万千教育.智力发展与数学学习（第二版）

作者简介

　　林崇德　北京师范大学资深教授，中国心理学会前理事长，教育部人文社会科学委员会委员兼教育学?心理学学部召集人，教育部普通高等学校学生心理健康教育专家指导委员会主任。 　　林崇德教授在过去的40余年中，围绕儿童青少年认知能力发展，开展了大量有关智力促进的研究。这些研究有力地推动了我国基础教育改革，提高了教育质量，也促成了思维理论领域的重大突破。“思维的三棱结构”就是其理论中的一种，相关 论文在国际刊物上发表。 　　林崇德教授先后主持了近20项国家社会科学和国家自然科学基金等重大或重点项目，发表的文章被SCI和SSCI收录30余篇，被CSCI和CSSCI收录近400篇；先后出版16部专著，主编630余万字的《心理学大辞典》，组织编写12本应用心理学教材， 主持翻译800余万字的《儿童心理学手册》。 　　林崇德教授因突出的贡献，先后获得“全国先进工作者”“全国师德标兵”“全国师德模范”“全国优秀教师”“国家杰出科技人才”等称号和26项政府学术奖励。

内容简介

?四、数学教学应从思维的整体性出发 ?? ??从整体出发开展数学教学，这是培养学生思维完整结构的需要，也是提高数学教学质量的需要。 ??如何在数学教学中注意整体性呢？ ?? ??（一）认真钻研教材，掌握整个教材的系统性并研究其科学性 ??数学是一门具有整体性、逻辑性、严密性的基础学科。中小学数学教师，不管教哪个年级，都应该分别通读数学教材，了解教材的编写意图，明确教材的目的和基本要求，深入研究教材中的基础知识前后、左右、纵横的联系，以及它们在每节课、每个单元、每本书乃至今后学生进一步学习时的地位和作用，使自己对整册教材有比较全面的认识，做到心中有数。特别是遇到教材内容繁杂、头绪纷乱时，一定?详细、认真地整理和分析教材，要化繁为简，理出思路。 ??在此基础上，还要精读教材，进一步对每一章、每一节的具体内容深入钻研，对教材中的概念、定义、定理、公式和法则逐字逐句推敲，掌握其精神实质，并使其系统化、条理化。例如，有经验的教师在准备关于“方程变形的四个性质”这一节的教学内容时，对其中提到的“都”和“同”这两个关键词很注意。学生往往把同解和结果搞混了，其原因是对这里的“都”和“同”没有很好地理解。如果原方程两边都加上“同”一个数（或者同一个整式）或者两边“都”乘“同”一个数，则新方程和原方程是同解；如果方程两边“都”乘“同”一个整式或“都”用“同”一次数乘方，则新方程是原方程的结果。这里的“都”和“同”是同一个词，但所包含的内容是不同的。这样对方程变形的四个基本性质，就理解得更深刻了。 ??备课时，对教材中的所有例题、习题都要认真演算或论证，研究各种习题的多种解法，归纳同类型习题的解题规律，钻研教材中配置这些例题、习题的目的是什么。把每个单元的教学内容和例题、习题搞清楚，可为确定教学的重点、难点奠定基础。 ?? ??（二）教给学生系统、科学的数学知识 ??教师掌握整个教材的系统性，研究它的科学性，目的是把系统、科学的知识教给学生，使他们的数学知识系统化、条理化。 ??例如，有一位数学老教师在高中新班准备讲授代数时，给学生绘制了一张代数系统结构图（见图46）。 ??这位教师从一开始就让学生对代数有一个整体的理解，在以后的教学中，他始终引导学生将知识系统化、条理化，结果全班学生的数学成绩提高很快，而且条理清楚、逻辑性较强。 ??为了更好地传授给学生系统的数学知识，同时促进他们思维整体结构的发展，中学数学的混编教材，可改为代数、几何和三角分编。分编教材，代数、几何和三角作为三门课开设，且几何与代数一开始就同时进行教学，便于学生比较，建立“形”与“数”概念的内在联系，促进学生数学知识的整体性和运算思维的完整性。