《数学思维教育论》,上海教育出版社，1998年版。本书对数学思维教育的目的、数学家的思维方式、数学思维的教育过程、数学思维观念、数学思维的能力培养等问题进行了比较深入和详细的论述，作为数学思维方向的研究，是国内出版较早的专门著作。2.郑毓信、肖柏荣、熊萍，《数学思维与数学方法论》,四川教育出版社，2001年版。本书是郑毓信教授“数学、哲学、文化、教育系列”丛书之一，本书讨论研究了问题解决及其策略、解题活动的认知心理学、概念学习过程中的思维活动、数学思维活动中的非逻辑成分等。郑毓信教授是我国数学方法论较早的研究者、倡导者，此书是郑毓信教授多年数学方法论研究的一个总结性论著。3.张奠宙、过伯祥，《数学方法论稿》，上海教育出版社，1998年版。本书作为数学方法论专著，对数学方法论层次的划分，对重大数学方法与哲学范畴的讨论，对数学中一般科学方法的论述及有关中学数学方法原理的论证，有许多独到和深入之处。全书包括数学方法通论，数学中使用的一般科学方法，建构数学知识的常用数学方法，数学应用中的常用方法，中学数学方法的形式化、简单化、等价变换、递次渐次原则等内容。4.王宪昌，《数学思维方法》，人民教育出版社，2012年版。本书研究分为三个部分：第一部分是对数学思维方法的概述和对数学中几种重要思维方式的介绍，这部分内容会使学习者对数学思维、数学思维方法与数学、数学教育的发展有一个比较全面的理解；第二部分是目前国内比较有代表性的数学方法论与数学思维方法研究的主要内容，这部分内容可以使学习者掌握数学思维的具体方法及要求，并由此形成对数学方法与数学思维方式的深入理解和运用；第三部分主要从中西数学文化差异、思维模式的角度，梳理数学思维方法的作用，使学习者认识到我们目前的数学教育是中西文化交流融合的重要内容，同时使学习者对数学美学、数学思维方法的未来发展及研究方向有一个比较清晰的认识。该书是供高等师范院校数学教育专业、小学教育专业使用的数学教育教材，同时也可作为中小学数学教师的教学参考书。第二章数学思维中的逻辑思维与非逻辑思维第二章




思维方法作为一种新的程式化教学来设计。数学思维方法与非逻辑思维、创造性思维的联系，对数学教师的教学研究提出了新的要求。三、数学思维研究的层次性
在数学方法论的讨论中，对于不同数学方法曾有过宏观与微观之分。宏观数学方法论是指整个数学的体系，或者某一历史阶段数学所具有的方法论特征。微观教学方法论是指数学某一学科或者某一数学分支所具有的某些方法论特征。数学思维研究的是数学形成方法、规律背后的一种思维方式，它当然与数学方法论是密不可分的。从数学思维的应用角度分析，大体可以把数学思维分为四个层次：第一个层次，哲学意义上思辨的数学思维方法。从数学的发展史上考察，数学在特定的历史年代，在某一个特定的发展阶段都形成了一种特定的思维方式，进而形成了一种有明显方法论特征的数学结构。例如，古希腊的数学家在“万物皆数”的数学观之后曾一度认为几何图形是构造世界的基本形式，于是就形成了以欧几里得的《几何原本》为代表的数学思维方式，并由此形成了当时特定的数学思维及方法。哲学家、科学家、解析几何创立者笛卡儿认为，用代数方法可以解决世间的一切问题。他不仅把几何与代数相结合创立了解析几何，还认为除了灵魂属于上帝之外，其余的一切都可以用数学（代数）的方法解决。于是笛卡儿从方法论的哲学观层面给出了一种数学的思维方式。希尔伯特认为可以由形式化符号的推演构造出全部数学，历史上称为形式主义，这种数学思维的方法实质上表现了一种对数学整体的思考和理解。相类似的一些思维方法都是一种全面性的、对数学整体理解的、哲学层次的数学思维方法。第二个层次，一般科学方法论层次的数学思维方法。在人类文明进程中，许多科学的方法都有共同的特征。数学的一些思维方法也与其他的科学方法有相同的某些特征。考察历史可以发现，西方文化都曾受到古希腊数学的巨大影响。从西方早期哲学家、科学家大都是数学家这一现象可以看到，许多科学的一般方法实际上大都可以从数学思维中寻得根源。当然，在现代的一些科学方法论中，许多思维方法已经超越了数学。