10堂极简概率课

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要搞清楚一门学科的本质，认真研究该学科的开创者 的想法是一条可行的路径。事实上，某些基础性哲学问题 从一开始就是显而易见的。关于概率，我们的第1堂课要介 绍的第一个伟大思想是：概率是可以测度的。这个观点的 形成时间是16—17世纪，过程为何如此漫长，这个问题至 今仍然是一个谜。希腊神话中有命运女神堤喀（Tyche）； 德谟克利特（Democritus）及其追随者假设，构建宇宙的 所有原子都会受到某种物质偶然性的影响；卢克莱修 （Lucretius）在《物性论》（DeRerum Natura）中指出 ，这种偶然性就是原子的偏离；古埃及人和古巴比伦人学 会了用指关节骨或骰子玩概率游戏，到了罗马时期，这种 游戏流行开一来，士兵们通过抽签决定基督斗篷的归属。 后来，古希腊学园派怀疑论者将概率视为人生的指南。不 过，这些时期似乎都没有出现有关概率的定量理论。 想一想，我们是怎么测量东西的？以长度为例，我们 会先找到一个长度标准，然后计数某个东西包含多少个这 样的标准长度。比如，在我们用脚步测量距离时，这个长 度标准就是我们的脚。但是，不同的脚有可能得出不同的 测量结果，因此，1522年，有人提议改进法定路德（杆） 的确定方法。如图1—1所示，当人们从教堂鱼贯而出时， 将排成一列的16个人的脚的总长度设定为法定路德。从图1 —1可以看出，这些人的脚长度不一，但通过一群人来设定 这个长度单位具有明显的平均效应，因此很多人接受了这 个方法。不过，当时似乎还没有人明确提出平均数这个概 念。 我们有必要指出，这个方法存在哲学上的异议。我们 的目的是定义长度，但在用脚长测量距离时，我们已经假 定我们采用的长度标准等长。因此，这是一个循环论证的 过程。 任何有头脑的人都不会因为这个异议而放弃用脚长测 量距离的方法。我们的测量活动就始于此，最终建立并完 善了长度的概念。脚的长度因人而异，路德会长短不一， 标准米尺的长度在足够高的精度条件下也会各不相同。借 助物理学知识，我们可以不断改进长度测量方法。因此， 这确实是一个循环论证的过程，但它并不是一个致命的缺 陷，反而为我们指明了一条趋于完善的道路。 概率的测度同样如此。在测度之前，我们先要找到（ 或者制造）同等可能性的情况，然后计数这些情况发生的 次数。于是，事件A的概率，记作P（A），为 P（A）=事件A发生的次数/所有可能发生的事件的次数 注意，从上式可知： 1、概率永远不会是负值： 2、如果所有可能发生的情况中均包含事件A，则P（A ）=1； 3、如果事件A和事件B不会同时发生，则P（A或B）=P （A）+P（B）。 此外，某个事件不会发生的概率等于1与该事件发生概 率的差： P（非A）=1-P（A）。 这个概念虽然十分简单，但如果运用得巧妙得当，就