数学弹性力学研究的若干进展

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1. 关于胡海昌解的完备性
　　王敏中， 应用数学和力学， 1981， 2(2): 243-250
　　摘要 本文证明了对于 z 向凸的区域及另一条件下，横观各向同性的胡海昌解是完备的；反之，对 z 向不凸的区域，横观各向同性的胡海昌解是不完备的.
　　1. 引言
　　以位移表示的弹性力学方程为
　　(1.1)
　　其中 u=(u， v， w) 为位移向量，ν为 Poisson 比，
　　M. J. Boussinesq 和 B. G. Gal ekin 指出下述形式的位移是 (1.1) 式的解:
　　(1.2)
　　其中φ为双调和向量.
　　P. F. Palkoviq 和 H. Neuber 指出下述形式的位移也是 (1.1) 式的解:
　　(1.3)
　　其中 P0、P = (P1; P2; P3) 都是调和的，r = (x; y; z).
　　R. Mindlin[1] 利用向量的 Helmholz 分解，证明了 (1.1) 式的任意解都可表示成(1.2) 或 (1.3) 的形式，即解 (1.2) 和 (1.3) 是完备的，或者说它们是 (1.1) 式的通解.
　　对于横观各向同性体的弹性力学空间问题，代替 (1.1) 式的方程组是
　　(1.4)
　　胡海昌 [2] 得到方程 (1.4) 的解如下：
　　(1.5)
　　其中 F、φ适合下列两方程式：
　　(1.6)
　　式中
　　(1.7)
　　不难算出，对于各向同性的弹性体有
　　(1.8)
　　这样，解 (1.5) 和 (1.6) 为
　　(1.9)
　　其中 △4F = 0; △2φ = 0.
　　Muki[3] 在解弹性半空间问题时，也曾得到形式 (1.7) 的解.
　　本文的目的在于研究解 (1.7) 的完备性，主要结果如下.
　　定理 1 假设弹性区域 G 满足下述两个条件:
　　(1) G 是 z 向凸的，即平行于 z 轴的线段，若其两端属于 G，则全属于 G.
　　(2) 平面
　　包含在 G 中，这里.
　　则 G 上的任何弹性位移均可表成 (1.7) 的形式.
　　定理 2 假如区域 G 不是 z 向凸的，则解 (1.7) 不完备.
　　2. 定理 1 的证明
　　由于Papkoviq-Neuber 解 (1.3) 的完备性已证明 [4]，因此只要证明，存在双调和函数 F 和调和函数 ' 使下式成立:
　　(2.1)
　　这里调和函数 Pi(i = 0，1，2，3) 认为是已知的.
　　我们先假定 (2.1) 式成立，以 dx、dy、dz 分别乘 (2.1) 式的三个式子，相加得
　　其中
　　(2.3)
　　由 (2.2) 式得
　　(2.4)
　　对 (2.2) 式取 r2，利用 (2.4) 式得
　　由上式得
　　(2.5)
　　由 (2.4) 式和 (2.5) 式得
　　(2.7)
　　其中
　　按对数位势有
　　(2.8)
　　不难看出， (2.7) 式的右端仍为调和函数，同理，积分 (2.7) 式可使 A 为调和函数.
　　有了 A，利用 (2.3) 式定义 F:
　　(2.9)
　　其中
　　不难看出
　　由此
　　其中
　　(2.12)
　　(2.12) 式中的**个积分是在 Gxy 中的线积分，由于 (2.8) 式，它与路径无关.另外，从 (2.7) 式和 (2.12) 式不难验证，(2.11) 式中的线积分与路径无关，且所定义的函数是调和的.
　　这样，容易验证 (2.9) 式所定义的双调和函数 F 和 (2.11) 式所定义的调和函数φ，它们满足 (2.1) 式. 定理证毕.
　　3. 定理 2 的证明
　　引理 1 设 T1 和 T2 是有公共部分的区域，如果 Ui (x; y) 是 Ti (i = 1; 2) 上的两个调和函数，且在公共部分相等，则
　　是 T = T1 ∪ T2 上的调和函数.
　　证明见文献 [5].
　　引理 2 设 F (x; y; z) 在连通区域 G 上调和，且
　　则
　　(3.2)
　　其中
　　证明 记
　　由 (3.1) 式有
　　其中; 故 F (x; y; z) 是 T (z) 上的调和函数. 这时将 z 仅看作一个参数. 为了证明 (3.2) 式，只需证明，对任意的，有
　　(3.3)
　　为此，设点 D＇(x; y; z)，D＇＇ (x; y; z) ∈ G，由 G 的连通性，故存在 G 中的闭曲线 L，连接点 D＇和 D＇＇. 过 L 上每点作一小球 (全在 G 中)，按 Heine-Borel 定理，可选出有限个球覆盖闭曲线 L，设这些球的球心为
　　其中.
　　过球心在 D1 和 D2 的两个球的交线，作母线平行于 z 轴的圆柱，截平面 z = z1和 z = z2 得圆 O1，O2(见图 1)，记
　　显然