但是可以发现，类比、联想、猜想、试错、分析综合、归纳演绎等一些方法，是数学与自然科学共有的思维模式。从数学思维方法的层次考察，这些思维方式可以处理数学中的许多问题，但一般不会构成对数学本身的哲学思考，因此它是属于第二层次的数学思维方法。第三个层次，具有独特数学特征的数学思维方法。数学由于自身的特点，因此具有了某些独特的思维方式。这种思维方法通常是指某种独特的数学表现形式，或为某个数学家群体独特运用的思维方式。例如群论运用的独特思维方式、函数论中应用的独特思维方式、拓扑学中运用的独特思维方式等。这属于第三个层次。第四个层次，初等数学中的某些思维方法。这一层次的数学思维方法可以分为两个部分：其一是指初等数学自身具有的某些数学特征，以及由学习和运用这种数学形成的思维方式。其二是指在学习初等数学时，由于学习和解习题需要而形成的某些解题的思维方式。在这个层面，多年来我们取得了一系列的研究成果。作为数学思维方法，尤其是作为小学数学的教学，我们也更关注这一部分的内容。本书内容也大都会按第四层次的数学思维方法展开。这种数学思维方式的划分，可以使我们理解数学这门学科的全部特征，不会只局限于解题方法而忽略对数学整体发展的了解。对于整个数学特征的了解，还可以使我们更好地运用数学思维方式进行数学的学习和教学。相关资源张奠宙、过伯祥、方均斌、龙开奋在2012年出版了《数学方法论稿》。 全书共分三篇。第一篇主要论述了重大数学方法与哲学范畴、数学中使用的一般科学方法、构建数学知识的常用数学方法等。第二篇主要论述了中学数学方法的原理、原则，如形式化、简单性、等价变换、映射反演、逐次逼近、系统化等。第三篇讨论了数学思想方法与数学教育。张奠宙教授在数学方法论方面的研究有很独到的见解，书中选取的例题也很有方法性及示范性。本书提出数学方法可分为以下四个层次进行讨论。即：第一个层次，指基本重大的数学思想方法，如模型化方法、微积分方法、概率统计方法等。第二个层次，与一般科学方法对应的数学方法，如联想、类比、分析综合、归纳演绎等。第三个层次，数学特有的方法，如数学等价、数学表示、公理化、关系映射反演等。第四个层次，中学数学中的解题技巧，它的内容是初等数学，规律较为明确。张奠宙，过伯祥，方均斌，龙开奋.数学方法论稿.上海：上海教育出版社，2012.
数学方法论与数学思维方法的研究与教学，目前还是一个新兴的学科，它的许多内容都在讨论和发展中。在小学数学教学中，如何进行数学思维方法的学习与教学目前也是一个很受关注的研究领域。讨论与思考1.数学方法论的研究与教学为什么会向数学思维方法的方向发展？2.小学数学教学中应如何注重数学方法与数学思维的转换？3.波利亚、徐利治等一批数学家对数学方法的研究给我们哪些启示？4.小学数学学习中解题方法与思维的作用有什么差异？第二节数学思维方法研究的主要内容数学思维方法主要研究数学的学习者在从事数学活动时思维发生、发展的某些规律，从而了解人们在形成一个数学的概念、命题、方法时思维所具有的某些特征。由此可知数学思维方法在探讨有关数学的概念、命题、方法时会运用某些思维科学与心理学研究的成果。因此可以这样认为，数学思维方法在研究有关数学的学习方法、运用方法、解题方法时必然将讨论思维、思维规律、数学思维的一些特征。同时，数学思维也将讨论数学的发现、解题中的一些创造性思维的规律。一、思维
关于思维的研究与讨论，目前属于心理学与思维科学的研究范畴。（一）思维的定义心理学给思维的定义是：思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反应。思维是一个复杂的心理过程，当客观事物作用于人脑时，人脑会对各种信息有一个分析、综合、比较、抽象、概括、系统化、具体化的过程。作为一种认知过程，思维是在感知认识基础上进行的理性认知，它属于认知过程的高级阶段。例如，在对三角形的认识中，感知只能认识到三角形的形状、颜色和大小，而思维则会舍弃三角形的这些表象特征，概括出任何三角形都具有三个角、三条边以及三角形内角和等于180°等共同的本质特征。（二）思维的特征思维具有方向性、概括性和间接性特征。1.