玩游戏学数学（4上）/核心素养名师课堂/新教育K12课程系列丛书

作者简介

王志江，贞元教育创始人，贞元新教育K12卓越课程系统总设计。北京市中学数学特级教师。曾任北京市市级示范学校校长、南明教育集团总校长（之一）、山西运城国际学校校长。痴迷教育，勇于创新，立志“做最中国的国际教育”。 在《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》《北京教育》《中小学管理》等国内核心报刊上发表教育教学论文50余篇，著有《寻找生命的枝枝蔓蔓》《七步研课法与三对话课堂》《重新理解教育》（合著）等。与宋亚男、赵俊杰合著“玩游戏，学数学”系列丛书。 宋亚男，贞元新教育K12卓越课程（小学数学）联合开发者，贞元教育小学数学首席教师，开封市贞元学校小学数学教师。与王志江合著“玩游戏，学数学”系列丛书（小学阶段）。

内容简介

第一节 儿童怎样建构生成大数观念 一、儿童已有的大数观念具有怎样的发展水平 评估题组： 1. 给出两个数9486、12456： （2） （1）请儿童判断它们与10000 的大小关系；请儿童合理地拆分这两个数（体现位值制）；（3）请儿童在算珠计数器上表示这两个数；（4）请儿童在数轴上表示这两个数的相对位置；（5）请儿童尝试读数；（6）请儿童用这两个数构造算式。 2. 用数字1，2，3，4，5，6 组成一个六位数（每个数字只能用一次）， 其中最小的数是多少？最大的数是多少？为什么？怎样读出最小的数和最大的数？ 3. 你能举出一个比较大的数，并且把它读出来吗？ 4. 请提出你感兴趣的新问题。 游戏参与者：瀚，9岁。 师：9486，12456 这两个数你会读吗？ 瀚：会的。九千四百八十六 ，一万二千四百五十六。 师：请判断这两个数与10000 的大小关系。 瀚：9486 小于10000，12456 大于10000。 师：你能将它们拆分成多个数字之和吗？ 瀚：拆分方法太多了，但是这种拆分方法是最好的：9486=9000+400+80+6，12456=10000+2000+400+50+6。（运用位值制进行拆分。） 师：你能在算珠计数器上表示出这两个数吗？ 瀚：千位上拨9 颗珠，表示9 个千；百位上拨4 颗珠，表示4 个百；十位上拨8 颗珠，表示8 个十；个位上拨6 颗珠，表示6 个一，这是9486。万位上拨1 颗珠，表示1 个万；千位上拨2 颗珠，表示2 个千；百位上拨4 颗珠，表示4 个百；十位上拨5 颗珠，表示5 个十；个位上拨6 颗珠，表示6 个一，这是12456。 师：你能在数轴上找到这两个数的对应位置吗？ 瀚：可以（很快在数轴上相对精确地找到了这两个数的位置）。 师：你画得很细致，但题目要求是只要找到两个数的对应位置即可。 瀚：哦，我明白了，只要找到这两个数的对应位置就好，不需要这么精确。也就是说如果9486 在这里的话，12456 应该在9486 的右边（如下图所示）。 师：你能用这两个数构造几个算式吗？ 瀚：比较简单的是加减法算式，可以直接用竖式计算出结果（竖式略）， 9486+12456=21942，12456-9486=2970。乘法算式是9486×12456， 计算起来比较麻烦，但我可以估算出算式的结果大约是100000000。 师：你是如何估算的呢？ 瀚：把9486 估成10000，把12456 估成10000，10000×10000=100000000。 师：嗯，这个想法不错，还有其他的算式吗？ 瀚：除法算式12456÷9486，我估算的结果是1.25，我刚用计算器验证了，结果是1.3 多一点。