玩游戏 学数学(六年级上)

作者简介

王志江，贞元教育创始人，贞元新教育K12卓越课程系统总设计师。北京市中学数学特级教师。曾任北京市市级示范学校校长。痴迷教育，勇于创新。曾在《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》《北京教育》《中小学管理》等国内核心报刊上发表教育教学论文50余篇，著有《寻找生命的枝枝蔓蔓》《七步研课法与三对话课堂》《重新理解教育》（合著）等。与宋亚男、赵俊杰合著“玩游戏，学数学”系列丛书。 宋亚男，贞元新教育K12卓越课程（小学数学）联合开发者，贞元教育小学数学首席教师，开封市贞元学校小学数学教师。与王志江合著“玩游戏，学数学”系列丛书（小学阶段）。

内容简介

第一章 分数乘法 第一节 学生怎样建构生成分数乘法观念 一、学生已有的分数乘法观念具有怎样的发展水平 评估题组： 1. 如果 n ，m 都是整数（非 0 自然数），那么， 的含义是什么？请举例 说明。 2. 分数可以参与哪些类型的运算？请举例说明。 3. 按照从特殊到一般的顺序，你能列举出哪些不同类型的分数乘法运 算？每种类型对应的除法运算的含义是什么？ 4. 请提出你感兴趣的新问题。 评估对象： 浩（准六年级学生）（参与第 1 题的评估游戏） 评估时间： 2017 年 9 月 2 日 评估对象： 瀚（准六年级学生）（参与第 2 、3 题的评估游戏） 评估时间： 2020 年 7 月 18 日 评估过程： 师： 我们先看第 1 题，你是怎么思考的？ 浩： 将整体 1 平均分成 n 份，取其中的 m 份就是 。 师： 能用一种运算表示上述关系吗？ 浩： 可以。 m 个 ，所以， =m × 。 师： 可以用加法算式表示吗？ 浩：（稍加思考之后）不可以。 师： 为什么？ 浩： 不知道 m 到底是多少啊！ 师： 如果 m=3 呢？ 浩： 这就可以了， = + + 师： 如果 m=100 呢？ 浩： 也可以，就是要写 100 个 连加，太麻烦了！ 师： 能否简便一点呢？ 浩： 除非中间用省略号。 经过讨论修改之后，结果如下： = + +……+ n n n n 100 个 师： 现在 可以用加法算式表示吗？ 浩： 当然！（结果如下。） m = + +……+ n n n n m个 浩： 我好像在哪里看到过，应该可以表示成 m ÷n 吧？ 师： 是吗？ m ÷n 表示什么含义？ 浩：从除法的角度讲，有两种含义。第一是“平均分”，也就是将 m 平均 分成 n 份， 其中的 1 份是多少。第二是“包含除”，也就是 m 里面包含了多少 个 n。 师： 从“平均分”的角度讲，其中的 1 份到底是多少呢？ 浩：就是 m ÷n 的“结果”，如果用“m ÷n= ？ ”表示，那么，“结果”就 是等式中的“？”。 吗？ 浩： 嗯……应该相等，但是好像又不等。到底是怎么回事呢？ 师： 你的疑问是什么？ 浩：从分数的角度讲， 师：是啊，这到底是怎么回事呢？把 作为“分数单位”时，你是将谁平均分成了 n 份？ 浩：哦， 我明白了！从分数的角度讲，是把单位“1”平均分成 n 份， 其 中一份是 ，取出其中的 m 成了 n 份， 而 m 实际上就是 m 个单位“1”，所以这时候的“一份”就相当于 前面的“m 份”了。 师： 你真棒！ 师： 瀚同学，现在咱们一起讨论第 2 题吧，先说说你的想法。 瀚： 分数可以进行加法和减法运算，这个太简单了，就不用讨论了吧？ 师： 好的，那我们就直接讨论第 3 题吧！ 瀚： 分数可以乘整数，例如： ×3= ，4× = = 。 师： 为什么？你的根据是什么？ 瀚：第一个算式就是 3 个 相加，结果是 ；第二个算式是 4 个 相加， 结果是，约分之后是 。 师： 嗯，的确比较简单啊！能推广到更一般的情形吗？ 瀚：可以，那就是分数乘分数了，比如“ × = ？ ”这个需要画图理 解（并画图如下）。 （1） （2） 师： 请解释一下。 瀚：图（1）的意思是将整体 1 平均分成 4 份，取其中的 3 份，就是 。图 （2） 的意思是在图（1）的基础上，再横向将整体 1 的 平均分成 5 份，取 其中的 1 份；然后观察两次操作的“重叠部分”，相当于是将整体 1 平均分成 了 20，取出其中的 3 份，所以，结果就是 。 师： 很好！你能将这个“特例”推广到“一般”吗？ 瀚： 可以，那就是“ × = ？”，结果应该是 。 师： 为什么？ 瀚： 也可以画图理解，如下。 b 份 b 份 c 份 d 份 a 份 a 份 （3） （4） 图（3）表示将整体 1 平均分成 a 份， 取其中的 b 份， 即为；图（4） 表 示在图（3）的基础上，再横向将 平均分成 c 份，取其中的 d 份；这样一来， 就相当于将整体 1 平均分成了 ac 份，取其中的 bd 份，所以，结果就是 。 师： 很好，你能将你发现的“规律”用一句话表示出来吗？ 瀚： 可以。 两个分数相乘，分母乘分母作为结果的分母，分子乘分子作为结果的分子。 师： 这个规律适用于前面的“特例”吗？ 瀚： 适用的，因为整数可以看作“分母为 1 的特殊的分数”。 师： 能写出这些乘法算式对应的除法算式吗？ 瀚： 能。 ÷ = ， ÷ = ； ÷ = ， ÷ = 。 师： 这些除法运算正确吗？ 瀚： 当然正确。 师： 为什么？ 瀚： 乘除互逆啊！ 师： 好的，今天的讨论就到此结束吧。 新教育K12卓越课程系列丛书 八大核心数学观念，阶段递进式教学方法，科学的课程设置，精彩的课堂实录，告诉老师数学怎么教！ 生动有趣的数学课堂，科学好玩的数学游戏，注重数学思维与动手能力的结合，让孩子爱上数学！ 数学特级教师告诉你，数学可以这么教，游戏应该这样玩！ 作为一名数学教师，应该研读这本书，因为它是真正从学生发展去谈数学教育的； 作为一名家长，更应该研读这本书，因为我们爱孩子，我们的孩子是活泼泼的！