思维的方向性思维的方向性特征又称为目的性、探索性或问题性特征。所谓的思维方向性，是指思维在对事物的本质及其规律的寻找过程中，总是以解决问题为方向，也就是说思维总是沿着解决问题的方向发展自己。2.思维的概括性思维的概括性特征是指思维不仅仅依赖当前的刺激和直接的感知（和知觉不同），它还具有舍弃某些事物的表象而直接进行抽象概括的特征，即把同一类事物的共同的、本质的或事物间的规律性的联系，抽取出来加以概括。例如，人们通过对大小不同的圆的圆周与其半径的推算，舍弃了圆的大小及半径的长短，抽象概括出一切圆的周长与半径之比都是一个常数。思维的概括性包含两层意思：第一，能把一类事物中的共性加以抽象概括；第二，能从部分事物的相互关系中抽象出普遍的或必然的联系，并把它推广到同类的现象中去。3.思维的间接性思维的间接性是指人们凭借已有的知识经验或以其他事物为媒介，间接地推知事物过去的变化，认识事物现实的本质，预见事物未来的发展。（三）思维的分类根据不同的分类形式，思维有不同的表现形态。1.根据思维的形态不同，可以将思维分为动作思维、形象思维和抽象思维动作思维是指以实际的动作为支柱的思维，也称为操作思维或实践思维。它的特点是直观性，需在实际操作活动中产生和进行。3岁以前的儿童思维就以动作思维为主。形象思维是指用表象进行分析、综合、抽象、概括的过程。形象思维中的基本单位是表象，幼儿在3~6岁的思维多属于形象思维。成人的思维中也有形象思维的发生，特别是艺术家、作家、导演等更多地运用形象思维。数学家有时也借助形象思维来表述某些抽象的概念，当然，成人的形象思维与儿童的形象思维有本质的差异。抽象思维是运用概念、判断和推理的形式来反映事物本质的思维。这种思维是以概念为支柱进行的思维，人们把它看作人类思维的核心形态，又称为理性思维。抽象思维的形式又有形式逻辑和辩证逻辑之分，两者既有区别又有联系。形式逻辑的概念具有抽象性和确定性，辩证逻辑的概念具有具体性和灵活性。数学作为一种形式逻辑思维的表述过程和构造形式，它在发生发展的过程中也具有辩证逻辑的形式。如微积分中极限概念的产生、发展和最后定义，就明显地表现出辩证逻辑思维的形式。2.根据思维过程的指向不同，可以将思维分为集中思维和发散思维集中思维又称求同思维、聚合思维或纵向思维。集中思维是指把问题的各种信息集中到一起求出一个共同的、单一的、确定的答案。如果某个问题只有一个正确的答案，思维的过程就是要找出这个正确答案。发散思维又称为求异思维、分散思维或横向思维。发散思维是指思考问题时，从一个目标出发，沿着各种不同途径去思考、寻找各种可能的正确答案。这种思维无一定的方向和范围、不墨守成规，具有更大的主动性和创造性。科学家的发明创造、艺术家的艺术作品、理论家的新观点和新创见，多得益于发散思维。3.根据思维的智力品质不同，可以将思维分为习惯性思维和创造性思维习惯性思维是指用惯常的方式、固定的模式解决问题的思维。这种思维较为普遍，人们总愿意用旧有的、习惯的方式去解决问题，可以不费太大的努力就得出答案。这种思维缺乏主动性，有时会产生错误的认识。创造性思维是指有主动性和创新性的思维，它没有固定的模式和方法，也不遵循已有的思路。创造性思维利用已有的信息独立思考，根据问题和情况创造性地探索答案。创造性思维往往是逻辑思维与非逻辑思维的有机结合。创造性思维目前十分受欢迎，在西方的某些高等教育中开设有专门的创造性思维的课程，由此推动创造发明在人类各行各业中的发展。相关资源在人类的文明进程中，有关思维、逻辑规律的研究与发展，古希腊的亚里士多德做出了杰出的贡献。亚里士多德是古希腊著名的哲学家柏拉图的学生与同事。亚里士多德的著作涉及机械学（力学）、物理学、数学、逻辑学、气象学、植物学、心理学、动物学、伦理学、文学、形而上学、经济学等许多领域。亚里士多德虽然没有写过一本关于数学的书，但他在许多地方运用了数学。对于逻辑学而言，希腊人在给出正确的数学推理时已建立起了逻辑的基础。亚里士多德创立的逻辑，直到许多世纪之后都很少有人能挑出它的毛病。莫里斯·克莱因.古今数学思想：第一册.上海：上海科学技术出版社，2002：5963.
