绕来绕去的向量法（精）/张景中科普文集

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图形的情况下，它也能有利于表达思想、表达事物的 本质。代数仅仅能表达未定的数或量值，不能直接表 达位置、角度和运动。因此，利用代数运算来分析一 个图形的特点是很困难的。即使利用完整的代数运算 ，去寻找方便的几何证明和构造更为困难。我的这个 新系统能紧跟可见的图形，以一种自然的、分析的方 式，通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何的 证明。但是它的主要价值存在于可操作的推理中，存 在于利用它的特点通过运算能得出的结论中。这个特 点在图形里不能表达出来。它不需要大量的乘法，不 需要添加令人困惑的太多的点和线。相比而言，这种 新方法确实能指导我们，使我们不用费力。我相信通 过这个方法，人们可以像处理几何一样处理力学，甚 至检验材料的质量，因为这些对象能注意到的部分通 常取决于某些图形。最终，如果我们已经发现了一些 这样简便的方法去减轻创造力的负担，我们可能会在 物理中得到更多的结果”。 莱布尼茨虽然看到了他所设想的新代数将在数学 和物理上有许多应用，但可惜的是他没有为此创造出 一种实际有效的方法。之后，德国数学家格拉斯曼（ Grassmann）的工作把莱布尼茨构思的系统的几何特 征带到现实中来，从而表明莱布尼茨的思想并不是一 个梦！其实，格拉斯曼在听说莱布尼茨的思想之前就 已经创造了类似的一个系统，他与莱布尼茨的目的总 体来说是相同的，他们都想通过固定的法则去建立一 个方便计算或操作的符号体系，并由此演绎出用符号 表达的事物的正确命题。而且，他们也都希望发现一 个同时具有分析和综合特点的几何，而不像欧几里得 几何与笛卡尔几何那样分别只具有综合的与分析的特 点。 如今的向量几何，其运算不仅仅是数的运算，还 包括图形的运算；向量解题在一定程度上摆脱了辅助 线。这应该是符合莱布尼茨设想中的几何的特点的， “是一种同时具有分析和综合特点的几何，而不像欧 几里得几何与笛卡尔几何那样分别只有综合的与分析 的特点”。 以上向量的历史，部分引自西北大学孙庆华的博 士论文《向量理论历史研究》，对此有兴趣的读者可 查阅原文。 1.3 向量名词的演变 向量这一术语最早为英国数学家哈密顿使用，他 也是第一个用“向量（vector）”表示有向线段的数 学家。“vector”的词根源自拉丁词“vehere”，意 思是“携带”（这个拉丁词的过去分词是vectus）。 其含义隐含着将某物从此处带到彼处的意思。向量在 中国的传播过程中，曾有过多种译法，譬如有向数、 有向量、方向量等。时至今日，一般物理学界称之为 矢量，数学界称之为向量。 有文章花费大量篇幅来论述向量与矢量的区别。 但在我们看来，向量和矢量是同一个事物的不同名称