分析力学

作者简介

王永岗，男，1965年出生，陕西米脂人，中共党员，博士（后），现为中国农业大学教授。主要从事结构非线性振动、几何非线性动、静力学问题的数值解和近似解析解等方向的研究工作，在国内外发表SCI/EI学术论文40余篇，参加过多项国家自然科学基金项目。先后为本科生和研究生讲授过《理论力学》、《分析力学》、《工程力学》、《高等动力学》、《机械振动》等课程，编撰著作或教材4部（主编2部，副主编1部，参编1部）。至今，已连续讲授本科生工程力学专业《分析力学》课程15年，积累了一定的教学经验和素材，并能长期跟踪分析力学相关的教学和科研发展趋势，对该课程及相关的理论和应用领域有总体把握。

内容简介

1 分析力学的基本概念 分析力学是理论力学的一个分支，是对经典力学的高度数学化的表达。分析力学的研究对象是质点系。质点系可视为一切宏观物体组成的力学系统的理想模型。例如刚体、弹性体、流体等以及它们的综合体都可看作质点系，质点数可由1到无穷。工程上的力学问题大多数是非自由质点系，分析力学把约束看成对系统位置(或速度)的限定，而不是看成一种力。由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。 分析力学就是从分析约束入手，提出解决力学问题的新途径和方法的。在进入分析力学基本原理的学习之前,首先应该掌握一些基本概念并具备一些基本能力,它们是学习各种分析力学原理的共同基础。 1.1约束及其分类 1.1.1约束和约束方程 1. 位形及状态 一个由n个质点组成的质点系，其各质点每一瞬时在空间中所占据的位置以及质点系的形状可以由n个位置矢径ri(i=1,2,…,n)或3n个笛卡儿坐标xi(i=1,2,…,3n)来描述。系统各质点在空间位置的集合称为质点系的位形。此3n个坐标所张成的抽象的3n维空间称为质点系的位形空间。对非自由质点系，这3n个量是不独立的。与质点系在每一瞬时的位形对应的位形空间的点称为位形点。质点系由某一位形连续变化到另一位形的运动过程反映在位形空间就是位形点连续变化所形成的曲线，称为位形轨线。 运动中的质点在任一瞬时所占据的位置及其所具有的速度联合在一起称为质点在该瞬时的状态变量。一个由n个质点组成的质点系，其各质点每一瞬时在空间中的位置及速度分布需要n个位置矢径及其导数(ri,r·i)(i=1,2,…，n)或3n个笛卡儿坐标及其导数(xi,x·i)(i=1,2,…,3n)来描述。此6n个坐标所张成的抽象的6n维空间称为质点系的状态空间。前面定义的位形空间是状态空间的3n维子空间。与质点系在每一瞬时的运动状态对应的状态空间的点称为状态点。系统的状态随时间变化过程对应于状态点在状态空间中连续变化，因而描绘出一条曲线,称为状态轨线。 2. 约束及约束方程 几乎所有的力学系统都存在着约束。根据质点系的运动是否受到预先规定的几何及运动条件的限制，将质点系分为自由质点系和非自由质点系两种。 对非自由质点系的位形和速度预先约定的限制条件称为约束。约束的物理表现为约束力，约束的数学表现为约束方程。通常，约束方程可以通过质点系中各质点的位置矢径或速度来表达，写作 fj(ri,r·i； t)=0(i=1,2,…,n； j=1,2,…,s)(1.1.1) 这里，n为质点系的质点数，s为约束方程数，t为时间参数。约束方程的直角坐标形式为 fj(xi,yi,zi； x·i,y·i,z·i； t)=0(i=1,2,…,n； j=1,2,…,s)(1.1.2) 其中 ri=xii+yij+zik，r·i=x·ii+y·ij+z·ik(i=1,2,…,n)(1.1.3) 式中，ri和xi、yi、zi分别为第i个质点的矢径及其在直角坐标系中各坐标轴上的投影； r·i和x·i、y·i、z·i分别为对应的速度及其在直角坐标系中的投影。 例如，图1.1.1中所示的具有固定悬挂点O的无重刚性杆，其对摆锤M的限制条件是： 摆锤必须在以O点为球心、以摆长l为半径的球面上运动。约束方程可表示为 x2+y2+z2－l2=0 若将图1.1.1中球摆的刚性杆换成相同长度的柔索，如图1.1.2所示，则约束方程变为 x2+y2+z2－l2≤0 有时，球摆的摆长也可按给出的时间t的函数改变，即l=l(t)。如图1.1.3所示的变长度球摆，摆锤由一根穿过固定圆环的柔索以不变的速度？瘙
經拽引，初始摆长为l0，则摆长随时间的变化规律为l=l0-vt，这时，球摆的约束方程可表示为 x2+y2+z2－(l0－vt)2=0 本书是一本分析力学的简明教材。全书共分十章，第一～第三章阐述了分析力学的基本概念和基本原理，包括分析静力学与动力学普遍方程等。第四～第五章属完整系统动力学，包括第二类拉格朗日方程和哈密顿正则方程。第六～第七章为力学的两种变分原理，含哈密顿原理和高斯原理两部分。第八～第十章为非完整系统动力学问题初步，包括第一类拉格朗日方程、阿沛尔方程以及凯恩方程。