复杂混沌系统同步及其应用

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第1章 混沌系统同步控制概述
　　近年来，随着科学技术的不断发展，人们对自然的认知范围越来越宽，也越来越深入，以前静态的、线性的、确定的认知映像逐步被动态的、非线性的、未知的认知所取代.而作为研究非线性现象的非线性科学，正是在这种大背景下应运而生，并发展起来的.
　　在非线性学科当中，目前研究最广，也最具代表性的理论是以混沌理论为代表的复杂系统理论.复杂性科学研究源于1928年， Bertalanffy 提出了一个反还原论的复杂性范式，这标志着复杂性科学研究的开始[1].在1986年， Nicolis 和Prigogine 出版了《探索复杂性》一书，正式提出了“科学正在经历理论变革，要积极探索复杂性”[2]的口号.到了20世纪80年代，以 Cowan 为代表的一大批科学家成立了著名的圣菲研究所，致力于对复杂系统科学的研究，并确立了复杂性科学的研究对象是复杂系统.在我国，著名科学家钱学森曾在自然杂志发表过文章《一个科学新领域:开放的复杂巨系统及其方法论》，文中指出对复杂系统的研究要把多种学科结合起来[3].复杂性科学是非线性科学的重要内容，它不只是一门具体的学科，而是分散在政治、经济、工程等许多学科当中[4].相比于传统科学，复杂系统及其理论还处于蓬勃发展的阶段，研究复杂性的表现形式(如Lyapunov指数、熵值、相图、分岔、混沌等)，找到控制和利用复杂性的方法是目前非线性学科的一个新的课题，也是非线性科学领域从业者所面临的巨大挑战.
　　本章将重点介绍混沌及复杂系统的几方面内容，包括混沌简史、混沌的定义和性质、混沌和复杂系统的发展现状及同步概述.
　　1.1 混沌简史
　　混沌源于确定系统中表现出的不确定行为，是自然界中有序与无序、确定与随机的统一.混沌理论的研究起源于19世纪末，法国著名数学和物理学家Poincaré在研究三体问题时，发现了三体运动中的混沌行为，首次对混沌的初值敏感性和伪随机性进行了描述[5].极限环、奇异点和分岔等概念及Poincaré截面等方法的提出为之后的混沌研究奠定了坚实的理论基础.经典科学让人们认识了系统的平衡态和周期态，而混沌理论则打破了人们长久以来的固有认知，确认了确定性系统中可能存在内在随机性.关于混沌系统最为著名的就是气象学家 Lorenz 提出的“蝴蝶效应”.一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风.
　　混沌理论正式形成于20世纪60年代.1961年，美国气象学家 Lorenz 在计算大气仿真模型的过程中发现舍入误差的微小变化会导致两次计算结果的完全不同，并将这种大气运动中的混沌现象命名为“蝴蝶效应”.1963年，通过反复的实验和观察思考， Lorenz 在其论文 Deterministic non-Periodic flow 中提出了著名的 Lorenz 混沌模型，首次在耗散系统中发现了混沌运动[6].
　　在20世纪70年代，混沌理论得到了进一步的发展.1971年，由法国学者Ruelle 和荷兰数学家 Takens 共同撰写的论文 On the nature of turbulence 在《数学物理学通讯》杂志上发表，该论文首次采用混沌来描述湍流的形成，指出动力系统中存在的“奇怪吸引子”和第一条“通向混沌的道路”[7].1975年，美国数学家Yorke 和美国华裔学者李天岩发表著名论文 Period three implies chaos，首次提出“混沌”(chaos)一词并给出了闭区间上连续自映射的混沌定义[8].1976年，美国生物学家 May 在《自然》杂志发表文章指出，简单的一维迭代映射(Logistic 模型)也能产生复杂的倍周期分岔和混沌行为[9].1977年夏，关于混沌的第一次国际会议在意大利召开.1978年，学者 Feigenbaum 通过手摇计算机，发现在混沌倍周期分岔的过程中存在普适常数——Feigenbaum 常数[10].
