离散的世界——那些年我们谈论的离散数学

作者简介

陈卓：高校教师，为计算机专业学生讲授《离散数学》等专业课程。在实际的教学中，有感于课堂学时有限，并无多少时间将数学概念在计算机领域的应用一一道来， 因此尝试撰写了本书。

内容简介

希尔伯特旅馆 小文，下面我带你去个地方——无穷旅馆——去感受一下无穷的神奇特征。 德国数学家希尔伯特（David Hilbert）喜欢讲一个无穷旅馆的故事，所以这个无穷旅馆也被称为希尔伯特旅馆。 顺便说一下，以希尔伯特命名的数学名词多如牛毛，有些连希尔伯特本人都不清楚，比如有一天，希尔伯特问他的同事：“什么是希尔伯特空间？”希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”，据说是天才中的天才，也不知是为什么，有关希尔伯特的轶闻趣事特别多，有空你可以到网上去搜搜。 无穷旅馆生意很好，号称有无穷个客房。 一天，希尔伯特慕名来到那家旅馆，但是经理告诉他，今天没有空房间了。“但你有无穷多间房间，对吗？” 希尔伯特问。 “是的，先生。”经理说，“但是抱歉，因为今天来了无穷多个客人，所有的房间都有客人，没有空房了。”经理刚刚安顿好无穷多个客人，显得有点疲惫。 原来是无穷多个房间住了无穷多个客人，希尔伯特转了一下眼珠，他有了一个主意。 “我只需一间空房，您看这样可以吗？把第一间房的客人移到第 2 间房，第 2 间房的客人移到第 3 间房，第 3 间房的客人移到第 4 间房……以此类推。” 经理好像有点没明白，希尔伯特把刚才说的画了个示意图，然后接着说道：“因为你有无穷多间房间，因此你可以连续移动所有的客人，这样，第一间房就空出来了。” 经理半信半疑，鉴于希尔伯特的大名，他还是照做了。经理忙得满头大汗，最后希尔伯特真的在已经客满的无穷旅馆中有了一间房间。 后来经理发现，即使客房住满了，不管来多少人，按照希尔伯特的方法，他总能安排出空房来！ 到这里，妈妈的邮件内容就结束了。妈妈说，余下的讲义她还在准备中， 并向小文推荐了书架上的一本《神秘的阿列夫》。 一口气看了这么多，这课程真不轻松。 到这时，小文才感觉到脚上沉甸甸、热乎乎的。不用说，是丽仔蹲在小文的脚上呼呼大睡。她站起身，把丽仔撂一边，去妈妈的书房找那本书。 书房里的书很杂，一通好找，总算找到了。翻了一下，感觉这本书有点像是康托尔的传记，又似乎不是，总之看得不是很明白。 晚饭时，母女两人边吃边聊。 “怎么样？我的讲义，看得明白不？” “嗯，前面集合的基本概念部分——还行，后面，什么阿列夫之类的就有点云里雾里了。” “没关系，了解前半部分就可以了”。 “我觉得他研究的问题太深奥了，比较无穷的大小有什么用呢？” “嗯，我很害怕学生问这个问题——了解这个有什么用？” “哈哈，为什么呀？” “因为，很多时候我回答不出来呀——有个数学家叫欧几里得，你应该知道吧？” “知道。” “传说，有个学生在欧几里德那里学了一个定理之后问欧几里得——学了这个定理有什么用？” “哈哈，欧几里得怎么回答呢？” “传说是这个样子的，欧几里得思索了一下，也没有多说，请仆人拿了点钱给这位学生……” “难道欧几里得没有说：‘这位同学，这个定理有这些用处，第一第二第三之类的？’” “没有啊，传说中欧几里得就给了他钱。所以你问——比较无穷的大小有什么用，我也没办法一下子回答你哦——要不我也给你一块钱？嘻嘻。” “得了吧。” 朋友是粪土 小文，你要是听到有人这样夸口：“我这个人啊，朋友值千金，视黄金如粪土。” 你会怎么想？你会觉得这个人很豪爽吗？ 据说逻辑学家金岳霖十几岁时就发现这句话有逻辑问题，他发现这两句话可以 推导出：朋友是粪土！ 看来，我们即使当不上福尔摩斯和柯南那样的推理高手，还是有必要了解一些推理的基本常识，免得说出类似“朋友是粪土”的话来。 逻辑研究的中心问题是推理，而推理所需要的前提和得出的结论都是命题。什么是命题呢？所谓命题就是能判断真假的陈述句。 比如“2018 年世界杯举办国是俄罗斯”，“所有人都是要死的”以及“苏格拉底是人”都是真值为“真”的真命题。 类似于“你有铅笔吗？”“这只兔子跑得真快呀！”“请不要讲话！”是不能作为推理的“食材”的，因为这三句话分别是疑问句、感叹句、祈使句，它们都不是命题。 再看这句话：我正在说谎——这是命题吗？ 如果“我正在说谎”是一个真命题，则表示“我正在说谎”是一句真话，这就和命题本身的含义相矛盾。 如果“我正在说谎”是一个假命题，则表示“我正在说谎”是一句假话，即“我正在讲真话”，而这又和“我正在说谎”相矛盾。 这样看来“我正在说谎”无论是真是假，都会带来矛盾，因此，我们说这句话是一个悖论。 小文，从前面的理发师悖论，你是不是已经体会到了悖论带来的麻烦。悖论的英文 Paradox 一词，来自希腊语，意思是未预料到的、奇怪的。 “我正在说谎”源于一个著名的说谎者悖论，这个悖论在不同的时候曾有不同的表示形式，一个比较有代表性的表述是这样的： 古希腊克里特先知伊壁孟尼德（Epimenides）曾经说过：“所有的克里特人都是说谎者。” 伊壁孟尼德说的这句话是真话吗？ “说谎者悖论”还可以是下面的形式： 有一张扑克牌，它的一面印有这样一句话：“牌的背面是真话。”但是在这张牌的背面也印有：“牌的背面是假话”，你该怎样看这张牌呢？ 悖论长久以来让数学家着迷，并引发数学的多次变革。 公元前 5 世纪古希腊哲学家芝诺 (Zeno) 因为提出了一系列的悖论而出名，其中比较有名的悖论有“擅跑的阿基里斯跑不过乌龟”“飞矢不动”等。 一批以芝诺为代表的人认为悖论在本质上揭露了逻辑思维的欺骗性，而亚里士多德则不以为然，他认为悖论是不合逻辑的，只是一些华而不实的推理练习而已。 数学家一直想干这样一件事，为数学建立一个免于逻辑循环的坚实基础，但悖论始终是实现这一蓝图的绊脚石。 由于悖论带来问题至今难解，所以数学家们制定了如下“军规”以绕开这个绊脚石：悖论不是命题。 当你拿着手机，或是坐在电脑屏前，有没有想过：当今世界人们须臾难离的信息技术的理论支撑之一，是一个叫“离散数学”的数学领域。 ？这是一位母亲写给高三女儿的离散数学启蒙书，充满温情和睿智的母女对话，读者将了解离散数学的基本课题，经历一次既是阅读学习也是探究欣赏的难忘旅程。 ？这是一本别具风格的数学科普书，作者用历史故事和典型事例将读者带进离散数学的世界。从希尔伯特旅店到集合论；从母鸡生蛋讲到计算机数据库语言；从龟兔赛跑到逻辑代数；从哥尼斯堡七桥问题讲到计算机网络设计、数据传输编码等等…… ？本书的彩色漫画出于作者本人之手，与文字内容默然契合，浑然一体，成为本书的一大特色。