高水平中学生数学能力挑战(代数篇)

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第三章三角函数、向量与解三角形 三角函数是六类基本初等函数之一，是以角度(常用弧度制)为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数.也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义.三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具. 从数学发展史来看，历**很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系. **讲三 角 函 数 三角函数是中学数学主体内容，是高考重点，是各校自主招生热点问题之一. 考试内容： 逐步抛弃复杂三角变换及特殊技巧，重点转移到基础知识和基本技能. 常见类型： 三角函数求值、图象与性质、三角恒等变形、解简单的三角方程. 基本思路： 一是利用公式定理、图象与性质及相关结论; 二是合理变形转化. 能力拓展1三角知识的基础性 1. (2008年上海交通大学)若cosx-sinx=12 ，则cos3x-sin3x=. 【答案】1116 【解析】cos3x-sin3x=(cosx-sinx)(cos2x+cosx·sinx+sin2x). 又cosx-sinx=12，cos2x+sin2x=1，cosxsinx=1-(cosx-sinx)22=38， 故cos3x-sin3x=12×1+38=1116. 2. (2004年同济大学)函数f(x)=log12(sinx+cosx)的单调递增区间是. 【答案】π4 +2kπ,3π4 +2kπ,k∈Z 【解析】sinx+cosx=2sinx+π4>0x+π4∈(2kπ,π+2kπ),k∈Z. 若f(x)=log12(sinx+cosx)单调递增，则需g(x)=sinx+cosx单调递减， 所以x+π4∈π2+2kπ,π+2kπ，即x∈π4+2kπ,3π4+2kπ,k∈Z. 3. (2012年北京高考)已知函数f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx. (1) 求f(x)的定义域及*小正周期； (2) 求f(x)的单调递增区间. 【解析】(1) 由sinx≠0x≠kπ(k∈Z)，得函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}. f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx=(sinx-cosx)×2cosx =sin2x-(1+cos2x)=2sin2x-π4-1, 得f(x)的*小正周期为T=2π2=π. (2) 函数y=sinx的单调递增区间为2kπ-π 2,2kπ+π2 (k∈Z)， 则2kπ-π2 ≤2x-π4 ≤2kπ+π2 kπ-π8 ≤x≤kπ+3π8 , 得f(x)的单调递增区间为kπ-π8 ,kπ,kπ,kπ+3π 8(k∈Z). 4. (2007年中国矿业大学)已知函数f(x)=14sin2x-cos2x-32+32sin2x-π4. (1) 求满足f(x)=38的所有x值的集合； (2) 若x∈-π6,π4，求f(x)的*大值和*小值. 【解析】f(x)=14sin2x-cos2x-32+32sin2x-π4 =14-cos2x-32+321-cos2x-π22 =-14cos2x-34cos2x-π2+38 =-14cos2x-34sin2x+38=12sin2x-5π6+38. (1) 令f(x)=38，得sin2x-5π6=0，故2x-5π6=kπ， 因此x∈xx=5π12+kπ2,k∈Z. (2) 若x∈-π6,π4，则2x-5π6∈-7π6,-π3， f(x)的*大值为12×12+38=14+38，*小值为12×-1+38=-12+38. 5. (2014年**联盟)设α∈R，函数f(x)=2sin2xcosα+2cos2xsinα-2cos2x+α+cosα(x∈R). (1) 若α∈π4,π2，求f(x)在区间0,π4上的*大值； (2) 若f(x)=3，求α与x的值. 【解析】f(x)=2sin2x+α-2cos2x+α+cosα=2sin2x+α-π4+cosα. (1) 由x∈0,π4，得2x+α-π4∈α-π4,α+π4. 由α∈π4,π2，得π2∈α-π4,α+π4，所以所求*大值是2+cosα. (2) 若f(x)=3，可得sin2x+α-π4=1且cosα=1， 即2x+α-π4=π2+2kπ且α=2lπ， 所以α=2lπ，x=3π8+kπ，其中l,k∈Z. 6. (2014年清华大学)已知函数f(x)=22(cosx-sinx)sinπ4+x-2asinx+b(a>0)的*大值为1，*小值为-4，求a,b. 