　　20世纪80年代，计算机科学的兴起为混沌理论的发展提供了新的方法与途径.1980年，意大利学者 Ranceschini 用计算机研究从平流到湍流的过渡，发现了这一过程中的周期倍化并验证了 Feigenbaum 常数.同年，美国数学家 Mandelbrot 研究了混沌中的分形现象，用计算机绘制了第一张 Mandelbrot 集的混沌图像[11].1981年，麻省理工学院的 Linsay 首次用变容二极管组成的 RLC 电路进行实验，验证了 Feigenbaum 常数[12].1985年， Wolf 等针对时间序列提出了最大Lyapunov 指数方法，成为判断系统是否处于混沌状态的重要方法[13].1989年，美苏混沌讨论会召开.
　　1990年，美国马里兰大学物理学家 Ott， Grebogi 和 Yorke 通过 OGY 方法成功地控制了混沌[14].之后， Pecora 和 Carroll 又提出了混沌同步 PC 方法，并通过电路实验加以验证[15].自此，混沌系统的控制与同步得以蓬勃发展，成为混沌研究领域的一个新的热点.近年来，混沌科学与其他科学相互融合，在生物学、医学、物理学、化学、数学、计算机科学、天文学、气象学和经济学等领域都得到了广泛的应用.混沌科学的创立被认为是20世纪物理学三大成就之一，它架起了确定论与概率论之间的桥梁，为人类认识和了解自然界提供了新的视角与方向.
　　1.2 混沌的定义和性质
　　混沌科学是一门新兴的交叉科学，由于人们尚未完全了解混沌系统的奇异与复杂，学术界至今仍未给出关于混沌的统一定义.目前，现有的混沌定义也只是从不同的侧面对混沌运动加以描述.其中影响较大并被人们广泛接受的是 Yorke 和李天岩于1975年所提出的离散动力系统 Li-Yorke 混沌定义.
　　Li-Yorke 定义:设 f (x)是区间 I 到自身的连续映射，如果满足如下条件，则该映射是混沌的[8]:
　　(1) f 的周期点的周期无上界(或者表述为“存在一切周期的周期点”);
　　(2)可以找到区间 I 上的不可数子集 S，若 S 不含有周期点，有
　　对于及周期点p∈I，则有.
　　不同于上述定义， Devaney 从拓扑学角度出发，给出了以下混沌定义.
　　Devaney 定义:设 X 是一度量空间，连续映射 f : X → X，如果满足如下条件，则该映射 f 是混沌的[16].
　　(1) f 敏感依赖于初值，即存在δ>0，对于.x ∈ X 及 x 的邻域 N (x)，存在y ∈ N (x)和满足;
　　(2)拓扑传递性，即对 X 上的任意开集 U 和 V ，存在正整数 k，使得;
　　(3) f 的周期点集在 X 中稠密.
　　混沌是非线性动力系统中所特有的一种运动形态.与其他复杂系统相比，混沌系统的行为具有如下的复杂性质.
　　1)内在随机性
　　混沌系统的动力学方程是确定的，但是由该确定方程产生的非周期解信号“貌似无序”.这种“貌似无序”的“内在随机性”与随机信号表现出的“外在随机性”具有本质上的不同.随机系统产生的信号完全无序，没有任何规律，而混沌信号却存在普适常数等规律性.
　　2)初值敏感性
　　对于一般的确定性系统，如果初值的改变足够小，那么两条轨道的偏离量也不会太大.而对于混沌系统而言，却恰恰相反.从微小不同的初值出发的两条轨道经过较长时间的演化后会呈现明显差异，最终变得完全不相关.
　　3)正的Lyapunov指数
　　Lyapunov指数(LE)用于表征相空间中邻近轨道的收敛和发散的速度快慢，是引起混沌吸引子不稳定的原因.对于n维相空间中的连续动力系统，在考察n维球面的长时间演化时，由于流的局部变形性，球面将变为n维椭球面.设第 i 位的椭球主轴长度为 pi(t)，其Lyapunov指数可定义为
　　以三维自治混沌系统为例，其运动与Lyapunov指数对应如下:
　　(i)当Lyapunov指数表现为时，对应于该三维系统的周期运动或者是极限环.
