概率论与数理统计（中国科学院规划教材）

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**章 概率论基础
　　概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的一门学科，是统计学的理论基础，是近代数学的重要组成部分.本章将介绍并进一步讨论事件之间的关系及其运算、概率的性质及计算方法等，这些都是我们学习概率论与数理统计的基础.
　　随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，带有不确定性.但在多次重复试验中，这些无法准确预料的现象并非杂乱无章的，而是存在着某种规律，我们称这种规律为随机现象的统计规律.概率论与数理统计的理论和方法在物理学、医学、生物学等学科以及农业、工业、国防和国民经济等领域具有极广泛的应用.
　　**节 随机事件与样本空间
　　一、随机现象和必然现象
　　人们在生产活动、社会实践和科学试验中所遇到的自然现象和社会现象大体分为两类:一类是确定性现象，又称为必然现象，是指事先可以准确预知的，在一定条件下必然发生的现象.例如，每天早晨太阳从东方升起;在标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾;竖直向上抛一重物，则该重物一定会竖直落下等.
　　另一类是不确定性现象，又称为随机现象，是指事先不可准确预知的，在一定的条件下可能发生这样的结果，也可能发生那样的结果，具有偶然性的现象.例如，掷一枚硬币，观察下落后的结果，有可能正面向上，也可能反面向上;观察某粒种子发芽的情况，可能发芽，也可能不发芽;某个射手向一目标射击，结果可能命中，也可能不中.
　　二、随机试验和样本空间
　　为了获得随机现象的统计规律，必须在相同的条件下做大量的重复试验，若一个试验满足以下三个特点:
　　(1)在相同的条件下可以重复进行;
　　(2)每次试验的结果不止一个，在试验之前可以确定一切可能出现的结果，一次试验中有且只有其中的一个结果发生;
　　(3)每次试验结果恰好是这些结果中的一个，但在试验之前不能准确地预知哪种结果会出现.
　　称这种试验为随机试验，简称试验，记作E.
　　定义 随机试验的每一个可能发生的结果称为随机试验的一个样本点或基本事件，常用表示.样本点的全体构成的集合称为随机试验的样本空间，用表示，.显然.
　　例1 观察一粒种子的发芽情况，一次观察就是一次试验，试验的结果为
　　例2 掷两枚硬币，观察正反面的情况，用表示正面向上，用表示反面向上，试验的可能结果有
　　例3 观测某地的年降雨量，写出样本空间:“年降雨量”，.
　　例4 从四张扑克牌中随意抽取两张，写出其样本空间
　　例5 某人向一圆形平面靶射击，观察击中点位置的分布情况，假设射击不会脱靶，并且在此平面上建立了坐标系，则样本空间为
　　注(1)样本空间中的基本事件不但要涵盖随机试验的全部结果，而且基本事件不能重复.
　　(2)样本空间中的元素可以是数，也可以不是数.
　　(3)从样本空间含有样本点的个数来看，样本空间可以分为有限样本空间和无限样本空间两类.
　　在观察随机现象时，不仅要考虑基本事件，而且还要考虑复杂事件.
　　随机试验的样本空间的任一子集称为一个随机事件，简称事件，常用大写的字母，，，表示.在试验中，如果事件中所包含的某一个基本事件出现了，则称发生.反之则称不发生.样本空间是自身的子集，从而是随机事件，它包含所有样本点，在每次试验中必然发生，称为必然事件.是的子集，从而是随机事件，但它不包含任何样本点，故在每次试验中都不发生，称为不可能事件.
　　三、事件之间的关系与运算
　　为了将复杂事件用简单事件来表示，以便研究复杂事件发生的可能性，需要建立事件之间的关系和事件之间的运算.
　　设为随机试验的样本空间，是的子集.
　　1.事件的包含
　　若事件中任一样本点都属于，称事件包含于事件(或称事件包含事件).记作或.若事件发生，则事件必然发生.如图1-1所示.
　　2.相等事件
　　若事件，同时，则称与为相等事件，记作.
　　3.和事件
　　由事件和所有样本点组成的事件称为事件和的和事件，记为.若发生，则两个事件至少有一个发生.如图1-2所示.
　　图1-1 事件的包含关系
　　图1-2 和事件
　　类似地，个事件的和事件记为若发生，则个事件中至少有一个发生.
　　4.积事件
　　由既属于又属于的样本点组成的集合，称为事件和的积事件，记作或，若事件发生，则两个事件同时发生.如图1-3所示.
