高考数学培优40讲：解析几何

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第１４讲 以形助数———圆锥曲线中几何性质研究 当年笛卡儿发明了直角坐标系，整个数学界为之欢欣鼓舞，大家认为一切几何问题 都可以归结为代数问题，但之后数学家费马提出了一个难题：已知△犃犅犆，在平面内 求点犘，如何使得犘犃＋犘犅＋犘犆的值最小．这里点犘就是赫赫有名的费马点．如果用 代数方法，就是求函数犳（狓，狔）＝槡（狓－狓犃）２＋（狔－狔犃）２＋槡（狓－狓犅）２＋（狔－狔犅）２＋ 槡（狓－狓犆）２＋（狔－狔犆）２的最小值．虽表述不难，但对这一复杂函数求解最小值却极其 困难．其实，如果能巧妙运用几何方法，那么费马点的求解就十分简单，有兴趣的读者 可以查阅资料，在此不再赘述． 这也启示我们，代数方法是解析几何问题最常见、最基本的方法，是一类通用方 法，解析几何归根结底是几何，如果只用代数方法生搬硬套或盲目计算，解题就会十分 烦琐，甚至无法解出．因此，在计算之前，不妨仔细看一看，图形里有没有什么几何特 征，要充分挖掘图形的几何性质及隐含条件，结合平面几何的相关知识求解这么做往 往能另辟蹊径，化难为易． 圆锥曲线是高考数学的重难点内容，以其为背景命制的考题常作为解答题甚至压 轴题出现．近年来，一类结合几何知识求解的圆锥曲线问题层出不穷，该类考题的破解 需要学生敏锐地发现其几何性质，巧妙地将几何条件转化为代数条件，从而构建解题 思路、简化计算过程，这对学生处理综合问题的能力也提出了很高的要求． 本讲以高考题为主，对结合几何性质求解的圆锥曲线问题进行展示和剖析，并作 概括和总结．希望读者能够触类旁通，擦亮双眼，在以后的解题中，不仅能熟练掌握代 数方法，而且能巧妙运用几何性质 高中数学培优，助力你高考数学挑战140分+