一个大跳准则--重尾分布的理论和应用/现代数学基础丛书

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第1章 常见分布族的概念与性质
　　本章介绍服从或部分服从一个大跳准则的分布族的概念及基本性质.
　　1.1 次指数分布与长尾分布
　　以下两个分布族是本章首要的研究对象，它们具有密切的关系.
　　定义1.1.11)称F属于长尾分布族L，若对每个常数
　　(1.1.1)
　　2)称[0，1)上的F属于次指数分布族S，若对每个整数
　　(1.1.2)
　　(1.1.1)反映了长尾分布对平移的“不敏感性”(insensitivity).显然，只要证明(1.1.1)对某个t，如t=1成立，即知F2L.而(1.1.2)说明了次指数分布服从一个大跳准则，或具有一个大跳性.形象地说，即n个独立同次指数分布的随机变量的“跳”的和渐近尾等价于其最大的一“跳”.这个性质非次指数分布莫属.然而，下列定理的3)说明长尾分布也部分地具有一个大跳性.
　　定理1.1.1以下三个命题相互等价:
　　1)
　　2)
　　3)设X1和X2相互独立，具有共同分布F，且对每个常数
　　(1.1.3)
　　以上三个命题中的每一个均可推出:对每个整数，均有
　　证明对1)()2)，只要证1)=)2).对每个整数，知存在正有限常数
　　(1.1.4)
　　(1.1.5)
　　(1.1.6)
　　由(1.1.6)及(1.1.3)推出
　　最后的两个结论分别被包含在下文的定理2.1.4及定理1.3.1的3)中.
　　上述结果引发如下三点启迪.
　　第一，对上述t和所有的x>t，分割，
　　自然地，分别称右式的两部分为的大跳部分及非大跳部分.因渐近等价于P(X(2)>x)，故称其大跳部分服从一个大跳准则，或称其部分地服从一个大跳准则.若F2S，则F.2(x)的非大跳部分是其大跳部分的高阶无穷小，故称其(整体地)服从一个大跳准则.若F2LnS，则F.2(x)的非大跳部分不可忽略.若F/2L，则其大跳部分也不服从一个大跳准则，尽管如此，其大跳部分的大跳程度仍然值得关注.
　　第二，若分布 且 ，易证函数
　　越大，则F的尾分布对平移越“不敏感”，即其下降的