二、数学思维
数学思维是人类思维中的一种形式，它具有思维的一般规律与特征。当然由于数学自身的特性，它还具有一些自身独有的特征。（一）数学思维的概念一般来说，数学思维就是数学活动中的思维。更确切地说，数学思维是人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言，以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括。数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。可以认为，数学问题是推动数学发展的动力和方向，当然解决问题也正是数学思维要达到的目的。从本质上说，数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程，数学思维的能力也就是提出数学问题、解决数学问题的能力。数学问题解决的差异代表了不同的数学思维的表现形式，解决不同的数学问题就形成了不同的数学思维规律。可以认为，数学问题对数学思维的启动、导向、展开都起着决定性的作用。有学者把数学问题的解决与数学思维联系起来，认为在数学问题解决中数学思维的表现形式、过程其实就是数学问题的解决形式。从数学问题解决的角度分析，数学思维总是指向问题的分析、问题的变换和问题的最后解决，在这一点上可以认为数学思维与数学问题的解决是密不可分的。我们还可以把数学思维简单地分为具体实践问题的数学化思维和具体数学问题的解题思维。前者是应用数学中数学家们要进行的数学思维，后者则是数学教育尤其是初等数学教育中常见的数学思维。小学数学思维是初步地认识与了解数学的最简单的概念、运算及某些初等数学的方法。例1：已知小学生小丽今年10岁，她爸爸的年龄是她年龄的3倍还多5岁，问小丽的爸爸今年的年纪有多大？解题思路：学生们的解法通常为3×10+5=35，即小丽的爸爸今年35岁。这是通常的思维方式，即从已知小丽的年龄出发去计算小丽爸爸的年龄。还有一种运用简单的代数方法：设小丽的爸爸x岁，则（x-5）÷3=10，解出x=35。从小学生思维的过程分析中可以看出小学生的思维活动及思维过程的表现形式。（二）数学思维的特征数学思维具有一般思维方式的特征，但由于数学自身的符号、逻辑化、推理论证化的特性，数学思维还具有高度抽象化、形式化和严谨性以及表现方式多样化的特征。1.数学思维的高度抽象化在数学思维的过程中把思维对象的某些现实特征舍弃，把思维对象抽象化为一般的数量关系、空间形式或逻辑关系，最后再把这种特征的数学关系表现为一般的符号形式。小学数学中，圆的面积等于圆半径的平方乘以圆周率，即S= r2×π。在这个公式中舍去圆本身的自然属性，不论它是什么具体结构的圆，都用这个抽象的形式表示。2.数学思维的形式化和严谨性数学思维在发生、发展及其表述的过程中，是一个完全形式化的严密过程。数学的逻辑推理、结论是准确、严密的，不容许有差错存在。数学的结果不会存在对与错的中间地带。这样的数学思维虽然在小学数学教育中不会特别强调，但是小学数学的知识、简单的运算、简单问题的数学解答，都无疑在表现着数学的思维过程及数学思维的形式化和严谨性。3.数学思维表现方式的多样性在数学思维过程中，会由于处理具体问题的差异而表现出数学思维的不同特征。在严谨的抽象、形式化的表现下，数学思维也表现出猜想、试错、联想、直觉、审美等思维形式。在小学数学教学中，由于小学生的心理特征以及数学知识的直接性、具体性和相对的简单性，教师要更加关注数学思维中的多样性特征，以符合小学数学的教学活动的特点。在数学思维的特征中，灵活性或敏感性是指在用数学思维处理问题时，表现出的思维的方向上有不同的取向。在初等数学的学习和教学中也常常体现数学思维的灵活性。对于小学数学教育而言，具有灵活性的思维方式对小学教师的教学提出了很高的要求。