三科分编，使知识系统化，适合中学生思维结构发展的年龄特征，便于他们系统地接受代数、几何与三角知识。这样的教材要比“跳跃式”的数学教材的系统性与科学性强得多。数学分科编写教材是否不利于渗透现代数学思想呢？不是！现代数学思想可以通过各科渗透，分编教材绝不影响渗透现代数学思想。 ?? ??（三）切实加强数学基本概念的教学 ??数学教师要针对学生现有的知识水平、经验结构和思维结构等特点，切实加强数学基本概念的教学。 ??目前，各中小学都是根据课程标准的要求进行数学教学，不是完全根据学生实际文化程度和思维心理结构水平进行教学。为了追求考试分数和升学率，教师加班加点赶进度，不重视基本概念教学，而是快速讲完知识后，把重点放在做题目上，放在让学生进行大量机械模仿训练上，导致许多学生对数学知识不求甚解。强调课程标准，强调统考，可是未能发现学生认识事物的结构，未能了解知识和学科本身的结构，没有考虑学生之间的差异性，一味强调统一、“看齐”，势必脱离现实、脱离实际。只有学生掌握好数学基础概念，理解了基本概念之间的相互关系，才能在此基础上扩大和加深知识，形成学习上大量普通的“迁移”。因此，教师应当根据学生的实际情况，切实加强数学基本概念教学，这对数学教学是很重要的。当然也要注意循序渐进，着重抓重点、难点和疑点，提高数学基本概念教学的效益。 ?? ??（四）通过数学复习使学生形成完整的数学知识体系 ??复习，对数学教学有着非常重要的意义，应把它摆在和新授、练习同等重要的位置，绝不能轻视。 ??不论是单元复习还是总复习，都要强调通过复习使所学知识系统化，并与旧知识建立内在联系，形成一个完整的知识体系。如果学生切实掌握了这种内在联系与知识体系，充实了自己完整思维结构的知识内容，就能达到对知识的举一反三、灵活运用，实现巩固和增进知识的目的。学生在知识系统逐渐内化的过程中，从量变到质变，就能使思维整体结构获得发展。 ??复习要注重全面、系统地整理基础知识。数学家陈景润十分强调基础知识，他认为，最简单的东西虽然容易接受，但不容易真正理解。简简单单的东西，往往涉及的概念是最基本的，只有把简单的东西熟练地掌握好，才容易接受比较复杂和高深的东西。如果把基本知识全面地系统化，就形成了一个完整的知识结构。 ??复习中，教师要重视引导学生通读教材，使学生明确教材的目的与学习要求，要求他们再次深入研究教材中基础知识的发展线索、相互联系，以及它们与其他已经学过的相关知识的联系，明确这些知识的地位与作用，通过知识的进一步归纳、概括、分类、系统化，最终形成完整的知识结构。 ??复习中，让学生综合练习是不可缺少的重要步骤。通过练习，学生将学过的概念、公式、定理、法则等加以比较，找出异同，同时可以进行综合运算，使知识条理化、系统化，并为发展思维的完整结构奠定坚实的基础。 ?? ??（五）提高数学理解力，促进学生思维整体结构的发展 ??理解，就是认识或揭露事物的本质。数学理解力同样如此，它包括：①理解数学教材中阐述的数量关系之间的因果性；②理解数学教材中所阐明?某些关系的共性与个性；③理解数学教材中所注明的某些问题，诸如数学定理、公式及解答各类习题的逻辑依据；④理解数学教材中数量之间、图形之间的整体关系等。这些理解力建立在思维结构的基础上。同时，任何一种数学概念、数量关系与形体关系，都可按不同标准归类与被理解。因此，学生在学习数学的同时，会形成多种多样的数学运算思维结构。思维结构是理解的基础，理解的深入又能促进思维结构的发展。 ??