不过我觉得我很厉害，已经很接近答案了。 师：确实厉害！你能说一下你是如何估的吗？ 瀚：把9486 估成9000，9000 是小于12456 的，2个9000 是18000，18000 是大于12456 的，所以商应该在1 到2 之间。0.5×9000=4500，9000+4500=13500，13500 大于12456，这两个数已经比较接近了，商肯定小于1.5，所以我估的结果是1.25。 师：如果是9486÷12456 呢？ 瀚：那就是负数了。 师：你确定是负数吗？ 瀚：哦，不对，差不多是0.5 ？ 师：你觉得应该比0.5 大，还是比0.5 小呢？ 瀚：比0.5 大。 师：与1 相比呢？ 瀚：应该比1 小。 师：第2 题，你能用1 到6 这6 个数字，组成一个最小的六位数吗？ 瀚：123456。 师：组成一个最大的六位数呢？ 瀚：654321。 师：为什么？ 瀚：从最高位开始，从小到大排列，就是最小的六位数；从最高位开始，从大到小排列，就是最大的六位数。 师：你能准确读出这两个数吗？ 瀚：十二万三千四百五十六，六十五万四千三百二十一。 师：你觉得要想准确地读出这两个数，首先要解决什么问题？ 瀚：首先要知道每个数字在什么位上。师：学习万以内的数时，我们已经命名了多少个数位名称了？ 瀚：个位、十位、百位、千位、万位，一共5 个数位。 师：如果要想读出654321，仅命名这5 个数位可以吗？ 瀚：不可以，还需要有“十万位”。 师：你学过“十万位”吗？ 瀚：没有，仅学到了万位。 师：那你是如何知道“十万位”的？ 瀚：反正就知道啦，我还知道“十万位”后边是百万位、千万位。 师：你知道“十万位”是如何来的吗？ 瀚：10 个一万就是十万呀。 师：个、十、百、千、万这几个位值的名字是不是各不相同呀？ 瀚：对的，不一样。 师：仅仅看这几个汉字，你能知道个位、十位、百位、千位之间的数量关系吗？ 瀚：不能。师：如果沿用这样的命名方法，你认为应该如何命名接下来的数位呢？ 瀚：不知道。 师：可以用你的名字“瀚”来命名吗？ 瀚：可以，你命什么样的名都可以，只要大家最后愿意统一运用就可以。 师：对的，如果你是第一个命名者，用自己的名字来命名当然可以，而且，如果大家都觉得这个名字取得好，也就慢慢得到公认啦。接下来的数位该如何命名呢？ 瀚：怎么命名都可以，但必须保证每个人都愿意用这个名字，不过这样命名，名字就太多了，不好记。 师：对的，命名并不是越多越好，太多太复杂的名字并不是每个人都愿意使用的。“十万位”“百万位”这样的命名有什么好处呢？ 瀚：10 个一万就是十万，好理解。 师：对的，这样的名字属于复合命名，“十”可以体现出相邻两个数位之间的十进制关系，“万”是已经发明了的名称。 瀚：那么，对应地也就有了“百万位”“千万位”，不过，“亿位”呢？师：它像“十万位”“百万位”“千万位”这样命名的吗？ 瀚（恍然大悟）：它不是复合命名，它应该像个位、十位、百位、千位一样命名，取的是新的名字。 师：对呀，那“亿位”后边的数位又是什么名字呢？ 瀚：“十亿位”“百亿位”“千亿位”，这又是复合命名了。 师：这样的命名是唯一的吗？ 瀚：应该不是唯一的吧？ 师：英语里用哪个单词表示“个”？ 瀚：a 或者an。师：十位呢？ 瀚：ten。 师：百位呢？ 瀚：hundred。 师：千位呢？ 瀚：thousand。 师：万位呢？ 瀚：ten thousand。 师：你发现什么规律了吗？ 瀚：英语也有复合命名。 师：从什么位开始用复合命名的？ 瀚：千位后的万位。 师：万是ten thousand，十万呢？ 瀚：hundred thousand。