【解析】f(x)=22(cosx-sinx)sinπ4+x-2asinx+b =22(cosx-sinx)·22(sinx+cosx)-2asinx+b =12cos2x-sin2x-2asinx+b =-sin2x-2asinx+b+12 =-(sinx+a)2+a2+b+12. 令t=sinα，则t∈［-1,1］，g（t）=-(t+a)2+a2+b+12. (1) 当00. 又在△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC6t=6t3t=1 tanB=2，tanC=3sinB=255，sinC=31010ACAB=sinBsinC=223. 9. (2007年全国高中数学联赛)设函数f(x)=3sinx+2cosx+1，若实数a,b,c使得af(x)+bf(x-c)=1，对任意实数x恒成立，则bcosca的值等于(). A. -12 B. 12 C. -1 D. 1 【答案】C 【解析】令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x-c)=2. 于是取a=b=12,c=π,则对任意的x∈R，af(x)+bf(x-c)=1，由此得bcosca =-1. 一般地，由题设可得f(x)=13sin(x+φ)+1,f(x-c)=13sin(x+φ-c)+1，其中0<φ<π2 且tanφ=23 ， 于是af(x)+bf(x-c)=1可化为13asin(x+φ)+13bsin(x+φ-c)+a+b=1, 即13asin(x+φ)+13bsin(x+φ)cosc-13bsinccos(x+φ)+(a+b-1)=0， 所以13(a+bcosc)sin(x+φ)-13bsinccos(x+φ)+(a+b-1)=0. 由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有a+bcosc=0① bsinc=0② a+b-1=0③. 若b=0，则由①知a=0，显然不满足③式，故b≠0. 所以，由②知sinc=0,故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z). 当c=2kπ时，cosc=1,则①③两式矛盾，故c=2kπ+π(k∈Z),cosc=-1. 由①③知，a=b=12 ，所以bcosca =-1. 能力拓展3解三角方程及证明 10. (2012年北京大学)求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在［0,π)有**解的a. 【解析】设f(x)=sin4xsin2x-sinxsin3x，则 f(x)=-12(cos6x-cos2x)+12(cos4x-cos2x)=-12(cos6x-cos4x)=sin5xsinx. 因为f(π-x)=sin(5π-5x)sin(π-x)=sin5xsinx=f(x), 所以f(x)关于直线x=π2对称. 故要使f(x)=a在［0,π)上有**解，只能x=0或x=π2. 当x=0时，a=0，此时sinxsin5x=0在［0,π)上的解不**； 当x=π2时，a=1，此时sinxsin5x=1. 因为x∈［0,π)时，sinx≥0，所以sinx=1且sin5x=1，有**解x=π2. 综上所述，满足条件的a是1. 【评注】首先，此题要求学生掌握积化和差、和差化积公式的应用； 其次，在画函数图象时，要研究函数的对称性. 11. (2010年清华大学)求sin410°+sin450°+sin470°的值. 【解析】(解法1) sin410°+sin450°+sin470° =1-cos20°22+1-cos100°22+1-cos140°22 =14×［3-2(cos20°+cos100°+cos140°)+(cos220°+cos2100°+cos2140°)］. 由cos20°+cos100°+cos140°=2cos60°cos40°+cos140°=cos40°+cos140°=0， cos220°+cos2100°+cos2140°=12×［3+(cos40°+cos200°+cos280°)］ =12×3-cos140°+cos20°+cos100°=32， 故sin410°+sin450°+sin470°=14×3+32=98. (解法2) sin410°+sin450°+sin470° =sin410°+sin460°-10°+sin4(60°+10°) =sin410°+32cos10°-12sin10°4+32cos10°+12sin10°4 =sin410°+2×916cos410°+6×34cos210°×14sin210°+116sin410° =98sin410°+94sin210°cos210°+98cos410° =98×(sin210°+cos210°)2=98. 本书精选高校自主招生典型问题和高考创新试题，梳理高中数学代数部分核心知识，是高水平中学生复习备考***！