高等数学(上)

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第1章 函数、极限与连续
　　17世纪法国数学家笛卡儿(René Descartes)把变量引入数学，由此运动进入了数学，辩证法进入了数学，最终形成并发展了微积分.微积分是人类思维的伟大成果之一，并广泛应用于现代科学技术中.高等数学的基本内容是微积分，微积分包含微分学与积分学，它以函数为主要研究对象，主要用极限方法揭示连续函数的重要性态.
　　本章先简单回顾函数的概念及有关性质，再着重介绍极限和连续的基本概念、重要性质与思想方法，为学好微积分打下扎实的基础.
　　1.1 函数
　　一、变量与常用数集
　　恩格斯说过:“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的科学”.自然界千变万化的事物是自然科学的研究对象，数学是最重要的研究工具，数学思维的方法就是把千变万化的事物与数量联系起来，在用数学方法描述现实生活中的许多自然现象或变化过程时，常需要用多个数量来表达其关系与结构，观察这些数量一般可分为两类:一类是在某过程中保持不变的量，称为常量;另一类是在某过程中可以取不同的值，或不断变化着的量，称为变量.例如在观察圆的图形变化时，直径与周长都是变量，而圆的周长与直径的比值(圆周率)π是一个常量;又如在自由落体运动中，物体的下降速度、下降时间及下降距离都是变量，而物体的质量在该过程中可以看作是常量.一般地，用字母a，b，c等表示常量，用字母x，y，z，t等表示变量.一个量是变量还是常量，需要在具体问题中作具体分析.例如就小范围的地区来说，重力加速度g可以看作是常量，而在宇宙中重力加速度g则是一个变量.
　　自然界中有两类常见的变量，一类如自然数n，每两个之间均有间隔地变化着的量，我们称为离散型变量;另一类如实数x，连续不间断地变化着的量，这类变量称为连续型变量，本课程是一门以研究连续型变量为主的数学课程.
　　在讨论变量间的数量关系时，常须明确变量的取值范围，单个变量的取值范围常用数集来表示.本书讨论的变量在没有特别说明的情况下都是指在实数范围内变化的量.
　　常用的数集有:自然数集N、正整数集N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R，另外区间和邻域也是两种常用的数集.
　　区间是用得较多的一类数集，设a，b∈R，且a<b，我们约定:数集称为闭区间，记作[a，b]，即
　　数集称为开区间，记作(a，b)，即
　　类似地，数集均称为半开半闭区间，分别记作[a，b)与(a，b]，即
　　其中a与b称为这些区间的端点，称为这些区间的区间长度.区间长度是有限的数值，故以上四种区间均为有限区间;此外还有下列五种无限区间，引进记号+∞(读作正无穷大)及.∞(读作负无穷大)，则有这些区间的区间长度都为无穷大.
　　因此连在一起的数是很方便用区间表示的，当包含端点时，就用方括号表示，
　　不包含端点时，就把方括号变为圆括号.总之以上各种情况可归纳如下:
　　为了讨论函数在一点邻近的某些性态，我们给出邻域概念.
　　定义1设a，δ∈R，δ>0，数集称为点a的δ邻域，记作U(a，δ).其中点a与数δ分别称为邻域的中心与半径.
　　几何上，邻域U(a，δ)表示数轴上与点a的距离小于δ的点集，因此该邻域是以点a为中心，δ为半径的一个开区间(如图1-1-1(a))，即
　　若不强调邻域的半径时，用U(a)表示以点a为中心的任意开区间.有时又需将邻域U(a，δ)的中心点a去掉，将邻域U(a，δ)的中心点a去掉后得到的数集称为点a的去心δ邻域，记作(如图1-1-1(b))，即
　　图1-1-1
　　二、函数及有关概念
　　1.函数的定义
　　函数研究的就是变量之间的对应关系，也就是把事件量化为用变化的量来表示.在同一自然现象或变化过程中，经常会同时遇到两个或更多个变量，它们互相联系、互相依赖并遵循一定的规律变化着.
　　例如运动学中，自由落体运动的路程s与时间t是两个变量，设初速度为0，则当时间t变化时，所经过的路程s也随之改变，它们之间的关系为
　　(1-1-1)
　　又如电学中，在电阻两端加直流电压V，电阻中有电流I通过，电压V改变时，电流I随之改变，其变化规律为
　　若电阻R=2，则
　　(1-1-2)
　　(1-1-1)，(1-1-2)两式均表达了两个变量之间相互依赖的关系或规律，依据这一规律，当其中一个变量在某一范围内取定一个数值时，另一变量的值就随之确定，数学上把这种对应关系称为函数关系.
　　定义2设两个变量x，y分别在集合X与Y中变化，X为非空集，如果按照一个给定的对应规则，对于每一个x∈X，按照一定的法则f总有唯一确定的y∈Y与之对应，则称y为x的函数，并称x为自变量，y为因变量，记作
　　y=f(x)，
　　其中自变量x的变化范围X称为函数的定义域，常用Df或D表示，即X=D.
