线性代数习题课教程（第2版）/经济数学基础丛书

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第1章 线性方程组的消元法与矩阵的初等变换
　　1.1 知识点小结
　　1.1.1 n元线性方程组及消元法
　　1.n元线性方程组
　　n个未知量，满足m个方程的n元线性方程组的一般形式为，
　　式中:是第i个方程第j个未知量xj的系数;是第i个方程的常数项.当常数项均为零时，该方程组称为齐次线性方程组;当常数项不全为零时，该方程组称为非齐次线性方程组.
　　2.消元法
　　通过消元过程对线性方程组作同解变形，将其化为阶梯形方程组.再根据阶梯形方程组判断其解的情况.若有解，则通过回代过程对阶梯形方程组进行同解变形，将其化为最简方程组，从而得出原方程组的解.
　　1.1.2 矩阵及其初等变换
　　1.矩阵
　　由排成的m行n列的数表称为列矩阵，简称mn矩阵，为表示它是一个整体，通常加一个圆括号或方括号，并用大写黑斜体字母表示，记作，
　　有时也简写为.
　　n元线性方程组的增广矩阵n元线性方程组的未知量的系数和常数项所确定的矩阵称为n元线性方程组的增广矩阵.n元线性方程组由它的增广矩阵唯一确定.
　　2.初等变换
　　下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
　　(1)交换两行(交换第ij行，记作);
　　(2)以一个非零的数k乘以某一行中的所有元素[第i行乘k(k≠0)，记作r×k];
　　(3)把矩阵的某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第j乘以k加行i到第i行上去，记作).
　　把以上的“行”变成“列”即得矩阵的初等列变换的定义，所用记号是把“r”换成“c”.
　　矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.n元线性方程组的消元法其实就是对它的增广矩阵进行初等行变换.注:解n元线性方程组时一般不能对其增广矩阵进行初等列变换.如需要交换未知量的顺序，能进行的唯一的初等列变换就是交换前n列中的两列，即.
　　3.行阶梯形矩阵
　　行阶梯形矩阵的特点是:可画出一条阶梯线，线的下方全为零;每个台阶只有一行，台阶数即非零行的行数.阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元，这个元素是非零行的第一个非零元，叫非零首元.
　　阶梯形方程组的增广矩阵就是行阶梯形矩阵.
　　4.行最简形矩阵
　　行最简形矩阵的特点是:在行阶梯形矩阵中非零首元取值为1;非零首元所在的列的其他元素都为0.
　　最简方程组的增广矩阵就是行最简形矩阵.
　　5.初等变换求解线性方程组的方法
　　通过对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵.再根据行阶梯形矩阵判断其解的情况.若有解，则对行阶梯形矩阵继续进行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，从而得出原方程组的解.
　　1.2 考研数学大纲要求
　　1.2.1 考试内容
　　矩阵的概念;矩阵的初等变换.
　　1.2.2 考试要求
　　(1)理解矩阵的概念，了解矩阵的初等变换.
　　(2)掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.
　　1.3 典型例题
　　例1 写出线性方程组的系数矩阵和增广矩阵.
　　解 系数矩阵为，增广矩阵为.
　　注:如果第i个方程缺少第j个未知数，那么在系数矩阵和增广矩阵里元素aij=0.
　　例2 判断下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵，哪些是行最简形矩阵.
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4)
　　(5)
　　(6)
　　(7)
　　(8)
　　解 行阶梯形矩阵有(1)(4)(6)(7)(8)，行最简形矩阵有(4)(7)(8).
　　例3 如果例2的8个矩阵是线性方程组的增广矩阵，讨论这些方程组是否有解，若有解，判断解的个数.
　　解有解的线性方程组有(1)(6)(7)(8)，有唯一解的线性方程组有(6)，有无穷多解的线性方程组有(1)(7)(8).
　　例4用矩阵的初等变换求解下列线性方程组:
　　(1) (2)
　　解 (1)线性方程组的增广矩阵为
　　对增广矩阵进行初等行变换有
　　行最简形矩阵对应的方程组为
　　取x3=c(c为任意常数)，故得原方程组的解为
　　其中c为任意常数.
　　(2)线性方程组的增广矩阵为
　　对增广矩阵进行初等行变换有
　　故原方程组的唯一解为
　　第2章 行列式
　　2.1 知识点小结
　　2.1.1 行列式的概念
　　1.二阶、三阶行列式
　　(1)二阶、三阶行列式是由解一类特殊的二元、三元线性方程组引入的.
　　(2)二阶、三阶行列式可由对角线法则计算.
　　2.n阶行列式
　　1)排列与逆序
　　排列 由正整数组成的不重复的有确定次序的数列，称为一个n级排列，简称排列，记作.全部n级排列共有n!个.
　　逆序 在一个n级排列，则称数it与is构成一个逆序，若个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为.
　　排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排列.
　　2)n阶行列式的定义
　　n阶行列式 n2个元素，组成称为n阶行列式，简记为D=det(aij)或.称aij为n阶行列式的元素，规定n阶行列式