英国心理学家贝尔（MABell）以中小学生感到陌生的数学的一个分支——拓扑学的网络图形做试题，测定中小学生的理解力，三组被试的成绩是有差异的：原先了解规则来由的组，75%的被试能适应新任务，理解网络规则；只是给规则而不说明规则来龙去脉的组，有30%的被试完成了任务；没有任何先前经验的组，只有17%的被试能完成任务。可见，理解数学的新问题必须依赖过去的经验和智力水平。学生有意识地掌握数学知识的前提是能够理解他们所要学习的东西，而理解力是在学习过程中不断发展起来的。怎样才能正确而顺利地理解数学知识，从而迅速地发展理解能力呢？ ??教师必须从学生已有的知识经验结构与思维结构水平出发，已经理解的知识是理解新知识的基础。为此，数学教师只有了解学生，才能有的放矢。比如，学期开始新接一个班，教师就要了解这个班的学生各方面的情况，学生对于科学知识掌握的情况如何是一个重要方面。出一份比较全面的试卷来个摸底测验，是很有必要的。通过分析学生的答卷，可对学生的基础知识、基本能力、智力品质及思维结构等情况有一个大概的了解。这样，备课、讲授与辅导才不会脱离学生原有的知识经验结构与思维结构，一切措施才能有的放矢。 ??数学教学必须循序渐进。这是由数学学科的特点所决定的。前面的不懂，后面的就难懂。快和慢也是辩证的，前面不懂的就要加强复习，“磨刀不误砍柴工”。如果前面的不懂就学后面的，后面的就更不懂，必然形成恶性循环，问题成堆，就不好办了。加大难度和抽象度的教学是必要的，但我们要反对不顾基础的高难度、高速度和高理性。加大难度、速度和抽象度是有条件的，这个条件是众所周知的，即遵循从已知到未知、从不确切地知到比较明确地知、从具体到抽象、从易到难、从简单到复杂、从近到远等原则，这些都是引导学生理解数学教材必须遵守的客观规律。 ??语言是理解的工具，教师的语言要简洁、明白，举例要通俗易懂，这是教师的教学经验之谈。例如，有一位老教师讲复数时是这样概括的。 ??婴儿吸母乳时，无人与之争，就不需要数的概念。一两岁时，吃包子就能懂得哥哥吃了2个，他才吃了1个，说明他已有自然数的概念和需要；再大一点时，给他一个苹果，让他和哥哥、姐姐分，他就能认识到分数的概念，每人吃13。这些就概括成正数。等到会花钱记账时，亏了要欠债，这时就产生负数的概念，从而概括成为有理数。计算单位正方形的对角线长，需要解方程x2=2，这就要引进无理数概念。解形如x2+2 =0这样的方程，就必须把数系扩张，引进虚数概念就成为必然。 ??这位老教师的语言是多么简洁、生动。教师的语言调动起学生原有的思维结构与已有经验，不仅帮助学生理解了数学知识，而且带动了学生语言的发展。 ??此外，教师的数学基本功，精讲善练的讲练结合方法，也能发展学生的思维结构，使学生通过不断练习而纳入思维结构与经验结构的新知识得到强化与巩固，提高理解水平且发展理解能力。 ?四、数学教学应从思维的整体性出发 ?? ??从整体出发开展数学教学，这是培养学生思维完整结构的需要，也是提高数学教学质量的需要。 ??如何在数学教学中注意整体性呢？ ?? ??（一）认真钻研教材，掌握整个教材的系统性并研究其科学性 ??数学是一门具有整体性、逻辑性、严密性的基础学科。中小学数学教师，不管教哪个年级，都应该分别通读数学教材，了解教材的编写意图，明确教材的目的和基本要求，深入研究教材中的基础知识前后、左右、纵横的联系，以及它们在每节课、每个单元、每本书乃至今后学生进一步学习时的地位和作用，使自己对整册教材有比较全面的认识，做到心中有数。特别是遇到教材内容繁杂、头绪纷乱时，一定?详细、认真地整理和分析教材，要化繁为简，理出思路。 ??在此基础上，还要精读教材，进一步对每一章、每一节的具体内容深入钻研，对教材中的概念、定义、定理、公式和法则逐字逐句推敲，掌握其精神实质，并使其系统化、条理化。