高等数学(下河南省十四五普通高等教育规划教材)

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第5章 空间解析几何与向量代数
　　5.1 向量及其线性运算空间直角坐标系
　　本节主要介绍向量的概念及其线性运算，介绍空间直角坐标系和向量的坐标表示，这是向量代数和空间解析几何的基础内容.
　　5.1.1 向量的概念
　　客观世界有一类量，它们既有大小，又有方向.比如，位移、速度、加速度、力、力矩等.物理学中根据这类量的特征，十分贴切地称为向量或矢量.数学上，沿用这种称谓，作如下定义.
　　定义5.1 向量，也称矢量，
　　是指既有大小，又有方向的量，通常用黑体字母a，b， 表示，也用字母上面加箭头表示.两个向量a和b称为相等，是指它们大小相等、方向相同，记作a=b.为了直观，向量有时也用有向线段来表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记作(图5.1).向量的大小叫作向量的模，或向量的长度.向量的模依次记作.模等于1的向量叫作单位向量.模等于0的向量叫作零向量，记作0或.与a的模相等但方向相反的向量叫作a的负向量，记作.a.零向量的负向量定义为其自身.
　　需要注意，有向线段所在的位置，即其起点A的位置，不是向量的特征.换句话说，不论起点A在什么地方，只要有向线段A →B的长度和方向相同，则它表示的就是同一个向量.正因如此，数学上定义的这种向量也称为自由向量.所以，两个向量相等在直观上表现为经过平行移动能够完全重合.这是数学上定义的向量与物理学中有些向量的不同之处.比如，按照力的三要素，物理中表示力和力矩的向量，除了大小和方向，就与作用点，即起点有关.
　　还要注意，零向量是一个特殊向量，其大小为0，方向可以看作是任意的.按照有向线段的观点看，零向量的起点和终点重合，方向任意.
　　定义5.2 设a，b是两个非零向量，任取空间一点O，作，则称不超过π的∠AOB为向量a与b的夹角(图5.2)，记作或;当a，b两个向量中至少一个为零时，约定它们的夹角可以在0到π之间任意取值.如果或π，称向量a与b平行，记作a//b.如果，称向量a与b垂直，记作a⊥b.约定，零向量与任意向量既平行又垂直.若两个向量平行，则经过平移后它们能够位于同一条直线上，这时也称两向量共线.如果三个或多个向量经过平移后能够位于同一个平面上，则称它们共面.
　　图5.1
　　图5.2
　　5.1.2 向量的线性运算
　　1.向量的加法运算
　　定义5.3设a，b是任意两个向量，任取空间一点A，作，再以B为起点，作，连接AC(图5.3)，则向量称为向量a与b的和，记作a+b，即向量a与b的加法定义为
　　a+b=c，
　　其中.作为特例，当b=0和b=-a时，分别有.
　　上述定义两个向量之和的方法叫作向量加法运算的三角形法则.比较物理学中计算合力的平行四边形法则，可以看出，向量的加法运算，同样适合平行四边形法则，即当向量a和b不平行时，作，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接对角线AC(图5.4)，则向量明显就是向量a与b的和a+b.
　　图5.3
　　图5.4
　　向量的加法满足下述运算规律:
　　(1)交换律
　　a+b=b+a;
　　(2)结合律
　　(a+b)+c=a+(b+c).
　　事实上，关于交换律，根据向量加法运算的三角形法则，从图5.4可见，
　　因此a+b=b+a.关于结合律，从图5.5可见，先作向量a+b，再加上c，可得向量(a+b)+c;又如果以a和b+c相加，可得同一个向量.故(a+b)+c=a+(b+c).
　　图5.5
　　根据交换律和结合律，向量a1，a2， ，an的加法可以表示为
　　a1+a2+ +an.
　　并且按照向量相加的三角形法则，可得n个向量相加的下述法则:
　　以前一向量的终点作为下一向量的起点，相继作向量a1，a2， ，an，再以第1个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点作向量，这个向量就是和向量a1+a2+ +an.