　　(ii)当Lyapunov指数表现为时，该三维系统处于混沌状态.
　　4)有界性
　　混沌系统局部是不稳定的，但从整体上看该系统又是稳定的，故而其轨迹始终局限在一个区域内，称之为混沌吸引子.混沌吸引子表明了混沌具有有界性.
　　5)遍历性
　　混沌系统的运动轨迹在其吸引域内不会重复，随着时间的增加，混沌轨道将经过混沌区域内的每一个点.
　　6)分维性
　　在有限的吸引域内，混沌系统的轨迹经过了无数次的拉伸和折叠，形成了无限层次的自相似结构.混沌运动的这种拉伸与折叠可以用分维来加以刻画.
　　7)普适性
　　混沌系统的运动有规律可循，不同的系统可以具有共同的特征.这些共性一般用普适常数来描述，如 Feigenbaum 常数.
　　自混沌理论建立以来，对于混沌系统的研究取得了长足的发展.混沌研究涉及的内容十分广泛，主要集中在以下几个方面[17]:
　　1)混沌机理研究
　　采用严格的数学方法证明混沌系统中存在混沌，或利用数值仿真和定性分析的方法(如计算系统的Lyapunov指数、绘制系统的分岔图和Poincaré截面等)研究系统的非线性性质.目前，关于混沌系统的研究大多采用数值仿真及定性分析的方法[18-20]，真正采用严格数学手段得到证明的混沌系统并不多[21，22].
　　2)混沌系统的建模
　　为了探究混沌系统产生混沌的机理，可以通过改变系统耦合项等方法构造新的混沌系统.新的混沌系统的建模和分析是目前混沌研究中的热点，主要分为构建离散混沌映射系统和连续混沌系统两类.近年来，已有许多新的混沌系统被提出[23-25].
　　3)混沌系统的离散化
　　在混沌系统数值仿真的过程中，将连续的混沌系统采用数学方法离散化近似表示是一种必要手段，更利于探究系统的非线性性质.目前，关于混沌系统离散化的方法主要有 Euler 方法、改进 Euler 方法、Runge-Kutta 法和改进 Runge-Kutta 法等[26，27].
　　4)混沌系统同步及其应用
　　混沌的非周期性、连续宽带谱和类噪声性，使得混沌及其同步在保密通信、信号处理和生命科学等方面有十分广泛的应用前景与巨大的市场价值，成为人们研究的热点.通常的混沌保密通信方法有混沌掩盖、混沌调制和混沌键控[28，29]等.
　　1.3 混沌和复杂系统的发展现状及同步概述
　　以混沌系统为代表的复杂系统使人类对自然世界有了新的理解与认识，关于混沌系统的研究也取得了许多重要的进展.目前，典型的混沌系统可以按照系统状态是否连续分为两类，即离散混沌映射系统和连续混沌系统.其中离散混沌映射系统以 Logistic 映射和 Hénon 最具代表性，而经典的连续混沌系统则有 Lorenz 系统和 Chen 系统等，具体的混沌及复杂系统将在后面几章进行详细介绍.
　　目前，关于经典混沌映射和混沌系统的研究成果很多，基于其性质的应用研究也取得了相当大的进展和突破.但是，在混沌系统研究的过程中也发现了一些问题，如随着混沌系统研究的深入，低维混沌系统的性质已经被研究者所熟知，其在保密通信和图像加密等领域的应用也受到了限制.为了进一步研究并利用混沌系统的复杂性，科学工作者的视线逐步转向性质更为复杂的高维混沌系统[30-32].
　　时空混沌系统是一类复杂的高维混沌系统，是混沌系统在高维情形下的推广，系统的状态不仅随时间发生变化，同时也随空间发生变化.该系统不仅具有一般混沌系统的初值敏感性，且对子系统间边界条件同样敏感.由于时空混沌系统可以产生多个性质复杂但又互不相关的伪随机序列，故相比于低维混沌系统，系统安全性有了显著提升，信号也更加适合作为伪随机序列应用于保密