数学万花筒2（修订版）

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但六角手风琴呢？ 且慢，不是有一种显而 易见的构造可形变多面体的 方法吗？比如铁匠用来鼓风 的风箱，或者由风箱驱动发 音的六角手风琴？风箱的皮 橐可以推拉变形啊。确实， 如果你把风箱的两端换成两 个平面，那它是个多面体。 并且显然它是可形变的。那 么这里的关键在哪里？ 尽管六角手风琴是多面 体，也是可形变的，但它不 是可形变多面体。回想一下 ，可形变多面体的面的形状 是不允许改变的。它们开始 时是平的，所以必须始终保 持是平的；也就是说，它们 不能弯曲。一点也不行。但 当你演奏六角手风琴时，随 着皮橐被拉开，面会发生非 常轻微的弯曲。 设想六角手风琴先如上 面左图那样部分闭合，然后 被拉开成右图的样子。并且 我们是从侧面观察它。如果 面没有发生弯曲或其他畸变 ，线段AB不会改变长度。 现在，边AC和BD实际上是 在远离我们，并且我们是从 侧面观察它们，但尽管如此 ，由于这些长度在三维空间 上不会发生改变，所以右图 中点C与D的距离要比左图 中的更大一些。但这与长度 不变相矛盾。因此，面必须 改变形状。在实践中，将各 个面接在一起的材料是可以 稍微延展的，这也正是六角 手风琴能够工作的原因。 风箱猜想 每当数学家有了一个新 发现，他们就会想试试运气 ，尝试进一步提出问题。所 以当可形变多面体被发现后 ，数学家很快就意识到，六 角手风琴不符合这一数学定 义还可能有别的原因。因此 ，他们做了一些实验：在一 个用纸板做成的可形变多面 体上开一个小孔，将烟吹入 ，然后让这个多面体发生形 变，看是否有烟被挤出来。 没有。而如果你在六角 手风琴或风箱上做这个实验 ，你会看到有烟被挤出。 然后他们进行了一些严 谨的计算来确认实验结果， 使之变成真正的数学。这些 计算表明，当我们已知的可 形变多面体发生形变时，其 体积不会发生改变。丹尼斯 ·沙利文猜想，这对所有的 可形变多面体都成立。而在 1997年，罗伯特·康奈利、 伊扎德·萨比托夫和安克·瓦 尔茨证明了他是对的。 在简要介绍他们的工作 之前，让我先给出一些铺垫 。二维中的相应猜想是错误 的。如果你把一个长方形挤 压成一个平行四边形，面积 变小了。因此，必定是三维 空间的某种特征使得一个数 学上的风箱是不可能的。康 奈利的团队怀疑，这可能与 亚历山大的希罗给出的三角 形面积公式（参见第262页 ）有关。’这个公式涉及一 个平方根，但它可被重新整 理成一个将三角形的面积与 三个边长关联起来的多项式 方程。也就是说，方程中的 各项是变量的幂乘以常数。 萨比托夫想知道，是否 可能存在一个适用于任意多 面体的类似方程，将其体积 与各个边长关联起来。这看 似不大可能：如果存在的话 ，古往今来的那么多大数学 家怎么会都没有发现？ 尽管如此，假设这个不 大可能的公式确实存在，则 风箱猜想显而易见成立。多 面体的边长不会随着它的形 变而改变，所以公式保持不 变。现在，一个多项式方程 可能有多个解，但体积显然 是随着多面体的形变而连续 变化的。从方程的一个解变 成另一个不同的解的唯一方 式是跳跃式进行，而这并不 连续。因此，体积不会改变 。 一切都很顺利，只是这 样一个公式存在吗？在一种 情况下它确实存在，即四面 体体积相对于边长的经典公 式。又由于任意多面体都可 由四面体构成，所以多面体 的体积也就是构成它的各四 面体的体积之和。 然而，这还不够好。由 此得到的公式涉及所有四面 体的所有边，其中许多现在 成了从多面体的一个角到另 一个角的“对角”线。这些边 不是多面体的边，并且很明 显，它们的长度可能随着多 面体的形变而改变。因此， 必须想办法把这些不想要的 边从公式中剔除出去。 通过艰苦卓绝的计算， 人们发现，对于由八个三角 形面构成的八面体，确实存 在一个这样的公式。它涉及 体积的16次方，而不是平方 。等到1996年，萨比托夫 找到了一个适用于任意多面 体的方法，但它非常复杂， 这或许解释了为什么过往的 大数学家没有发现它。然而 在1997年，康奈利、萨比 托夫和瓦尔茨找到了一个简 单得多的方法，于是风箱猜 想变成了一个定理。 P32-34