培养数学思维的灵活性，应从以下几个方面入手：（1）培养正面思考及反面思考能力，养成全方位观察、积极思考问题的习惯。（2）一题多解，一题多变，培养灵活思考、进退自如、善于联想的能力。（3）培养永不满足于已取得的结果、不断改进解决问题的方法、善于探索的良好心理素质。相关资源以下是波利亚的代表作《数学的发现》（第一卷）中引用的案例，讨论并考察著名数学家高斯小学时的一个数学故事：这是小高斯还在上小学时所发生的事情，一天，老师出了一道很费力的题：把数1，2，3，…一直到20连加起来。老师是想在学生忙于求那个和的时候自己能赢得一些时间。当其他学生几乎还没有着手做题时，小高斯就向前走来，把他的石板放在老师桌子上，说：“这就是答案。”老师冷不防地被吓了一跳，很不愉快，连看也不看小高斯的石板，因为他非常有把握地认为，这答案一定是错误的，并且决定严厉地批评这孩子的无礼。他一直等到其他所有孩子都把石板交上来放在小高斯的石板上，然后，他才抽出小高斯的来看。当他发现这块石板上只有一个数，而且是正确的数时，他是多么惊奇啊！这个数是多少，小高斯是怎样求出它的呢？当然我们无法知道小高斯是怎样做出这道题的，然而我们可以自由地设想一些似乎可能的情况。小高斯是一个特别聪明和早熟的孩子，他比同年的其他孩子也许更善于掌握问题的本质，更清楚地了解所要求的是什么：那就是求1到20的和。波利亚作了一个图来说明小高斯的思考过程。

如图中A、B、C、D和E这几个连续图样所示，这个数列的开始是增加的（A）；然而，我们也强调末尾（B）；或者更好些，同时强调两头（C）；我们可能注意到了最前面和最后面的两个极端的数，并且我们可能注意到它们之间的某种特殊关系（D）；于是，这个念头出现了（E）。从两端同时往里移，把这些成对的数加起来，都得到同样的和1+20=2+19=3+18=…=10+11=21所以，整个数列的总和是10×21=210小高斯真是这样做的吗？很难，但波利亚分析认为，用这样的方法解这个问题是很自然的。我们如何解它呢？最后我们推断得到（E）这种情况。我们看到了这个求和的一个方便的、省劲的、很有用的方法。我们是如何到达这个最后阶段的呢？开始时，我们徘徊于这个问题的两种对立的表达方式（A和B）之间，然后我们把它们成功地结合为一个较好的两者兼顾的表达方式（C）。原来的对抗变成了和谐（D），这个转变就离最终解法很近了。小高斯的最终解法是这样的吗？他也通过了这些阶段才发现最终解法吗？他是否跳过了其中一些阶段？还是他跳过了所有阶段直接得出了最终结论呢？我们无法回答这些问题，一个诀窍常常在或长或短时间的犹豫不决之后才出现。小高斯的脑子里也可能出现过这样的过程。我们以此过程为基础再来加以推演，从刚刚解决的问题出发，以一般的正整数n代替20这个特殊值，我们得到这个问题：求前n个正整数的和S。于是，我们求和S=1+2+3+…+n前面得出的解法（可能是小高斯的解法）是把这些项配对，把与头一项有一定距离的某一项和距末尾一项有同样距离的另一项配成对，如果我们多少会点代数运算，我们不难对这个方案做出如下变更：我们把这个和写两次，第二次把原来的次序颠倒一下：S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1按照前面的解法互相配成对的项，在这里排列得很合适：一个写在另一个下面，把这两个等式加起来，我们得到2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)+(n+1)2S=n(n+1)S=n(n+1)2这是一般公式，对于n=20，就得出小高斯得到过的结果。乔治·波利亚.数学的发现：对解题的理解、研究和讲授.北京:科学出版社，2006:8487.波利亚在引用并讨论这个案例时并没有讨论数学思维的问题，但是我们从数学思维特征的角度分析，可以获得三点启示：(1)一个数学问题的解决可以呈现不同的思维方向、过程。这对数学教学很有启示。（2）数学思维有很大的灵活性，并不能为数学结论出现时的严谨性、形式化所取代。数学思维的这种特征，是数学教育尤其是小学数学教育应十分关注的。（3）一种数学的简单思维过程，可能在数学的意义上有很大的提升。例如，波利亚把求1到20这20个数的和，提升到求前n个整数和的形式。这种数学思维、数学方法的引导，实际是和数学教师自身的数学修养密切相连的。
