线性代数(第2版21世纪高等院校教材)/大学工科数学教材系列

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第1章 行列式
　　行列式是线性代数中的一个基本概念，其理论起源于解线性方程组，它在自然科学的许多领域里都有广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质和计算方法以及用行列式解线性方程组的克拉默(Cramer)法则.
　　1.1 二、三阶行列式
　　考虑二元一次方程组
　　(1.1）
　　的求解.当时，由消元法得方程组的唯一解
　　(1.2)
　　为了便于记忆，引入记号，称之为二阶行列式，它表示数，即
　　(1.3)
　　如果把的连线称为二阶行列式的主对角线，把的连线称为次对角线，则二阶行列式的值就等于主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积.这种算法称为二阶行列式的对角线法则.按此法则，二元一次方程组(1.1)的解(1.2)可用二阶行列式表示成
　　这样用行列式来表示解，形状简单，容易记忆，称为二元一次方程组的行列式解法.类似地，对一般的三元一次方程组
　　(1.4)
　　利用加减消元法可以得到
　　当的系数
　　时可解得
　　同样可求得
　　与二元一次方程组类似，为了便于记忆，引入记号
　　(1.5)
　　图1.1 三阶行列式的对角线法则
　　上式左端的记号称为三阶行列式，它代表右端六项的代数和，其中为三阶行列式的第i行第j列上的元素，且称i为行指标d为列指标.
　　对于式(1.5)的右端项，可用图1.1的方法记忆.图中实线上三个元素的乘积组成的三项取正号，虚线上三个元素的乘积组成的三项取负号.这种方法称为三阶行列式的对角线法则.
　　引入三阶行列式后，三元一次方程组(1.4)当D关0时有唯一解
　　称D为方程组(1.4)的系数行列式，而D(1)，D(2)，D(3)是将D中第1，2，3列元素分别换成常数项h，b2，h得到的三阶行列式.这就是三元一次方程组的行列式解法.
　　例1.1 用行列式解法求解方程组
　　解 系数行列式
　　由于，方程组有唯一解.又有
　　所以方程组的解为
　　从以上讨论自然会想到，对于n个未知数n个一次方程的方程组，它的解是否也能用n阶行列式来表示？若能，如何来定义n阶行列式呢？显然，当n较大时用上述类似的消元法是无法推导的.解决的思路是:先研究排列及其性质，再观察二、三阶行列式的表达式，寻找新的规律，然后按这些规律来定义n阶行列式.
　　1.2 排列及其逆序数
　　为了定义高阶行列式，需要介绍排列的有关概念.
　　定义1.1 把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的一个全排列，简称排列.
　　n个不同元素构成的所有全排列的总数为.
　　这里主要讨论n个不同的自然数的排列，且把这n个数从小到大的排列称为标准排列或自然排列.显而易见，对于n个不同的自然数，除标准排列外，其他的排列都或多或少地破坏了从小到大这一排列次序.为了确切地说明这一问题，给出如下定义.
　　定义1.2 在n个不同的自然数组成的排列中，如果某两个数不是自然顺序，即前面的数大于后面的数，则称这两个数构成一个逆序.该排列中逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记作.
　　求排列的逆序数，可从第二个元素开始，依次观察与其前面的数构成的逆序个数，不妨设为(即前面有个数比大），则排列的逆序数为
　　例1.2 求下列排列的逆序数
　　解 (1)易看出
　　所以逆序数
　　(2)显然
　　所以逆序数
　　定义1.3 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.
　　据此定义，例1.2中的排列(1)为偶排列，而排列(2)为奇排列.
　　定义1.4 在一个排列中，将某两个数的位置对调，而其余数不动，即可得一新的排列，这一过程称为对换.
　　比较例1.2中的两个排列，可见排列1372456是由排列6372451经过6与1的对换得到的.从该例还可发现，排列经过一次对换后奇偶性发生了变化.一般有下面的结论.
　　定理1.1 排列经一次对换，其奇偶性改变.
　　证 (1)相邻对换情形.设一排列为
　　其逆序数为，将a与b位置对调，即经一次相邻对换得新排列
　　若记该排列的逆序数为^，于是当a>b时；而当a时，故经一次相邻对换后排列的奇偶性发生改变.
　　(2)—般情形.设排列为
　　(1.6)
　　将a与6对调得新排列
　　(1.7)
　　排列(1.7)可看作是先由排列(1.6)把a依次与对调，即作m次相邻对换得排列
　　(1.8)
　　后，再将排列(1.8)中6依次与作m+1次相邻对换而得?这样，由排列(1.6)经次相邻对换可得排列(1.7)，于是由(1)知排列(1.7)与排列(1.6)的奇偶性不同.
　　推论把一个奇排列调成标准排列须作奇数次对换，把一个偶排列调成标准排列须作偶数次对换.
　　1.3 n阶行列式定义
　　为了给出n阶行列式定义，再仔细研究一下三阶行列式的表达式.由式(1.5)容易看出：
　　(1)式(1.5)右边的每一项都是不同行不同列的三个元素的乘积，并取适当的正负号.若不考虑各项的正负号，一般项可写成.这里第一个下标(即行指标)的排列为标准排列，表示这三个数是依次取自第1，2，3行的元素；第二个下标(即列指标)的排列是1，2，3三个数的某一排列，也反映出是取自不同列的三个元素.
　　(2)当取遍由1，2，3构成的所有排列时，便得式(1.5)右端的所有项(不计正负号），即共有3!=6项.
　　(3)经验算可知，当为偶排列时，前取正号，当为奇排列时，取负号，因此即的符号可由排列的逆序数确定.于是式(1.5)右端任意一项可表示为
　　综上分析，三阶行列式可表示成
　　其中表示对1，2，3三个数的所有全排列九求和.
　　易验证二阶行列式(1.3)也可表示成
　　根据以上讨论，可将行列式概念推广到一般情形.
　　定义1.5 设有n2个数，记号称为n阶行列式，它表示数，即
　　(1.9)
　　定义表明:为了计算n阶行列式，首先作所有可能位于不同行不同列的元素的乘积，并把每项乘积的n个元素按行指标的自然顺序排列，然后由列指标排列的奇偶性确定该项的符号，最后做代数和即得行列式的值.
　　当n=2，3时，由此定义得到的二、三阶行列式的值与用对角线法则求得的结果一致.当n=l时，一阶行列式.
　　常用D或表示阶行列式(1.9).在不混淆的情况下，也可把n阶行列式简记作或. 可作为高等院校工科和经济学科各专业的教材，科技工作者