微分几何入门与广义相对论(下第2版)/现代物理基础丛书

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第15章 广义相对论的拉氏和哈氏形式
　　15.1 拉氏理论
　　15.1.1 有限自由度系统的拉氏理论
　　先对有限自由度系统（如多粒子系统）的拉氏理论作一复习。N维系统有N个独市的广义坐标，每组广义坐标(q1，q2， ，qN)确定系统的一个位形(configuration)，因此广义坐标又称位形变量(configuration variables)。所有可能位形的集合称为系统的位形空间(configuration space)，是个N维流形。①系统的演化（q i随时间t的变化）对应于位形空间中一条以t为参数的曲线，其参数式为。曲线的切矢代表演化的速度，其坐标分量就是通常所称的广义速度，设；即，则介于和之间的一段反映系统从初始位形到终了位形的演化，从到的每一曲线称为一条路径(path)，由N个排了序的一元函数决定，满足
　　图15-1 系统的演化可用位形空间(图中只画成两维)的曲线（正路）代表，虚曲线代表运动学（而不是动力学）上可能的从Q0到Q1的途径（旁路）
　　所有路径中只有才是演化曲线，才代表由动力学规律决定的演化过程，为陈述方便，把演化曲线77(t)称为正路，其他路径称为旁路（图15-1）。一个最简单的例子是牛顿力学中由一个自由质点构成的系统，其位形空间就是，任给Q0和Q1（满足t0<t1）后，两点之间的直线为线性函数]便是正路。为了得到寻找正路的法则，引入拉氏函数和作用量向概念。系统的拉氏函数(Lagrangian function，又称拉氏量)三是广义坐标和广义速度的函数（共有2N个白变量），即。对每一路径，L又通过宗量成为t的一元函数，其积分S称为该路径的作用量(action)：
　　(15-1-1)
　　正路的与众不同之处由拉氏理论中的哈氏原理(Hamilton principle，亦称变分原理)给出，它要求正路的作用量取极值（亦称稳定值）。对“极值”一词应作解释。决定作用量S的自变因素不是一个（或几个）量而是一条曲线，因此S不是普通函数而是曲线的函数（“自变量”是曲线），是泛函(functional)。对普通函数求极值只涉及微分运算，而对泛函求极值则涉及变分运算。考虑任一（从Q0到Q1的）单参路径族，参数给出正路给出旁路。[应分清两种参数：参数的一个值无决定族中的一条曲线；其中参数的一个值则决定该曲线的一点。]族中曲线的作用量S由于依赖于而成为的函数：
　　(15-1-2)
　　于是S在单参族内的求极值问题便归结为一元函数的求导问题：
　　令和分别称为S，qi和qi在所选单参族内的变分(variation)，①则上式对应于知下变分关系：
　　(15-1-3)
　　其中和是和的简写。为正路，哈氏原理的含义就是所有单参路径族的都为零，下面导出（对所有单参族）的等价条件，由于对五求导与对求导可交换顺序，被积函数的第二项可改写为
　　由分部积分法得
　　因为所有曲线的起、止点都是Q0和Q1，所以有
　　因而上式右边第一项积分为零，代回式(15-1-3)得
　　(15-1-4)
　　把上式右边括号内的量记作Ai，则上式可简记为
　　(15-1-4)
　　于是有如下命题：
　　命题15 -1-1 设是一条路径，则为正路的单参路径族。
　　证明 第一个号其实就是哈氏原理，真正待证的是第二个号。由式(15-1-4')显见第二个号的部分成立，故只须证明部分。用反证法。
　　设使[不妨设]，则t有邻域[作为区间的真子集]使。取单参族使在内为正，在内为零（且从正到零为可微过渡）；在内为零，则以（对任一单参族）矛盾，这就证明了A1=0。同理可证。
　　上述命题表明为正路的充要条件是它的拉氏函数满足
　　(15-1-5)
　　在的函数形式给定后，上式是关于N个待求函数的N个2阶常微分方程，称为欧拉-拉格朗日方程，简称拉氏方程，是系统的演化（运动）方程。在给定初始条件（初始位形）和（初始速度）后有唯一解，对应于中的一条以t为参数的曲线（演化曲线，即正路）。拉格朗日在1788年的著作中就曾写下这组方程，但他不知道它等价于作用量取极值。这一等价性是数十年后由哈密顿发现的，哈氏原理故此得名。
　　拉氏函数L也可以显含时问，即，这时L通过2N +1个宗量成为时间t的函数。以上讨论和结论仍然适用，只须把有关式子中的改为。
　　对牛顿引力理论的一个质点，如果取动能减引力势能作为拉氏函数，则不难验证拉氏方程与牛顿第二定律（其中的力等于势能的梯度的负值）等价。一般地说，所谓把某一物理理论（有限自由度）改铸为拉氏形式，就是要找出适当的拉氏函数使得由哈氏变分原理导出的拉氏方程与该理论的演化方程一致。
　　15.1.2 经典场论的拉氏形式
　　读者最熟悉的经典场是闵氏时空的电磁场，它可由对偶矢量场（电磁4势）Aa描述，无源电磁场在洛伦兹规范下的演化方程为
　　(15-1-6)