三、数学思维方法
数学思维方法是继数学方法论之后提出的概念，应当说它主要是讨论与研究在数学方法论之后的数学思维方式，即主要探索与讨论在形成某种数学方法背后所蕴藏着的思维过程、思维特征、思维规律，以及由此形成的某些思维方法。数学思维方法实际上最终表现的是一种数学的符号、概念、命题、结论等。严格来说，数学思维方法是运用数学思维在数学中形成的一种方法。显然数学思维方法具有一般方法论的特征，同时也具有数学思维的独特规律。按照数学思维方法运用的领域、表现的形式不同，可以将数学思维方法做如下几种形式的分类：1.按照数学思维方法适用的范围不同，可以分为宏观思维方法和微观思维方法数学的宏观思维方法，也称基本或重大的数学思维方法，是指对整个数学领域都产生重大影响的数学思维方法，如公理化思维方法、变量分析的思维方法等。这些思维方法曾极大地推动了整个数学理论的发展，当然这些思维方法又和哲学思维及科学思维的一般方法相联系。数学的微观思维方法，是指对某个数学分支发挥作用或由某些数学家群体使用的数学思维方法，如代数学的一些思维方法、几何学的一些思维方法等。微观数学思维方法中还包括数学问题解决或数学问题发现的一些具体的思维方法。2.按照数学思维的逻辑形式不同，可以分为逻辑思维方法和非逻辑思维方法数学的逻辑思维方法，主要是指形式逻辑的方法。数学的非逻辑思维方法，是指在数学思维中运用的猜想、直觉、灵感、形象等思维方式。这些思维方式经常地、大量地出现在解决数学问题的过程之中。3.按照数学思维解决问题的方式不同，可以分为程式化思维方法和发现性思维方法数学的程式化思维方法，是指按照数学习惯的、原有的方式来解决问题。在数学学习和解决问题中这种方式表现为规范的逻辑演绎方式。数学的发现性思维方法，也可以称为创新性思维方法。这种思维方式的特点是它不遵循程式化的逻辑演绎的数学思维方式，而选择带有个人特性、主观色彩、独立特性的思维方式。4.按照数学教育的阶段或数学分支领域的不同，可以分为不同的带有专业特征的思维方法如按数学分支的差异，我们可以将数学思维方法分为几何思维方法、代数思维方法、微积分思维方法、概率统计思维方法等。尽管现代数学的发展使某些数学分支之间的界限有些模糊，但对于初等数学或一般高等数学阶段的学习而言，不同数学分支的数学思维方法都有其自身的明显特征。对于初等数学的学习而言，集合对应的思维方法、公理化结构的思维方法、空间形式的思维方法、变量与函数的思维方法等都是具有初等数学特征的一些思维方法。对于小学数学教育而言，数学教师应当更加自觉地掌握和运用具有小学数学特征的思维方式，以便使自己的数学教学更符合小学的思维阶段性特征。在小学数学教育中，符合儿童的形象思维、直观动作思维、联想类比思维，并且符合小学数学的教学目标，才能充分体现数学思维方法在小学数学教育中的意义。对于小学数学教师的教育而言，对数学思维的理解与运用，对数学思维方法的理解与运用，应当与学生的心理、生理阶段相适应，应当与数学教学的内容相适应。脱离了学生、数学内容的具体情况，任何方法也起不到良好的作用。相关资源国内关于数学思维的研究与教学取得了一系列的成果。郭思乐教授出版《数学思维教育论》（上海教育出版社，1997），专门讨论有关数学思维的教育问题。书中分别论述了数学思维教育目的论、数学家的数学思维论、数学思维教育过程论、数学思维观念论、数学思维教学论。