师：百万呢？ 瀚：thousand thousand。 师：啊，英语好像没有“千千位”哦！我们再来看看中国的数位名称，万位、十万位、百万位、千万位后面的数位名称是什么？ 瀚：千千万位？哦，不对，是亿位。 师：对你有什么启发吗？ 瀚：英语里的百万就需要发明新的位值，可是英语里有百万吗？ 师：你认为没有百万位可以吗？ 瀚：不可以。 师：确实不可以没有，不然大数如何表示呢？英国人就用“million”表示 百万。 师：第3 题，你可以举出一个比较大的数，并且把它读出来吗？ 瀚：一亿零二百零七万八千九百零七。 师：如果我把“2”改成“0”（100078907）呢？ 瀚：一亿零七万八千九百零七。 师：如果我继续把“7”改成“0”（100008907）呢？ 瀚：一亿零八千九百零七。 师：读数时，为什么有的零读出来，有的零却没有读出来？ 瀚：如果都读出来就太麻烦了，有些零是可以省略的，但写数的时候零不能省略，需要占位。 师：如果把后边的“7”也改成“0”（100008900）呢？ 瀚：一亿零八千九百。 分析：整体来看，瀚的位值制观念建构得比较好。首先，他能够理解类似“个位”“十位”“百位”“千位”这样的数位名称并不是越多越好，为了认读方便，必须引进复合名称；并且能够较为准确地认读常见的大数。其次，他能够了解中英文两种不同的位值命名法则。最后，他对数字的感觉（数感）比较好，对于估算也有较好的领会。 结合此处和以前做过的相关游戏，我们可以看出儿童的大数观念在不同发展阶段具有如下特征。 萌芽期：6~8 岁，儿童能够结合自身已有的生活经验以及大量的游戏活动，初步建构生成十进制和位值制观念。一方面，儿童能够命名“个位”“十位”“百位”，能准确认读百以内的自然数，并能理解不同位值之间的转化关系。另一方面，儿童能够在初步理解位值制和十进制的基础上，熟练操作百以内的加减乘除运算。 生长期：8~9 岁，儿童能够结合生活经验和适宜的游戏活动，基本建构生成十进制和位值制观念。一方面，儿童能够命名“千位”“万位”，能准确认读万以内的自然数，并能理解不同位值之间的转化关系。另一方面，儿童能够在理解位值制和十进制的基础上，熟练操作万以内的加减法运算，同时也开始逐步建构生成乘除法运算观念。 成熟期：9~10 岁，儿童能够结合生活经验和适宜的游戏活动，准确建构生成十进制和位值制观念，并能将此观念从自然数领域逐步拓展到小数领域。一方面，儿童能够命名“十万位”“百万位”“千万位”“亿位”等，能准确认读较大的自然数，并能理解不同位值之间的转化关系。另一方面，儿童对自然数的本质有了较准确的领会：（1）自然数作为一种特别的“数”，它是怎样被创造发明出来的呢？（2）自然数既然是“数”，那么，任意两个自然数之间能够比较大小吗？这种大小关系在数轴上如何体现？（3）自然数作为一种“数”，能够进行加减乘除以及四则混合运算吗？ 评估游戏中的瀚同学处于从生长期向成熟期过渡的阶段。 二、儿童已有的大数观念在日常生活中表现出怎样的特征 在此阶段儿童的内在认知结构中，万以内的数观念属于前景观念，比99999 大的数对应的观念（下文称“大数观念”）属于背景观念。 在日常生活中，儿童实际接触到的数一般不会太大，万以内的数，不管是认读，还是进行四则运算（特别是加法与减法运算），儿童一般都能自如应对，尤其是儿童的估算能力也有了明显的进步。 但是，他们在阅读、看电视，或者与成人交流的过程中，偶尔会涉及较大的数字，比如：一本书的字数是20 万，儿童假期读了20 本书，那么他的假期阅读量就是400 万字；中国的国土面积大约是960 万平方千米；中国人口已经超过14 亿……儿童能够感觉到这些数字都是很大的，但是，并不清楚它们到底有多大，相互之间的大小关系如何。