　　还有两种重要的经典场，其发现过程颇为特别，在研究量子力学时，人们早就注意到薛定谔方程不是洛伦兹协变的，因为它含有波函数对的一阶导数和对向二阶导数，从而时、空坐标互不平权。第一种修改方案是把对t的导数也改为二阶，结果是
　　(15-1-7)
　　称为Klein-Gordon方程（简称KG方程）。它虽然洛伦兹协变，但却有两大问题：①存在负能解；②概率密度可以为负。这两者都在物理上无法接受。第二种修改方案是把对的导数也改为一阶，结果得到Dirac方程。这一方程不存在负概率密度问题，但仍存在负能解。Dirac引入“负能海”和空穴的概念对此加以解释，经发展后就导致从量子力学到量子场论的过渡。量子力学研究粒子数不变的量子系统，而在量子场论中粒子数是可变的。人们发现用量子场论的观点可给KG方程及Dirac方程以清晰的解释，而且原来的困难不复存在。先看KG方程。现存的不再被看作粒子的波函数而是看作与电磁场的Aa类似的场量（经典标量场），量子化后所得的量子是自旋为零的粒子（标量粒子），例如π介子，而KG方程则被视为这个标量场矽的演化方程，其中的常数m代表量子化后每一量子的（静）质量，另一方面，量了场论中的Dirac方程则是自旋为1/2的粒子（如电子）的演化方程，以上只是非常粗略的简介，本章无意涉及量了场论。
　　下面把拉氏理论推广到经典场（看作物理系统），即讨论经典场论的拉氏形式。最简单的例子是闵氏时空的实标量场（为实数）。设为（右手）惯性坐标系，则同时面代表t时刻的全空间。光滑地指定标量场在上各点的值就相当于指定了系统在t时刻的位形，因此t时刻的位形变量（广义坐标）可记作，其中代表的任一点，可以认为前面的对应，其中对应于，而x则对应于指标。不同的是，i只能从1取到N（取有限个分立值），而x则可取遍上各点，即x是可连续取值的指标，因此标量场（其实任何场都一样）是无限自由度系统。所谓把标量场论改铸为拉氏形式，就是要找到适当的拉氏量使得由哈氏变分原理可得出演化方程(15-1-7)。拉氏量以及哈氏原理在场论中的提法可仿照其在有限自由度系统的提法得到。设和分别是惯性时刻t0和t1>t0的同时面，U是介于两者之问的时空开域（称为“三明治”式开域）。适当给定初始位形和终了位形（相当于有限自由度系统的Q0和Q1点）后，欲求与演化方程(15-1-7)吻合的中问演化过程，亦即欲求定义于U (U的闭包)上的满足如下条件的标量场在U的任一点满足方程(15-1-7)；(b)在和上分别等于所指定的初始和终了位形，这样的称为正路，而只满足条件(b)的则称为旁路，正路和旁路统称路径，在有限自由度理论中，路径在时刻的拉氏量为，与此类似，标量场在时刻t的拉氏量可以表为
　　(15-1-8)
　　其中。应该注意的是，L在任一时刻t值依赖于该时刻的全空间最上的场和而不再是有限个变数，所以是空间场的泛函。在此基础上就不难接受路径的作用量如下定义：
　　(15-1-9)
　　仿照力学中对连续弹性体的讨论，把五分成许多小格，假定场对全空间贡献的拉氏最是其对每一小格的贡献之和，即
　　(15-1-10)
　　其中可解释为单位体积的拉氏量，称为拉氏密度(Lagrangian density)，①是场量及其时问导数和空问导数的局域函数：
　　(15-1-11)
　　“局域函数”的含义是中任一点的值按某种函数关系（也记作）取决于在p点的值（与这些场在p点以外的值无关）：
　　(15-1-12)
　　把式(15-1-10)代入(15-1-9)得
　　(15-1-13)
　　哈氏原理推广到场论后的提法自然是：初始位形与终了位形之间的正路的充要条件是其作用量S取极值。
　　上面的讨论默认了时空的某种3+1分解[涉及某时刻t的场位形以及某路径在某时刻的拉氏量，这只是便于初学者接受的讲法。事实上，拉氏场论可改用不依靠3+1分解的（时空协变的）语言表述。哈氏原理的功用是寻求场量的演化方程，这是时空流形碾4上的微分方程，只涉及每一时空点p及其任意“小’邻域，因此可把“三明治”式的U改为任意开域（还要求的闭包紧致），把作用量直接定义为在上的4维积分：
　　(15-1-14)
　　把看作场量矽及其时空导数（不再分为和）的局域函数：
　　(15-1-15)
　　并把问题的提法相应改为：给定场存的边界上的适当值后，欲求定义在可上的、满足如两个条件的标量场在内满足演化方程(15-1-7)；存的值等于所给边界值哈氏变分原理仍可表述为“路的充要条件是作用量取极值”，这样就摆脱了对3+1分解的依赖，我们将逐渐看到拉氏理论本质上是直接与时空（而不是其3+1分解）打交道的理论（与此相反，后面介绍的哈氏理论则是“天生”就依赖于3+1分解的。）同拉氏密度相较，拉氏量在拉氏场论中退居到可有可无的地位，碾上的一个标量场称为一个4维场位形。给定一个4维场位形矽斤，每一时空点值便由式(15-1-15)确定，代入式(15-1-14)便得一个S值，所以S是4维场位形矽的泛函，记作。以代表所有（满足适当条件的）4维场位形的集合，便有。为了考虑变分，也要引入参数，不过现在的用处不是区分从Q0到Q1的不同曲线而是区分不同的4维场位形，因此以