　　由定义2可知，f(x)也表示与x对应的函数值，因此对应于x0的函数值记为f(x0)或全体函数值构成的集合称为函数y=f(x)的值域，记作f(D)，即
　　一般地，在函数y=f(x)中，使得式子f(x)有意义的x的集合是该函数的定义域，这时也称为该函数的自然定义域.但在实际问题中，函数y=f(x)的定义域还要根据问题中的实际意义来确定.
　　例如函数y=x2，使得式子x2有意义的x的集合是实数集R，因此y=x2的自然定义域为实数集R，为方便起见，也称函数的定义域为实数集R;但若用函数y=x2表示边长为x的正方形面积，则根据正方形边长x须为正数，因此这时函数y=x2的定义域应为D={x|x>0，x∈R}，或用区间(0，+∞)表示.
　　函数y=f(x)就像一台“数值变换器”，我们将x(x∈D)的值输入该变换器中，在规则f的作用下，即满足y=f(x)，就将数值x变换为另一个与其对应的数值y.例如，对函数表示对实数集R内的数x作e为底的指数运算，即将x(x∈R)的值输入该数值变换器中，通过f的作用，就输出了数值y=ex.
　　由函数的定义可知，函数y=f(x)由其对应法则与定义域两个因素确定，故当两个函数的对应法则与定义域都相同时就称它们是同一个函数，因此也称函数的定义域及其对应法则为函数的二要素.
　　例如函数y=lgx2与y=2lgx，它们的对应法则相同，但定义域不同，所以它们不是相同的函数.又如函数，它们的对应法则相同，定义域却不相同，因此它们也不是相同的函数.而函数，其对应法则与定义域都相同，因此它们就是同一个函数了.
　　注 在函数y=f(x)中，符号f与x，y仅仅是该函数中对应法则、自变量、因变量的记号，因此它们可以用不同的记号表示，如f用符号φ或F代替，这时函数y=f(x)就写成y=φ(x)或y=F(x).必须指出当同一问题中涉及多个函数时，则应取不同的符号分别表示它们各自的对应法则，以免混淆.同样因变量与自变量也可用其他符号表示，但必须指出同一个函数在同一个问题中只能取定同一种记法.
　　设 函数y=f(x)，定义域为D，称平面上的二维点集为函数y=f(x)，x∈D的图形，y=f(x)也称为曲线C的方程，因此函数y=f(x)的图形是一条或一段平面曲线.如称平面上的点集为正弦函数y=sinx的图形.
　　定义2中，函数y=f(x)的自变量x在定义域内任取一值时，对应的函数值y都是唯一确定的，因此也称y为x的单值函数.如均为单值函数.但事实上，有时自变量x有两个或两个以上的值y与之相对应，这时称y为x的多值函数.若遇到多值函数时，我们都把它化作多个同时出现的单值函数分别来对待.如圆的方程x2+y2=4中，将“满足方程x2+y2=4”作为变量x，y之间的对应法则，当时，可得，即当时，可得两个值与之对应，因此，方程x2+y2=4确定了一个多值函数，其中是多值函数的两个单值分支，它们都由方程x2+y2=4确定.从而方程x2+y2=4确定了两个单值函数.
　　本书中凡是没有特别说明的函数都是指单值函数.
　　例1 求函数的定义域.
　　解由题意可知，该函数的自变量x满足不等式组
　　解得
　　且，
　　故该函数的定义域为.
　　例2 设
　　解将变量x分别用
　　代入，得
　　2.函数的表示形式
　　函数有多种表示形式，常见的主要有:表格法、图示法、解析法(用代数式表示法).
　　表格法是把自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出，实际应用中常用此法.例如火车时刻表，就是用列表的方法列出出站和进站对应的车次与时间的函数关系.其优点是从表上可直接看出y随x的变化而变化的情况，使用上较方便，缺点是只能表达有限个对应数据.
　　图示法是把变量x与y对应的有序数组(x，y)看作直角坐标平面内点的坐标，y与x的函数关系就可用坐标面上的曲线来表出.例如气象站中的温度记录器，就记录了空气中温度与时间的函数关系.该关系是借助仪器自动描绘在纸带上的一条连续不断的曲线来表达的.图示法的优点是直观性强，缺点是没有给出函数关系的表达式，不便于做理论上的推导与演算.
　　解析法是把两个变量之间的关系直接用代数式表示，故解析法也可以称为公式法.高等数学中所涉及的函数大多用解析法来表示，解析法的优点是便于做理论上的精准分析与推演.
　　下面是几种常见的用解析法表示的函数类型.
　　(1)分段函数
　　在自然科学与工程技术中经常用到这样一类函数，它在定义域的不同范围内的自变量所对应的函数关系并不相同，这时就需用几个不同的式子分别来表示一个函数，这样表示的函数就是分段函数，如定义域分成两个不同的范围时，有如下定义.