一本书读懂从来没懂过的数学（精）

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第一章 概率问题 导 言 在这一部分，我们将介绍一些围绕随机性、 偶然性的结论，或者用更现代的话语说——概率 的、直觉的或者反直觉的结论。“随机”和“偶 然”这类词最初指的是骰子游戏，因此，当提到 等概率情况的时候，我们通常想到的就是骰子的 模型，这一模型也正是概率论大多数创始范例的 基础。 我们需要引入一个严格的框架来执行概率的 计算。这样做的原因一方面为了限制这一数学理 论的应用范围，另一方面是赋予它相当的有效性 。尤其是，比如，当我们需要通过计算来做出决 策的时候。 随着篇幅的展开，我们将会遇到在形式上明 显或者不明显的几个概念，比如频率、概率、条 件概率、帕斯卡三角形（我们在11世纪波斯数学 家凯拉吉的著作中找到了它的身影）、大数定律 ……所有这些概念远非仅仅适用于博弈游戏，还 能让我们对一些更加复杂的问题获得一点点直觉 ，比如分配奖学金或者在法庭上用于DNA 测试结 果。 1. 我该换一扇门吗？ 首先，让我们从不需要计算的概率问题开始 ！让我们假设这样一个情境，有三扇门在你的面 前，其中一扇门的背后隐藏着奖金。门有三扇， 只有打开正确的那扇才能得到奖金，否则你就只 好拿着安慰奖回家。 一旦你选择了一扇门，我们并不会马上打开 它看看你赢了没有，实际上，一位主持人突然跳 出来说要帮忙。她打开了剩下两扇门中的一扇， 在这扇门之后什么也没有，然后问你，要不要换 一扇门？于是乎，问题来了：为了拿到大奖，我 们是应该坚持最初的选择，还是果断地换一扇门 呢？ 在这里，我们面对的是一种心理上的困境： 换吧，万一原来的选择是正确的，我们就有“竹 篮打水一场空”的风险，这让人心理上很难接受 。于是我们会觉得，还是坚持己见、不为所动比 较好。 但是，再仔细一想，既然主持人都站出来了 ，为什么拒绝她的建议呢？出于不信任？为了表 示自己很有主见？可无论如何，主持人给我们提 供了一个额外的信息，因为我们现在知道，在打 开的那扇门后什么都没有。我们难道不应该再考 虑考虑吗？完全无视这个额外的信息吗？这是多 么的狂妄自大呀，你们不觉得吗？ 为了应对这个局面，我们需要记住，错误是 我们的好朋友。改主意意味着可能把正确的选择 改成了错误的选择，但也意味着可能把错误的选