换句话说，在日常生活中，大数仍然是一个日常概念，多数儿童也许能够根据头脑中的已有经验去读一读，甚至尝试着对其进行运算，但多数情况下，只是试一试、猜一猜，即便结果对了，也多半处于“日用而不知”的混沌状态。 三、儿童已有的大数观念可能与哪些新问题产生认知冲突 首先，如何准确地认读较大的数？儿童已有的数观念只能帮助其准确认读万以内较小的数，所以，当他们遇到较大的数时，如何认读就会成为最大的认知冲突。这里会涉及以下几个关键问题：（1）位值命名的原则。新名称是不是越多越好？复合命名的优势和劣势分别是什么？（2）不同位值命名系统的联系与区别。如何理解中国位值命名法与欧美位值命名法的异同？（3）如何准确认读大数？特别是含0 较多的大数。（4）大数不同表示方法之间的相互转换与互译。这里涉及数字符号表示、文字语言表示、算珠计数器表示、数轴表示（在数轴上表示数字对应的点），以及它们之间的相互转化。大数距离儿童的实际生活有点远，不同表示方法之间的相互打通，对于协助儿童准确建构生成大数观念至关重要。 其次，大数如何参与算术运算？因为大数也是数，所以，儿童自然会思考：这些大数能够参与加、减、乘、除运算吗？这个问题不是本单元的核心问题，不过，从当下各个版本教材的编排体系来看，后续一般也都不会专门涉及超大数的四则混合运算问题，所以，本单元适当讨论一下大数的运算问题，有利于儿童建构生成系统化的算术认知结构。 四、如何协助儿童化解可能遇到的认知冲突 结合儿童的认知发展特点，化解认知冲突的基本程序是：浪漫—精确—综合。这是一个无限展开的认知循环。初识大数、结合甲骨文及“四世同堂”等讲述有关位值名称的故事等属于本单元的浪漫阶段；大数的准确认读属于本单元的精确段；大数观念的综合运用，以及思维导图制作和闯关挑战等，都属于本单元的综合阶段。 第一阶段——讲故事，说大数 一、课前挑战 1. 阅读故事：象棋格中的谷粒。讨论：最大的数到底有多大？ 2. 根据下列“个”“十”“百”“千”“万”，猜想造字的本义，并把你的猜想用讲故事的方式描述出来。 3. 给出两个数9486，12456。 （1）请判断它们与10000 的大小关系。 （2）请合理拆分这两个数（体现位值制）。 （3）请在算珠计数器上表示这两个数。 （4）请在数轴上表示这两个数的相对位置。 （5）请尝试读数。 （6）请用这两个数构造算式。 4. 用数字1，2，3，4，5，6 组成一个六位数，其中最小的数是哪个？最大的数是哪个？为什么？怎样读出最小的数和最大的数？或者问：要想准确地读出这两个数，首先需要解决什么问题？ 5. 请提出你感兴趣的新问题。 二、课堂对话 1. 结合课前挑战1 展开对话：（1）分享超大数所带来的惊异感。（2）激发认知冲突：怎么读，怎么写呢？ 2. 结合课前挑战2 展开对话：（1）复习已经知道的位值名称的造字本义和引申义。（2）为什么要对不同的位置进行命名？（从而形成位值制）（3）不同位值之间的关系是什么？（十进制）（4）认读超大数，最核心的难题是什么？（对“新位置”进行命名） 第二阶段——比“万”大的位值 一、课前挑战 1. 在一个“四世同堂”的大家族中，所谓“四世”其实就是通常所说的“四代”。 （1）请说出每一代的名称。 （2）同一代中往往又包含了许多人，这些人相互之间又是如何加以区分的呢？ （3）家族谱系对于我们认读大数有什么帮助呢？ 2. 除了个、十、百、千、万之外，你还知道哪些与读数有关的名称，请列举出来；并举例说明它们在读数时的应用。 