讨论与思考1.思维与数学思维的分类与差异是什么？2.为什么数学的教学活动要强调数学思维的作用？3.数学思维对儿童数学学习的积极作用是什么？4.强调数学思维的学习对小学数学教师的重要性在哪里？第三节数学史上几种重要的思维方法在数学的发展史中，数学中每一个重要理论的取得，每一个成果在类社会各学科中的运用，都体现了数学思维方法的结果——数学理论的成功。换句话说，在数学理论的每一个结构体系下都蕴含了数学的一种独特的思维方法。其中，算数与代数的思维方法、极限的数学思维方法、随机现象研究的思维方法、模糊数学的思维方法等是具有代表性的思维方法。一、算术与代数的思维方法
人类数学发展中，最初取得的成果就是目前初等数学中算术的内容。算术的主要内容是关于自然数、分数和小数的性质及其相关的四则运算。可以认为，正是由于有算术作为基础，人类才加速了文明的进程。数字符号、运算符号作为一种特定的数学形式，历史上经过了不同民族的发明创造。目前应用的所谓“阿拉伯数字”1、2、3、4、5……始于印度，后传入阿拉伯国家，最后传入欧洲。数学符号是一种抽象化、数量化的形式。人们运用这样的形式符号进行着数量化的思维。可以说，这种数量化的符号及其运算，正是人们最初的数量化思维的表现形式。儿童认知数量、符号并且由此进行运算，在一定意义上重复了人类数学思维的发展过程。由于算术内容与现实密切相连，儿童认识不到自然数的抽象性、符号性和形式化的特征，但是算术内容与形式所包含的数量思维的意义，是每一位小学数学教师都不能忽略的。算术运算思维的特点是对已知数学符号的认知，对数字符号的运算及对数学问题的理解而展开的加、减、乘、除等运算。许多人类古老的算术应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题等，都是应用了这种数量化的思维方法。例2：一项工程，由甲队单独做12天可以完成。甲队做了3天后另有任务调走了，余下的工程由乙队做15天完成，乙队单独完成这项工程需要多少天？解题思路：有以下两种解题思路。解法一：从工程问题角度来考虑。根据工作量÷工作效率=工作时间，将全工程看作“1”，先求出乙队的工作效率，进而就可以求出乙队单独完成需要的时间。1÷1-112×3÷15=20（天）解法二：从分数应用题的角度来考虑，因为乙队15天完成了全工程的1-112×3，所以可以求出乙队单独完成工程所需的时间。15÷1-112×3=20(天)根据这个例题分析，无论是从工程数量的整体来思考，还是从分数的角度来思考，这种对数量关系的思维方式，代表了算术思维的确定量处理的一种思维方式。这种解题方式，无论在中国古代，还是在古希腊，都代表了一种特定数量化思维方法，而且由此产生的习题、解题方法都十分丰富。人类早期的数学思维方法，迈过了算术的思维过程就走向了代数的思维方法。这是人类数学的一大进步，也表示人类的数学越过了早期的发展阶段。在代数解决问题的思维方式中，最重要的是把未知量看作一个与已知的数量有相同意义的数量，并由此在等号的作用下，把未知量与已知量组成一个计算的关系式。代数思维的特征是指未知量在运算中，在等号的作用下取得与已知量相同的运算地位；同时由等号把两端的等式联系起来，在相等的意义下，等式的变化和取得的结果与原来的代数式保持了同解的答案。例如，算术中的工程问题，在前面的解法中给出了两个思维方法，但是如果运用代数的思维方式，解题的过程就大大化简。思维方法：把未知量乙队单独完成工程的时间x天，作为同已知量有相等意义的数量进行运算。这样一来，甲队每天的工作量是112，乙队每天的工作量是1x。于是甲队工作3天之后剩余的工作量，同乙的15天的工作量相等（见图11）。
