无法解出的方程--天才与对称/数学圈丛书

作者简介

王志标(1980～)，男，获中科院数学与系统科学研究院管理学博士学位，中国人民大学经济学硕士学位。现为河南大学经济学院副教授。 马里奥·利维奥是一位资深的天文学家和太空望远镜科学研究所(STScl)科学部的前部长，太空望远镜科学研究所带领组织了哈勃太空望远镜的科学计划。他在以色列特拉维夫大学获得了理论天体物理学博士学位，1981～1991年期间是以色列理工学院物理系教授。在STScl，他发表了400多篇科学论文，获得了众多的研究奖项和杰出教育奖。他是《黄金比例》和《加速的宇宙》的作者。《黄金比例》是一本获得高度评价的关于数学和艺术的书，他因此书获得了国际毕达哥拉斯奖和皮亚诺奖。

内容简介

对称 一张纸上的一滴墨水不是特别吸引眼球，但是如果在墨干之前将纸对 折，你可能得到如图1所示的图形，这是非常迷人的图形。事实上，对于相 似墨斑的解释构成了自20世纪20年代以来由瑞士精神病学家荷曼·罗夏 (Hermann Rorschach)发展的著名的罗夏实验的基础，该实验所宣称的目的 是，对于想要解释二重或多重形状的人，引出他们内心所隐藏的害怕、狂 野的幻想和深层思考。实验的实际价值作为一种“心理的X射线”在心理学 流派中备受争议。正如艾墨蕾大学心理学家斯考特·利林费尔德曾经说的 ：“谁的想法，受测者还是测试者？”然而，毫无疑问，类似图1的图像传 递了某种富有吸引力和令人着迷的形象。为什么？ 这是因为人类身体、大部分动物和很多人造物品都拥有一种相似的两 侧对称性吗？那么为什么乍看起来，所有那些人类虚构的动物特征和创作 物都展示了这样一种对称性呢？ 大部分人察觉到傢波蒂切利(Botticelli)所创作的《维纳斯的诞生》( 图2)这样和谐的作品是对称的。艺术史家恩斯特·H·贡布里希(Ernst H.Gombrich)甚至注意到，“为了获得一种优美的外观，波蒂切利发乎本性 的自由增加了设计的美丽与和谐。”然而，数学家会告诉你，绘画中色彩 和形式的安排在数学意义上根本不是对称的。相反地，大多数非研究数学 的观察者没有察觉到图3所示的图案是对称的，虽然根据正式的数学定义， 它实际上也是对称的。那么，何为真正的对称性？如果有对称性，它在感 觉上起着什么作用？它是如何与我们的美感相联系的？在科学王国中，为 什么对称性成为我们对于宇宙的想法和努力解释它的基本理论中关键的概 念？既然对称性跨越了这么广阔的学科，那么我们使用什么语言、什么语 法来描述和概括对称性以及它们的特点？还有，如何创造那种世界语？说 点轻松的，“你认为我性感吗？”是摇滚歌星罗德·史都华(Rod Stewart) 的一首歌名，对称性能为由“你认为我性感吗？”引起的非常重要的问题 提供一个答案吗？ 我将试着为所有这些问题，甚至更多的问题提供至少部分答案。沿着 这个思路，我希望本书整体上将既描写数学的人文主义一面，甚至更重要 的是，也描写数学家人性的一面。正如我们将看到的，对称性对于沟通科 学与艺术、心理学与数学是极为重要的工具。它充满了从波斯人地毯到生 命中的分子结构，从西斯廷教堂到广受欢迎的“万物至理”的对象和概念 。然而，群论，这门描述对称性的本质和探究其特点的数学语言，根本未 从对对称性的研究中产生。而且，这种令人惊奇的现代思潮的统一思想产 生于一个最出入意料的来源——一种无法解出的方程式。这种方程式戏剧 性的和曲折的历史是其智慧传奇的一个基本部分。同时，这个故事将清楚 地揭示面对似乎难以克服的挑战时天才的孤独和人类智慧的坚韧。我已经 竭尽全力尝试揭开两个世纪前本书主人公——天才的数学家埃瓦利斯特· 伽罗瓦(Evariste Galois)的死亡之谜。我相信自己已经比以往更接近了真 相。 风趣的剧作家乔治·伯纳德·肖(George Bernard Shaw)曾经说过：“ 理性的人让自己适应世界；不理性的人坚持让世界适应自己。因此，所有 的进步取决于不理性的人。”在本书中，我们会遇到许多不理性的男人和 女人。创新的过程，本质上依赖于无法言传的智力和情感因素。通过简要 的数学抽象，可以窥见创造力的真正本质。长话短说，开始步人对称的奇 境吧。 不发生改变 单词“symmetry”有古老的词根，源自希腊的“sym”和“metria”， 它们合起来的意思是“同样的尺寸”。当希腊人为一件艺术作品或一项对 称的建筑设计贴上标签时，他们意在说明，一个人可以识别那件作品的一 小部分，而所有其他部分的尺寸与那部分存在准确的倍数关系(各部分是“ 可以比较的”)。这种早期的定义更符合我们现在对比例而非对称的感觉。 然而，伟大的哲学家柏拉图(Plato，公元前428/427～前348/347)和亚里士 多德(Aristotle，公元前384～前322)很快将对称和美联系起来。用亚里士 多德的话说：“美的主要形式是有序排列(希腊语taxis)，比例 (symmetria)和有限性(horismenon)，这些尤其在数学中得到了展现。”追 随希腊传统，有影响的罗马建筑师维特鲁威(Vitruvius，约公元前70～前 25)随后宣扬通过“恰当的比例”来认识对称性，这种观念一直延续到文艺 复兴时期。在他的《De Architectura Libri Decem》(《建筑十书》)—— 欧洲几个世纪以来实际上的建 筑圣经中，维特鲁威写道： 教堂的设计要讲究对称，建筑师必须认真遵守对称原理。它们应归于 比例。比例就是一件完整作品的各部分尺寸之间、整体与被选做标准的某 部分之间的一致性。此即对称原理。P1-4