3. 在英语中，有哪些表示数字位值的单词？请列举出来。英语中的位值制与中国人的位值制有什么不同呢？可以举例说明。 4. 请提出你感兴趣的新问题。 二、课堂对话 1. 结合课前挑战1 展开对话：（1）以最低代为基点，可以界定为：曾祖（父母）、祖（父母）、父母、儿女（“我”）。当然，中国的家族代级名称实际上是一个混合概念。如果选定一代为起点，往下言说则是：下一代为“儿子”，儿子的儿子为“孙子”，孙子的儿子为“玄孙”，而玄孙的儿子就没有专门的名称了；往上言说则是：上一代为“父”，父亲的父亲为“祖父”，祖父的父亲为“曾祖父”，曾祖父的父亲一般也就没有专门的名称了。（2）在同一代中，首先每一个人都有自己的名字，又可以按亲疏远近分为兄弟姐妹、堂兄弟姐妹、表兄弟姐妹等。（3）对认读大数的启发：先分“代”——数字认读中叫作“分级”，给每一级起个名字；在每一级中，每个数字除了拥有自己本来的名字之外，还可以根据它所占据的位置起个名字，也就是所谓的“位值名称”。 2. 结合课前挑战2~3 展开讨论：（1）对于一个较大的数而言，到底该怎样分级呢？中国人的办法是“从右往左，四个数字为一级”，分别是“个”级、“万”级、“亿”级；具体说就是：“个，十，百，千”为一级，“万，十万，百万，千万”为一级，“亿，十亿，百亿，千亿”为一级……（2）英美人的分级方法和中国人不同，他们是“从右往左，三个数字为一级”，分别是“a”（“个”级）、“thousand”（“千”级）、“million”（“百万”级）；具体说就是：“a，ten，hundred”为一级，“thousand，ten thousand，hundred thousand” 为一级，“million，ten million，hundred million（billion） ”为一级…… 第三阶段——大数认读（1） 一、课前挑战 1. 按要求认读下列各数（不含0）：93787.693456.4568934.267854678 （1）用竖线标注分级的位置。 （2）用文字语言认读各数。 （3）在算珠计数器上表示各数（先在计数器上拨珠，然后再画出来）。 （4）在同一个数轴上标注各数对应的点。 2. 按要求认读下列各数（每一级的中间位置不含0、尾部含0）：204560.54000000.4003000.6407000 （1）用竖线标注分级的位置。 （2）用文字语言认读各数。 （3）在算珠计数器上表示各数（先在计数器上拨珠，然后再画出来）。 （4）在同一个数轴上标注各数对应的点。 3．请提出你感兴趣的新问题。 二、课堂对话 1. 共识：容易认读的大数类型：（1）不含0。（2）仅尾部含0（或每一级的尾部含0）。 2. 练习：（1）给文字表达，写出数字表达。（2）给数字表达，写出文字表达。（3）给算珠计数器表达，分别用数字和文字表达出来。（可以加一节练习课：三种语言的互译。） 第四阶段——大数认读（2） 一、课前挑战 1. 认读数：6434568794。分别将这个数从个位到最高位依次变为0，并用文字语言认读出来。 2. 请结合上题思考：（1）0 在哪些位置上，认读时可以不用读出来？请举例说明。（2）0 在哪些位置上，认读时必须读出来？请举例说明。 3. 认读数：6434568794。将这个数任意两个数位变为0，并依次用文字语言认读出来。 4. 结合上题思考：（1）两个0 在哪些位置上，认读时可以不用读出来？请举例说明。（2）两个0 在哪些位置上，认读时必须读出一个来？请举例说明。（3）两个0 在哪些位置上，认读时必须都读出来？请举例说明。 5. 