高等数学学习指南

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第一章 函数与极限
　　一、基本要求
　　1.理解函数和复合函数的概念，了解反函数的概念，了解函数的性质(奇偶性、单调性、周期性和有界性).
　　2.学会建立简单实际问题中的函数关系式.
　　3.理解极限的概念，了解极限的ε-N，ε-δ定义.
　　4.掌握极限的四则运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限.
　　5.了解极限的性质(唯一性、有界性、保号性)和两个存在准则(夹逼准则与单调有界准则)，会用两个重要极限求极限.
　　6.了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限.
　　7.理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念.
　　8.了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型.
　　9.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理.
　　二、内容提要
　　(一)函数概念
　　定义设数集，则称映射为定义在D上的函数，通常简记为，
　　其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记为Df，即.
　　(二)函数特性
　　1.有界性
　　设的定义域为D，.若存在，使得，有，则称在X上有界.
　　在X上有界在X上有上界且有下界.
　　2.单调性
　　设的定义域为D，且，若，则称函数在X上单调增;若，则称严格单调增.反之，若，则称函数在X上单调减;若，则称严格单调减.
　　3.奇偶性
　　设的定义域D关于原点对称.若，有，则称为偶函数;若，有，则称为奇函数.
　　4.周期性
　　设的定义域为D，若存在，使得，有，且，则称为周期函数，T为的周期.
　　通常把的最小正周期简称为的周期.
　　(三)极限定义
　　一般地，时刻，从该时刻以后，恒有.且.
　　(四)极限的性质
　　1.唯一性
　　(1)若数列的极限存在，则极限值唯一;
　　(2)若极限存在，则极限值唯一.
　　2.有界性
　　(1)若极限存在，则数列有界;
　　(2)若极限存在，则在点的某个去心δ邻域内有界(局部有界).
　　3.保号性
　　(1)若极限，且(或)，则，当时，恒有(或);
　　(2)若极限，且(或)，则在点的某个去心邻域内有(或).
　　(五)极限的运算法则
　　(1)设，则.
　　(2)有界.
　　(3)设且，又，则.
　　(六)无穷小与无穷大
　　1.无穷小与极限的关系.
　　2.无穷小与无穷大的关系
　　在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
　　3.无穷小的比较
　　设α，β均为同一过程lim的无穷小.
　　(1)若，则称β是α的高阶无穷小，记为，或称α是β的低阶无穷小;
　　(2)若，则称β是α的同阶无穷小;
　　(3)若，则称β是α的等价无穷小，记为β～α;
　　(4)若，则称β是α的k阶无穷小.
　　4.无穷小替换定理
　　设α，β均为无穷小，若(或)，则(或).
　　5.常用等价无穷小
　　当x→0时，有.
　　(七)两个准则和两个重要极限
　　1.准则Ⅰ(夹逼准则)
　　若数列，满足且，则.
　　2.准则Ⅱ(单调有界准则)
　　单调有界数列必有极限.
　　3.两个重要极限.
　　(八)函数连续概念
　　1.f(x)在点x0处连续的等价定义
　　2.左连续与右连续
　　左连续;右连续.
　　F（x）在点处连续在点处左连续且右连续.
　　(九)间断点的类型
　　(十)连续函数的运算
　　1.四则运算
　　若，在点x0处连续，则，在点x0处连续.
　　2.复合运算
　　若在点x0处连续，在点u0处连续，则复合函数在点x0处连续.
　　综合上述两点可知，一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
　　(十一)闭区间上连续函数的性质
　　1.有界性和最大值、最小值定理
　　设f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上有界，且f(x)在[a，b]上必可取得最大值和最小值.
　　2.零点定理
　　设f(x)在[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0，则ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0.
　　3.介值定理
　　设f(x)在[a，b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对介于f(a)与f(b)之间的任何值c，ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=c.
　　三、疑难解析
　　1.单调函数必存在反函数，不单调的函数是否一定没有反函数？
　　答 不是的.函数f是否存在反函数，取决于f是否为D到f(D)的一一映射.若是，则存在反函数，否则就不存在反函数.函数f在D上单调只是f为一一映射的一个充分而非必要条件.例如，函数在区间[–1，1]上不单调(图1-1(a))，但它存在反函数(图1-1(b)).
　　图1-1
　　2.如何理解类似f(x+2)，f(sinx)这样的函数记号？
　　答f(x+2)，f(sinx)都是表示复合函数的记号.若令u=x+2，则f(x+2)表示由f(u)和u=x+2复合而成的函数.例如，若设，则，
　　即
　　这就是说，是由和u=x+2复合而成的函数.此时.
　　3.为什么在极限的定义中，ε要任意给定？
　　答以当x→x0时函数f(x)的极限是A为例来说明.因为ε是刻画函数f(x)与常数A接近程度的量，只有ε的任意性(不论它多么小)才能表明f(x)与A的无限接近.又“给定”是指在通过ε找δ的过程中，ε是不变的常数，因为只有ε暂时不变，才能通过分析找到正数δ，使得当时，恒有成立.
　　4.在极限的定义中，δ与ε是什么关系？
　　答因为x与x0无限接近时，f(x)才能与A无限接近，即只有x与x0接近到一定程度，才能保证成立.δ正是表达x与x0接近程度的量.一般来说，当ε变化时，δ也变化，但δ不是由ε唯一确定的.因为，找到了一个δ0，使得当时，恒有，则对于所有小于δ的正数δ1，当时，仍然有成立，所以δ不是唯一的，也不必要找到一个最大的δ.所以在利用定义证明极限时，常常将适当放大，以便于通过较容易找到δ，这也是用定义证明极限时常用的技巧.
　　5.数列与数列的敛散性是否相同？
　　答 一般说它们的敛散性是不同的.
　　若数列收敛，则数列也收敛，且当时，有.这是因为，N，当时，恒有成立，又因为，
　　从而有成立.
　　反之不成立.例如，数列是收敛的，但数列发散.
　　6.如何掌握不同极限过程中极限的定义？
　　答 所谓极限过程，指的是自变量的变化趋势.一般有7种情形.
　　虽然当自变量的变化过程不同的时候，极限定义的表述略有差别，但它们的本质是相同的即，总存在一个时刻，使得该时刻后，恒有成立.例如，极限，存在的时刻是指存在正整数N，当时，恒有;极限，存在的时刻是指存在正数X，当时，恒有;极限，存在的时刻是指存在正数δ，当0<x–x0<δ时，恒有.掌握了极限定义的实质，在表述各种极限过程中的极限定义就不难了.
　　7.求函数的极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？
　　答(1)若点x0是分段函数的分段点，且点x0的左、右两侧函数的表达式不一样，则求分段点x0的极限时一定要先考察左、右极限是否存在，再确定是否存在.但是，并不是所有分段函数在分段点的极限都要求左、右极限.若分段点x0的左右两侧函数表达式相同，且当时，x0的左右两侧f(x)的变化趋势也一样，则不必求左、右极限，可直接求.例如，
　　有