图11解法：设乙队单独完成工程需要x天。112×(12-3)=1x×15x=20从数学思维的意义上分析，算术向代数的发展，是数学思维的一种改变。这种思维方法的转变，扩大了算术的思维及应用范围。由于未知量的参与运算，人们对二次方程、高次方程的解法都取得了新的成果。对五次以上方程的求解促成了群论思维方法的诞生。代数与几何学的结合又促成了解析几何的诞生。相关资料鸡兔同笼是经典数学难题，中国古代的数学著作中早有记载。数学家G.波利亚在他的《数学的发现》一书中也做了详细的讨论。一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140条腿，问农民共有多少只鸡和多少只兔子？波利亚讨论了三种思维的方法：（1）试探法（试错法）。因为共有50只家畜，它们不可能全是鸡，因为这样就有100条腿。它们也不能全是兔子，因为这样就会有200条腿。于是猜想：鸡兔腿5001000502002525150此时如果鸡的数目小，兔子的数目大，则腿数增大。反之鸡的数目增加，兔子的数目减少，则腿数会减少……试下去：鸡兔腿3020140（2）巧妙的想法。设想每一只鸡都用一条腿站立，每只兔子都用两条腿站立。在这种情况下，只用了半数的腿，即70条腿。在这70条腿的数目中，鸡的头数只计算一次，而兔子的头则计算了两次（两条腿对应一个头）。从70个数中减去所有的头数50，余下的就是兔子的头数：70-50=20只兔子，显然鸡是30只。这种解法的巧妙性来之不易。（3）代数解法。运用代数的思维方法，即不用机会式的试错，也不会凭巧妙的方法就可以获得有关解法。用代数的方法：设：鸡为x只，
兔为y只，
于是由已知条件x+y=50
2x+4y=140
简要计算得x=30
y=20波利亚在说明代数方法的优势的同时，还对这一类问题进行了推广和比较。乔治·波利亚.数学的发现：对解题的理解、研究和讲授.北京:科学出版社，2006：2934.
二、极限的数学思维方法
极限的数学思维方法，也称无限的数学思维方法，是数学由常量数学向变量数学发展的重要思维方式。在常量数学中，对无限大（无穷大）、无限小（无穷小）是无法进行计算的，当然也就无法进行数学的思维。随着解析几何提供的点的运行轨迹的数学表述，以牛顿、莱布尼茨为代表的数学家做出了新的贡献，创立了无穷小的计算方法——微积分。在数学的发展史中，解析几何与微积分学的诞生，是常量数学向变量数学发展的重要历史标志。从数学思维和数学理论的意义上考察，可以发现变量数学和极限的数学思维方法在人类认识客观世界的进程中发挥了极大的作用。在数学方法论的意义上，极限的数学方法为自然科学的发展提供了一种数学工具。极限的思维方法使人们可以从数学角度更深刻地理解客观事物之间的微小的变化。相关资源牛顿莱布尼茨公式：如果函数F（x）是连续函数f（x）在区间［a， b］上的一个原函数，则∫baf(t)dt=F(b)-F(a)有关无穷小的计算及后来的微积分理论，在西方文化中经历了很长的发展时间。有关无穷小变量的存在及消失（极限为0时），曾在数学发展史中产生了很大的争论。当时有一位红衣大主教贝克莱就曾对数学思维中使用的无穷小的问题提出责难。由此可知，一种数学思维方式以及由此获得的数学成果是来之不易的。
学生对极限思维的领会需要有一个较长的反复认识过程。极限思维在小学数学中的渗透主要体现为数量的“无限多”、图形的“无限延伸性”和方法上的“无限逼近”。例3：自然数、奇数、偶数……都是无限多的；1÷3所得的商0333…，循环小数的位数是无限多的。例4：直线、角的两边可以无限延长；平行线的概念；圆有无数条对称轴。例5：教学梯形面积计算公式之后，让梯形的上底无限逼近于0，得到三角形的面积计算公式。数学思维方法较数学知识有更大的抽象性和概括性，只有在教学过程中反复、长期地渗透，才能收到较好的效果。让学生多次经历在有限的时空里去领略“无限”的含义，最终达到对极限思想的理解。极限的数学思维方法(无限的数学思维方法)是数学发展史上的重要里程碑。首先，极限的数学思维方法对数学自身的成长起到了极大的推动作用。极限数学思维方法的产生，推动了一系列的数学成果的获得。其次，无