认读数：6434568794。将这个数任意三或四个数位变为0，并依次用文字语言认读出来。 6. 结合上题思考：（1）当一个数字含有多个0 时，认读时能否全部不读出来？请举例说明。（2）从右边开始，每个位置依次变为0，读法有什么不同？ 7. 请用数字符号读出下列各数： 三十 .......三十万 ......三十亿 ....一百零七 一百零七万. 一百零七亿. 九千二百 九千二百万. 九千二百亿. 四百九十亿零六十万 五千零七亿零七百万 8. 请提出你感兴趣的新问题。 二、课堂对话 1. 结合课前挑战1 展开对话。 2. 课堂练习。 第五阶段——大数的应用与拓展 一、课前挑战 1. 结合下图思考并回答问题： 下面是我国面积较大的六个省份（单位：平方千米）。 （1）请将六个省份的面积按照从小到大的顺序排成一列。 （2）图中六个省份的面积使用的单位都是“平方千米”，如果将单位改为“万平方千米”，那么，各个省份的面积可以怎样改写？ （3）如果你有一个美国朋友，你准备向他介绍六个省份的面积的近似数，怎样介绍既简洁方便又不会有太大的误差呢？ 2. 结合地图，利用各个省份的面积和人口数，编制一些实际应用问题，并尝试解答。 3. 超大数能参与加、减、乘、除四则运算（混合）吗？请分别举例说明。 4. 请简述人类计数能力（或技术）的发展历程：提供相关资料供学生阅读，然后让学生画出计数技术的发展历程，评价每一种技术的优缺点，并展望未来发展的可能性。 5. 观看电影《人工智能》，并结合电影思考：（1）机器人的优势是什么？（2）互联网下一个十年会是怎样的？互联网下一个突破点可能是什么？未来是人控制机器还是机器控制人？（3）现实生活中的机器人是否可以真的拥有情感？未来，机器人能够战胜人类吗？ 6. 请提出你感兴趣的新问题。 二、课堂对话 1. 结合课前挑战1 展开对话，同时借助中国地图，写出全国各个省份面积的近似数。 2. 结合地图，读出全国各个省份的人口数，并改写成以“万人”为单位的近似数。 3. 结合课前挑战单展开对话。 4. 练习：计算中国若干个相邻省份的平均人口是多少。然后判断：哪些省份人口稠密？哪些地方地广人稀？针对这种情况，如果你是我国生态环境部部长或者国务院总理，你会做出哪些合理的决策？ 5. 可以以演讲的方式进行，在接受质疑和对话交流的基础上形成作品（或者是论文）。 第六阶段——思维导图 一、课前挑战 1. 制作本单元的思维导图。 2. 基于本单元的学习，你认为大数会向哪个方向继续发展？请举例说明。 第七阶段——闯关挑战赛 （略） 五、认知冲突化解后，儿童的日常生活与后续学习会发生什么变化 经过本单元的学习之后，大数观念成为前景观念，而超大数的算术运算观念则仍然属于背景观念。在日常生活中，儿童既可以理解别人用超大数描述的各种信息，也可以 用超大数观念去描述某些数量问题；不过，有关超大数的四则混合运算，儿童并不擅长。这类问题烦琐、复杂，但机械性、程序性比较强，所以比较适合用计算机（器）进行处理；儿童只要能够使用计算机（器）准确地处理相关问题即可。 在科学概念的内化方面，自然数观念在整个基础教育阶段实际上已经建构完成（大学阶段也许还会涉及从集合论的角度重构自然数理论），特别是关乎算术的三大问题：自然数是如何诞生的，自然数该如何比较大小，自然数该如何进行运算，儿童基本上已经获得了清晰的观念建构。后续需要继续学习的是数观念的拓展（如分数、小数、负数等）及其相关的数的运算方法等，儿童当下的认知结构已经为此做好了相应准备。 数学特级教师王志江、贞元教育小学数学首席教师宋亚男力作，快乐高效的数学教学与学习法