　　类似地，个事件的积事件记为，若事件发生，则个事件同时发生.
　　5.互不相容事件
　　若事件和满足则称为互不相容事件或互斥事件，在一次试验中，两个事件不能同时发生.如图1-4所示.
　　图1-3 积事件
　　图1-4 互不相容事件
　　6.差事件
　　由属于但不属于的所有样本点组成的集合，称为事件和的差事件，记作.表示事件发生而事件不发生.如图1-5所示.
　　7.对立事件
　　由样本空间中不属于的样本点组成集合，称事件与互为对立事件或互为逆事件，记为.
　　显然有，且.
　　在一次试验中与不能同时发生，但在每次试验中必有一个发生，且仅有一个发生.如图1-6所示.
　　图1-5 差事件
　　图1-6 对立事件
　　事件的运算满足以下规律.
　　(1)交换律:
　　(2)结合律:
　　(3)分配律:
　　(4)对偶律(德 摩根律):
　　例6设是中的三个事件，用事件的运算式子表示下列各事件:
　　(1)三个事件恰好有两个发生.
　　(2)三个事件至少发生一个.
　　(3)三个事件中至少发生两个.
　　(4)与发生，不发生:或.
　　(5)三个事件都不发生:或.
　　(6)三个事件至多发生一个.
　　习题1-1
　　1.写出下列随机试验的样本空间:
　　(1)抛三枚硬币，观察出现的正反面情况;
　　(2)抛三颗骰子，观察出现的点数;
　　(3)连续抛一枚硬币，直到出现正面为止;
　　(4)在某十字路口，观察一小时内通过的机动车辆数;
　　(5)观察某城市一天内的用电量.
　　2.某工人生产了个零件，以事件表示他生产的第个零件是合格品，用表示下列事件:
　　(1)没有一个零件是不合格品;
　　(2)至少有一个零件是不合格品.
　　3.考察某养鸡场的10只小鸡在一年后能有几只产蛋.设=“只有5只产蛋”，=“至少有5只产蛋”，=“最多有4只产蛋”，试问
　　(1)与是否为互不相容事件
　　(2)与是否为对立事件
　　第二节 概率的定义
　　对于随机事件，在一次试验中是否发生，有很大的不确定性，不同的事件在同样的试验中发生的可能性有大有小，如一只口袋中有5个球，其中2个白球、3个黑球，随机取一球，取到各种颜色球的可能性大小是不同的.为了对随机试验有更深入的了解，人们希望对任一事件发生的可能性大小都能做出客观描述，并用一个数值对它进行度量.我们把度量随机事件发生的可能性大小的数值称为事件发生的概率.为了研究随机事件发生概率的大小与性质，首先引入频率的概念.
　　一、概率的统计定义
　　定义1若随机事件在次重复试验中发生了次，则称为在这次试验中发生的频数，为事件在这次试验中发生的频率.
　　频率的性质:
　　(1)非负性;
　　(2)规范性;
　　(3)有限可加性:对于个两两互不相容事件，有.
　　在次试验中，事件的频率一般来说是不同的，具有随机性.但当不断增大时，能呈现某种规律性.历史上，著名数学家蒲丰、K.皮尔逊和E.皮尔逊曾进行过大量的抛掷硬币试验.表示硬币正面向上，结果如表1-1所示.
　　表1-1 投币试验
　　从上述数据可以看出，随着的增大，频率呈现一定稳定性，即当逐渐增大时，总是在附近波动，而逐渐稳定于.
　　定义2 在相同的条件下，重复进行次试验，如果随着试验次数的增大，事件出现的频率稳定地在某一确定的常数附近摆动，则称常数为事件发生的概率.记为，这个定义称为概率的统计定义.概率与频率不同，概率是固定不变的，而频率是变化的.
　　概率的统计定义有以下性质:
　　(1)非负性;
　　(2)规范性;
　　(3)有限可加性:对于个两两互不相容的事件，有.
　　二、古典概率模型
　　1.古典概型
　　人们在生活中最早研究的是一类简单的随机试验，它们满足以下条件:
　　(1)有限性:样本空间中含有有限个样本点;
　　(2)等可能性:每次试验中，每个样本点出现的可能性大小相同.
　　这类随机试验是概率论发展过程中最早的研究对象，通常称这类随机试验为古典概率模型，简称古典概型.
　　2.古典概型的定义
　　定义3 设为古典概型的样本空间，其中，事件包含个样本点，则称
　　(1.2.1)
　　为事件发生的概率.