数学从这里走来/爱科学学科学系列丛书

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数学理论体系的建立 《九章算术》问世之后，我国的数学著述基本上 采取两种方式：一是为《九章算术》作注：二是以《 九章算术》为楷模编纂新的著作。其中刘徽的《九章 算术注》被认为是我国古代数学理论体系的开端。 祖冲之的数学研究工作在南北朝时期最具代表性 ，他在刘徽《九章算术注》的基础上，将传统数学大 大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的 典范，我国古典数学理论体系至此建立。 一位农妇在河边洗碗。她的邻居闲来无事，就走 过来问：“你洗这么多碗，家里来了多少客人？”农 妇笑了笑，答道：“客人每两位合用一只饭碗，每3 位合用一只汤碗，每4位合用一只菜碗，共用65只碗 。”然后她又接着问邻居，“你算算看，我家里究竟 来了多少位客人？”这位邻居也很聪明，很快就算了 出来。 这是《孙子算经》中有一道著名的数学题“河上 荡杯”荡杯在这里是洗碗的意思。很明显，这里要处 理的是65个碗共有多少人的问题。其中能了解客数的 信息是2人共碗饭，3人共汤碗，4人共菜碗，通过这 几个数值，很自然就能解决客数问题。 《孙子算经》有3卷，常被误认为春秋军事家孙 武所著，实际上是魏晋南北朝时期前后的作品，作者 不详。这是一部数学入门读物，通过许多有趣的题目 ，给出了筹算记数制度及乘除法则等预备知识。 “河上荡杯”包含了当时人们在数学领域取得的 成果，而“鸡兔同笼”这个题目，同样展示了当时的 研究成果。 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35 个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔 ？这道题其实有多种解法。 其中一种解法：如果先假设它们全是鸡，于是根 据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这 样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少 ，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2， 就可以算出共有多少只兔。伺理，也可以假设全是兔 子。 《孙子算经》还有许多有趣的问题，比如“物不 知数”等，在民间广为流传，向人们普及了数学知识 。 其实，魏晋时期特殊的历史背景，不仅激发了人 们研究数学的兴趣，普及了数学知识，也丰富了当时 的理论构建，使我国古代数学在理论上有了较大的发 展。在当时，思想界开始兴起“清谈”之风，出现了 战国时期“百家争鸣”以来所未有过的生动局面。与 此相适应，数学家重视理论研究，力图把从先秦到两 汉积累起来的数学知识建立在必然的可靠的基础之上 。而刘徽和他的《九章算术注》，则是这个时代造就 的最伟大的数学家和最杰出的数学著作。 刘徽生活在“清谈”之风兴起而尚未流入“清谈 ”的魏晋之交，受思想界“析理”的影响，对《九章 算术》中的各种算法进行总结分析，认为数学像一株 枝条虽分而同本干的大树，发自一端，形成了一个完 整的理论体系。 刘徽的《九章算术注》作于263年，原10卷。前9 卷全面论证了《九章算术》的公式、解法，发展了出 入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念，首 创了求圆周率的正确方法，指出并纠正了《九章算术 》的某些不精确的或错误的公式，探索出解决球体积 的正确途径，创造了解线性方程组的互乘相消法与方 程新术、用十进分数逼近无理根的近似值等，使用了 大量类比、归纳推理及演绎推理，并且以后者为主。 第10卷原名“重差”，为刘徽自撰自注，发展完善了 重差理论。此卷后来单行，因第一问为测望海岛的高 远，名称《海岛算经》。 我国古典数学理论体系的建立，除了刘徽及其《 九章算术注》不世之功和《孙子算经》的贡献外，魏 晋南北朝时期的《张丘建算经》、《缀术》也丰富了 这一时期的理论创建。 南北朝时期数学家张丘建著的《张丘建算经》3 卷，成书于北魏时期。此书补充了等差级数的若干公 式，其百鸡问题导致三元不定方程组，其重要之处在 于开创“一问多答”的先例，这是过去我国古算书中 所没有的。 公鸡每只值5文钱，母鸡每只值3文钱，而3只小 鸡值1文钱。用100文钱买1 00只鸡，问：这1 00只鸡 中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？ 这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观 点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。 百鸡问题还有多种表达形式，如“百僧吃百馒” 和“百钱买百禽”等。宋代数学家杨辉算书内有类似 问题，此外，中古时近东各国也有相仿问题流传，而 且与《张丘建算经》的题目几乎全同，可见，其对后 世的影响。 与上述几位古典数学理论构建者相比， 祖冲之则重视数学思维和数学推理，他将传统数学大 大向前推进了一步。 祖冲之写的《缀术》一书，被收入著名的《算经 十书》中，作为唐代国子监算学课本。他将圆周率的 真值精确到3.1415926，是当时世界上最先进的成就 。他还和儿子祖咂一起，利用“牟合方盖”圆满地解 决了球体积的计算问题，得到正确的球体积公式。 祖冲之还在462年编订《大明历》，使用岁差， 改革闰制。他反对谶纬迷信，不虚推古人，用数学方 法比较准确地推算出相关的数值，坚持了实事求是的 科学精神。 拓展阅读 祖冲之的儿子祖暅从小爱好数学，巧思入神，并 有所建树。祖咂发现了著名的等幂等积定理，又名“ 祖暅原理”，是指所有等高处横截面积相等的两个同 高立体，其体积也必然相等的定理，在当时的世界上 处于领先地位。 P14-19