例如，有经验的教师在准备关于“方程变形的四个性质”这一节的教学内容时，对其中提到的“都”和“同”这两个关键词很注意。学生往往把同解和结果搞混了，其原因是对这里的“都”和“同”没有很好地理解。如果原方程两边都加上“同”一个数（或者同一个整式）或者两边“都”乘“同”一个数，则新方程和原方程是同解；如果方程两边“都”乘“同”一个整式或“都”用“同”一次数乘方，则新方程是原方程的结果。这里的“都”和“同”是同一个词，但所包含的内容是不同的。这样对方程变形的四个基本性质，就理解得更深刻了。 ??备课时，对教材中的所有例题、习题都要认真演算或论证，研究各种习题的多种解法，归纳同类型习题的解题规律，钻研教材中配置这些例题、习题的目的是什么。把每个单元的教学内容和例题、习题搞清楚，可为确定教学的重点、难点奠定基础。 ?? ??（二）教给学生系统、科学的数学知识 ??教师掌握整个教材的系统性，研究它的科学性，目的是把系统、科学的知识教给学生，使他们的数学知识系统化、条理化。 ??例如，有一位数学老教师在高中新班准备讲授代数时，给学生绘制了一张代数系统结构图（见图46）。 ??这位教师从一开始就让学生对代数有一个整体的理解，在以后的教学中，他始终引导学生将知识系统化、条理化，结果全班学生的数学成绩提高很快，而且条理清楚、逻辑性较强。 ??为了更好地传授给学生系统的数学知识，同时促进他们思维整体结构的发展，中学数学的混编教材，可改为代数、几何和三角分编。分编教材，代数、几何和三角作为三门课开设，且几何与代数一开始就同时进行教学，便于学生比较，建立“形”与“数”概念的内在联系，促进学生数学知识的整体性和运算思维的完整性。三科分编，使知识系统化，适合中学生思维结构发展的年龄特征，便于他们系统地接受代数、几何与三角知识。这样的教材要比“跳跃式”的数学教材的系统性与科学性强得多。数学分科编写教材是否不利于渗透现代数学思想呢？不是！现代数学思想可以通过各科渗透，分编教材绝不影响渗透现代数学思想。 ?? ??（三）切实加强数学基本概念的教学 ??数学教师要针对学生现有的知识水平、经验结构和思维结构等特点，切实加强数学基本概念的教学。 ??目前，各中小学都是根据课程标准的要求进行数学教学，不是完全根据学生实际文化程度和思维心理结构水平进行教学。为了追求考试分数和升学率，教师加班加点赶进度，不重视基本概念教学，而是快速讲完知识后，把重点放在做题目上，放在让学生进行大量机械模仿训练上，导致许多学生对数学知识不求甚解。强调课程标准，强调统考，可是未能发现学生认识事物的结构，未能了解知识和学科本身的结构，没有考虑学生之间的差异性，一味强调统一、“看齐”，势必脱离现实、脱离实际。只有学生掌握好数学基础概念，理解了基本概念之间的相互关系，才能在此基础上扩大和加深知识，形成学习上大量普通的“迁移”。因此，教师应当根据学生的实际情况，切实加强数学基本概念教学，这对数学教学是很重要的。当然也要注意循序渐进，着重抓重点、难点和疑点，提高数学基本概念教学的效益。 ?? ??（四）通过数学复习使学生形成完整的数学知识体系 ??复习，对数学教学有着非常重要的意义，应把它摆在和新授、练习同等重要的位置，绝不能轻视。 ??不论是单元复习还是总复习，都要强调通过复习使所学知识系统化，并与旧知识建立内在联系，形成一个完整的知识体系。如果学生切实掌握了这种内在联系与知识体系，充实了自己完整思维结构的知识内容，就能达到对知识的举一反三、灵活运用，实现巩固和增进知识的目的。学生在知识系统逐渐内化的过程中，从量变到质变，就能使思维整体结构获得发展。 ??复习要