Calabi-Yau三角范畴中扭对的分类及其应用

作者简介

2011年毕业于河北师范大学，获理学学士学位；2014年毕业于北京师范大学，获理学硕士学位；2017年毕业于清华大学，获理学博士学位。1. Huimin Chang. Relatively Gorenstein-projective modules. 数学进展，46（5）,2017.2. Huimin Chang. Cluster Structures in 2-Calabi-Yau Triangulated Categories of Dynkin Type with Maximal Rigid Objects，Acta Mathematica Sinica, English Series，33（12）, 1693–1704 (2017). 3. Huimin Chang，Yu Zhou, Bin Zhu. Cotorsion pairs in cluster categories of type A∞ ∞, Journal of Combinatorial Theory (Series A), 156, 119–141 (2018).4. Huimin Chang， Bin Zhu. Torsion pairs in finite 2-Calabi-Yau triangulated categories with maximal rigid objects, Communications in Algebra, 47（7），2810-2832（2019）.5. Huimin Chang, Bin Zhu. Ptolemy diagrams and cotorsion pairs in m-cluster categories of type A. To appear in J. Alg. and its Applications.参编《经济数学基础——微积分》和《经济数学基础——概率论与数理统计》，国家开放大学出版社

内容简介

CalabiYau三角范畴中扭对的分类及其应用前言前言扭理论作为t结构与丛倾斜子范畴的推广，是代数表示论中一个重要的研究课题，也是代数和几何领域一类重要的研究对象。它在帮助我们理解三角范畴的代数结构和几何结构方面起到重要的作用，因而对三角范畴中的扭对进行分类具有重要的意义。本书围绕有限2CalabiYau三角范畴、高阶丛范畴和无穷丛范畴这三类特殊的三角范畴展开阐述，利用几何模型，用组合理论的方法研究三角范畴中的扭对分类及其应用。本书可供从事代数表示论领域的科研人员了解三角范畴、AR箭图、扭理论、特殊三角范畴(包括有限2CalabiYau三角范畴、高阶丛范畴和无穷丛范畴)的几何模型等，以及扭对分类的方法及其应用。本书共分为9章，第1章为扭理论简介，主要介绍扭理论的研究背景和研究扭理论的意义，并介绍了有限2CalabiYau三角范畴、高阶丛范畴和无穷丛范畴的研究现状和趋势。第2章给出本书需要用到的一些基本的定义和结果。我们主要回顾一些关于加法范畴、阿贝尔范畴、三角范畴的预备知识，给出扭理论、丛结构、有限2CalabiYau三角范畴、丛范畴、高阶丛范畴和无穷丛范畴的相关概念和主要结果，同时介绍了本书一些常用的记号，为后面章节的学习做铺垫。第3章介绍有限2CalabiYau三角范畴中的扭理论及其应用，主要研究An,t和Dn,t(带极大刚性对象而非丛倾斜对象的有限2CalabiYau三角范畴)中扭对的几何刻画，计算出扭对的个数，并且将所有扭对的heart进行分类。另外，我们研究了An,t和Dn,t中不可分解刚性对象的性质，分别定义了An,t和Dn,t上丛复形(cluster complex)的概念，证明了存在从An,t和Dn,t的丛复形到Bn型根系的丛复形的同构。在这个同构下，An,t和Dn,t中极大刚性对象对应到Bn型根系的极大相容子集。其中包含我们已经发表的文章中的结论。第4章重点介绍高阶丛范畴中的扭理论及其应用，包含A型高阶丛范畴和D型高阶丛范畴。对于A型m丛范畴，我们利用其几何模型，将余扭对完全分类。当m=1时，该结论推广了HolmJrgensenRubey关于经典A型丛范畴上扭对的分类。同样的，对于D型m丛范畴，我们利用其几何模型，将m为奇数时的D型m丛范畴中的扭对完全分类。当m为偶数时，仍然是一个开放的问题，目前还没有相应扭对分类的结果。第5章介绍高阶丛范畴中扭对分类的应用，在第4章扭对分类完成的基础上，将A型和D型高阶丛范畴中的高阶刚性子范畴和高阶丛倾斜子范畴分类(注意对于D型，仍然只能将m为奇数时的D型m丛范畴中的高阶刚性子范畴和高阶丛倾斜子范畴分类)。回到经典丛范畴中，该结论包含了m=1时经典丛范畴中扭对分类的结果。第6章重点介绍A∞∞型丛范畴。我们研究A∞∞型丛范畴的几何模型，在其几何模型上定义A∞∞型的Ptolemy图，利用该几何模型，给出A∞∞型丛范畴上余扭对的完全分类。利用该结论，得到了A∞∞型丛范畴中函子有限子范畴、丛倾斜子范畴和t结构以及t结构heart的分类。第7章给出离散型D型无穷丛范畴的几何模型，以及包含n个极限点的D型无穷丛范畴和完备化的D型无穷丛范畴的实现，考虑了D型无穷丛范畴中弱丛倾斜子范畴的几何刻画，为研究离散型D型无穷丛范畴中扭对的分类及其应用提供可行性分析。最后，给出了一个弱丛结构的猜想，留给感兴趣的读者。第8章总结了三角范畴中Grothendieck群常见的计算方法，与扭对分类之间的关系，利用丛倾斜子范畴计算Grothendieck群的技巧等。给出有限丛范畴，包括A型、D型和E型的Grothendieck群，高阶丛范畴包括A型和D型的Grothendieck群，以及A型无穷丛范畴Grothendieck群的计算。第9章总结了前面的主要工作，对于目前的研究趋势进行了展望。对于三角范畴中扭对分类的研究，正在向无穷方向发展：一方面是将无穷Dynkin型丛范畴得以实现，并研究其相关代数和几何性质；另一方面是将无穷丛范畴一般化，研究高阶无穷丛范畴的代数性质和几何结构。未来在这些无穷丛范畴的研究中，扭理论可能发挥着重要的作用。本书是作者在近几年科研工作和博士研究的基础上编写而成的，感谢国家开放大学的支持和博士生导师朱彬教授的指导和帮助。由于作者水平有限，时间紧张，书中难免出现疏漏，希望读者提出宝贵的意见，甚为感谢。 著者 2023年5月 本领域的国内研究书籍相对较少，国外书籍相关内容的介绍很经典，但内容相对比较古老。与国内外同类其他图书相比，本书更加系统和细致的介绍了Calabi-Yau三角范畴中扭对分类的发展现状和预期发展方向，属于学术前沿研究领域。本书中详细介绍了不同范畴的几何模型，利用组合理论的方法将不同范畴中的扭对分类，内容包含作者的最新研究成果。在扭对分类完成之后，重点介绍相关应用。