　　2.向量的减法运算
　　定义5.4 设a，b是任意两个向量，向量b与a的差定义为b+(-a)，记作b-a，即向量的减法定义为
　　任给向量及点O，由向量相加的三角形法则可得
　　因此若把向量a和b移到同一起点O，则从a的终点A向b的终点B所引的向量就是b与a的差b-a(图5.6(a)).这可以看作向量相减的三角形法则.不难看出，按照平行四边形法则(图5.6(b))，向量便是b-a.
　　图5.6
　　由于三角形两边之和大于第三边，因此有如下三角不等式:
　　3.向量与数的乘法运算
　　定义5.5 设a是一个向量，λ是一个实数，则向量a与实数λ的乘积，记作λa，定义为这样一个向量，其模是
　　|λa|=|λ||a|，
　　其方向当λ>0时与a相同，当λ<0时与a相反.通常称λa为向量a与实数λ的数量乘积，简称数乘.
　　向量与数的乘法运算称为数乘运算.
　　向量数乘运算和加法、减法运算一起，统称为向量的线性运算.
　　按照定义，容易看出，当a=0或λ=0时，λa=0;反之，若λa=0，则有λ=0或a=0.并且，作为特例，当λ=±1时，有
　　不难验证，向量的数乘运算满足下列运算规律(λ，μ∈R):
　　(1)结合律
　　λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a;
　　(2)分配律
　　(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb.
　　例5.1.1设△ABC的三边，三边中点依次为D，E，F，试用向量a，b，c表示，并证明.
　　解如图5.7，由三角形法则可知.
　　图5.7
　　4.向量线性运算的几何意义
　　下述定理表明，向量的线性运算可以用来描述向量的共线和共面性质.
　　定理5.1 若向量a.=0，则向量b与a共线的充分必要条件是，存在唯一的实数λ，使b=λa.若向量a与向量b不平行，则向量c与a，b共面的充分必要条件是，存在唯一一对实数λ，μ，使c=λa+μb.
　　证明先证定理的前半部分.条件的充分性是显然的.因此只需证明条件的必要性.当b=0时，显然可取λ=0;当时，由b//a可知，b与a或者同向，或者反向.这时取λ使|λ|=|b||a|，其符号为:当b与a同向时取正，当b与a
　　反向时取负，则按照定义，λa与b同向，且.
　　因此b=λa.这就证明了λ的存在性.再证λ的唯一性.设b=λa，且设b=μa，两式相减可得，即.
　　故由可得，即λ=μ.
　　图5.8
　　下面证明定理的后半部分.如图5.8，在空间任取一点O，作.由于a和b不平行，所以直线OA和OB便确定了唯一的平面P.由定理前半部分结论，λa和μb分别位于直线OA和OB上，所以c=λa+μb位于平面P上，即c与a，b共面.这证明了条件的充分性.反过来，设向量c与a，b共面，作，则C在平面P上.过C作平行于OB的直线CD交OA于D，同时，作平行于OA的直线CE交OB于E，则显然，且由定理前半部分结论可知，存在实数λ，μ，使.于是c=λa+μb.
　　这证明了λ和μ的存在性.关于唯一性，设c=λ1a+μ1b，c=λ2a+μ2b，则两式相减可得
　　由于a和b不平行，所以由上式可得λ1=λ2，μ1=μ2.证毕.
　　5.1.3 空间直角坐标系
　　回顾数轴的概念，我们知道，给定一个点、一个方向和单位长度，就确定了一个数轴.而由向量的定义知道，一个单位向量既确定了一个方向，又确定了单位长度.因此，给定一个点及一个单位向量就确定了一个数轴.设点O及单位向量i确定了数轴Ox(图5.9)，则对于数轴上任一点P，对应有一个向量.由于与i共线，所以根据定理5.1，必有唯一实数x，使，并且与实数x一一对应.是有下述对应关系: