牛津通识课：概率

作者简介

[英]约翰·黑格（John Haigh） 英国苏塞克斯大学的数学和统计学讲师，兼任皇家统计学学会的新闻发言人。其研究领域为应用概率论。代表作包括《把握机遇》《差额赌博与固定赔率》《彩票的统计分》等。

内容简介

《概率 | 流行病学》 术语群体免疫（herd immunity）表示一个事实：如果足够多的人免疫了，那么即使传染病进入社群，流行病也不会发生。因此即使那些没有接种疫苗的人也非常不可能感染疾病。为什么是这样的，以及我们如何知道“足够多”意味着多少？ 通常来说，那些感染者将会把疾病传染给其他人，但是那些痊愈了的就会获得对这种传染病的免疫。所以我们把人们分类成易感人群、受感染人群和去除人群，最后一个指的是那些接受疫苗注射、感染后康复、物理隔离或者已经死亡的人。将这四种情况归为同一类看似有一些生硬，但残酷的事实是，仅从流行病传播的角度，这四种情况是完全等价的。 为了考察流行病是如何发展的，设S为易感个体数，I为受感染个体数。这两个数字的乘积给出了受感染个体与易感个体可能接触的总数。城市中拥挤的全体居民要比同样多的农村中分散的全体居民更频繁密切地接触，而一个易感个体在一次接触中被感染的概率依赖于疾病的传染性。总的来说，在任意很小的时间段内，一些易感个体被感染的概率形如β×S×I，其中β同时依赖于疾病的传染性和人们混合的情况。 在这个很短的时间段内，任何一个受感染个体可能会被移入去除人群中。因此受感染人群减少一个成员的概率将会与受感染的人数成正比，所以我们采用γ×I的形式，其中γ依赖于感染被治愈、隔离或者致死的速度。 我们已经分别得到了受感染人数上升和下降的概率。它们（β×S×I和γ×I）之间的平衡将决定流行病是否会发生。这十分类似赌博。如果游戏局势对你不利，每一个赌局都会减少而不是增加你的资金。你的资金遵循着随机游走的规律，不可避免地漂移到0。但是如果游戏局势对你有利，例如坏运气在游戏初期没让你破产，此时的随机游走就会使你从所有输钱的趋势中抽离出来，使你的资金远远超过0。要赢得大额赌金的话，游戏对你有利这个条件是必要的，但不是充分的。 在这个流行病的情境中，这就意味着流行病（等同于大笔收益）只会出现在受感染者数目变化是增加远多于减少时。用符号描述，就是β×S×I远大于γ×I，这也等同于要求易感个体数S超过比例γ/β，这个比例被称为易感个体数的阈值（threshold）。这就是我们一直寻找的：即使疾病传入人群中，流行病也只会发生在易感个体数超过这个阈值的情况下。 威廉·科尔马克（William Kermack ）和安德森·迈肯德里克（Anderson McKendrick）在1927年发表了这一结果。将易感人群总数控制在这个阈值以下可以阻止流行病的发生，两种明显不同的方法能达到这一效果。第一，接种疫苗来减少易感个体数；第二，找到增大阈值的方法。这个阈值是一个比值，分子增加的时候，阈值就会增加——加快治愈的速度，或者更迅速地将人们隔离——或者让分母减小——也许可以降低疾病的传染性，或者确保人们更少地相互接触，这可以通过暂时关闭学校或者推迟有大批人群聚集的运动赛事进行。我们还可以评估这些对策的收益，以便决定采取什么策略。 相同的原理对处理动物中的流行病也是奏效的。阻止牛群中口蹄疫暴发的第一步就是限制牛群的活动，这是通过降低分母来提升阈值。与此同时也会伴随着大量屠宰（在人类中不可行！），这样不仅降低了易感个体，也会提升阈值的分子。 上述分析也揭示了为什么我们更希望两次儿童流行病暴发的间隔时间是相对有规律可循的。在一次流行病将易感个体数量减少到阈值以下之后，没有足够免疫的新生儿会逐渐将易感个体数提升到阈值以上，这就为下一次流行病的暴发创造了条件。两次流行病暴发的间隔越长，易感人数就会越多，暴发就会越严重。 了解概率知识可能不会治愈疾病，但可以缓和疾病的影响。 ◆带领你三小时读懂概率如何帮你做好选择。 ◆牛津通识课系列是一个可读性强且包罗万千的工具书图书馆。 ◆每本讲透一个知识点，看完就把对应话题了解得明明白白。 ◆牛津大学出版社自1995年开始出版的一套系列丛书，堪称镇社之宝。 ◆由牛津大学牵头，邀各领域专家书写的通识读物。 ◆全球销量超1000万册，多本被欧美高校选为通识课教材。 ◆由点及面的网状知识图谱，按需阅读，帮助读者足不出户了解关于世界的种种真相。 ◆牛津通识课系列是横跨四大知识板块（物理/生物/历史/文化）的大型通识读物。