高水平中学生数学能力挑战(几何篇)

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第三章 平面几何 平面几何是初中基本必学课程，其优美简洁，从人类 理性、不可辩驳、简单明了的公理出发，用严密的逻辑演 化出定理，再到推理，还包含着大量的观察、探索、发现 的创造性过程，现代任何一个学科几乎都有它的影子．中 学阶段平面几何的学习主要在初中阶段，进入高中阶段， 几乎不涉及纯粹的平面几何，因此熟悉和掌握一些基本定 理是非常必要的． 第一讲平面几何证明 能力拓展1三个常用定理 梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC，CA，AB或它们的 延长线与一条不经过其顶点的直线(梅氏线)交于X，Y，Z三 点，如图3.1.1所示，则BXXC·CYYA·AZZB=1. 梅涅劳斯定理逆定理：设X,Y,Z分别是△ABC的三边 BC,CA,AB或它们的延长线上的三点，若有 BXXC·CYYA·AZZB=1，则X，Y，Z三点共线. 塞瓦定理：设X，Y，Z分别是△ABC的三边BC，CA，AB 或它们的延长线上的三点，如图3.1.2所示，则AX，BY， CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1. 图3.1.1 图3.1.2 图3.1.3 角元塞瓦定理：设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA ，AB的点，三条线段AD，BE，CF交于点M，如图3.1.3所示 ，则 sin∠BAMsin∠MAC·sin∠ACMsin∠MCB·sin∠CBMsin∠ MBA=1. 托勒密定理：四边形的两组对边乘积之和等于其对角 线乘积的充要条件是该四边形外接于一个圆. (2009年中国科技大学)如图3.1.4所示，已知△ABC的 面积为1，D，E，F分别在BC，CA，AB上，BD=2DC，CE=2EA ，AF=2FB，AD，BE，CF两两相交于P，Q，R，求△PQR的面 积. 图3.1.4 【答案】17 【解析】考虑直线BE截△ADC，由梅涅劳斯定理，得 APPD·DBBC·CEEA=1， 从而得APPD·23·21=1，所以APPD=34， 故S△APB=37S△ABD=37×23S△ABC=27S△ABC. 由对称性知，S△BQC=S△ARC=27S△ABC. 于是，S△PQR=S△ABC－S△APB－S△BQC－ S△ARC=17S△ABC=17. (2011年北京大学)已知O为△ABC内一点，且满足 ∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO. 求证：△ABC的三边的边长构成等比数列. 图3.1.5 【解析】如图3.1.5所示，设 ∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=α，∠ABO=β，∠BCO=γ， 则4α+β+γ=π. 由角元塞瓦定理，可得