数学教育论文写作与案例分析

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第1章　数学教育研究中的问题
　　1.1　数学问题
　　“问题是数学的心脏！”这是美国数学家哈尔莫斯的名言. 确实如此， 问题推动了数学的发展， 数学家一方面解决各种各样的数学问题， 同时也在“制造”数学问题， 而正是通过研究数学问题， 数学系统才不断完善. 爱因斯坦也认为， 发现问题比解决问题更重要.
　　某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的. 只要一门科学分支能提出大量的问题， 它就充满着生命力; 而问题缺乏则预示着这门科学独立发展的衰亡或终止. 正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样， 数学研究也需要自己的问题. 正是通过这些问题的解决， 研究者锻炼其钢铁意志， 发现新方法和新观点， 达到更为广阔和自由的境界.
　　例如， 法国数学家费马提出这样的问题: 对于给定的正整数， 方程能否有正整数解呢？据说当时费马提出这样的问题， 在一本书的空白写下这样的评注: 对于任意的， 方程在自然数中是不可解的. 这就是著名的费马大定理.
　　1995年， 普林斯顿大学的安德鲁？怀尔斯(Andrew Wiles)在当代权威的数学杂志普林斯顿的《数学年刊》上发表了论文《模椭圆曲线和费马大定理》. 经过350多年的努力， 费马大定理最终被怀尔斯证明. 费马大定理本身在数学上或许并不那么重要， 但是在人们试图证明它的过程中引出许多数论中的重要发现. 事实上， 关于费马大定理的研究不仅促进了代数数论和算术代数几何的建立， 而且还发展了一系列先进的数学技术， 形成了现代数论无尽的前沿.
　　类似的问题还有很多， 例如，
　　一般高次方程求根公式问题: 如何用代数方法解一般的高于四次的一元方程？伽罗瓦(Galois， 1811—1832)在解决这一世界性难题时首次使用了群的观点， 为群论的创立奠定了基础.
　　哥德巴赫(Goldbach， 1690—1764)猜想: 任何一个大于4的偶数都能表示为两个奇素数之和.
　　纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性问题: 证明或反证了纳维-斯托克斯方程解的存在性和光滑性(在合理的边界和初始条件下).
　　伯奇与斯温纳顿-戴尔(Birch and Swinnerton-Dyer， BSD)猜想: 对有理数域上的任一椭圆曲线， 其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的阿贝尔(Abel)群的秩.
　　这些问题都是基本的数学问题， 除了费马大定理已经解决了之外， 后面的几个问题还在研究中. 而对于数学教材中的许多问题， 大都是已经解决的问题， 学生通过解答这些问题， 加深对数学概念的理解， 提高相关公式定理的应用水平.
　　例如， 2017年高考试题(全国I卷理科数学第20题):
　　已知椭圆， 四点中恰有三点在椭圆C上.
　　(1) 求C的方程.
　　(2) 设直线l不经过P2点且与C相交于A， B两点. 若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1， 证明: l过定点.
　　这样的问题实际上都已经完成了解答， 也就是命题者已经给出了明确的解答过程. 而试题的价值是考查学生对椭圆及相关解析几何知识的理解， 是否具备相关的数学能力， 例如， 数学运算、推理论证等， 同时也考查学生是否掌握了相关的数学思想方法， 并能应用这些思想方法解决问题.
　　上述的问题都是基于数学的特征提出的， 解答过程遵循数学的严谨性、抽象性和应用性， 符合数学语言表达、合乎相关数理关系， 并在数学体系中解决问题. 这些问题在数学教育研究中是必要的基础， 是数学教育研究对象的一部分， 然而， 数学教育的研究主体并不仅仅是数学问题的研究.
　　1.2　数学教育中的问题
　　数学教育是一门科学， 从广义上来说， 传播数学知识、数学技能的活动都可以称为“数学教育”， 狭义上讲是指在学校开展的数学教与学的活动. 数学教育是研究数学教育现象， 揭示数学教育规律的一门学科， 研究的是“为什么教、教谁”“教什么、如何教”“学什么、如何学”“教得怎样， 学得怎样”以及相关的理论. 例如，“为什么数学的某些特殊部分(相对整个数学而言)要教给学生中的某个特殊群体”， 这就是数学内容选择的合理性问题;“考虑到那群学生的智力， 我们能教他们数学吗？如果能， 怎么教？”这是数学教学的可能性问题;“准备有形的和无形的教学材料意味着在社会、学校体制、师资水平等因素的制约下， 使数学内容的教学变为可能”， 这是可行性问题.
　　数学教育研究的对象比较广泛， 主要包括关于学习者的数学的认识和实践的研究、教授—学习数学的研究、数学教育内容的确定和数学课程的研究、关于公共教育机关(保育院、幼儿园、小学、初中、高中、大学)的数学教育的研究、数学在社会中的作用的研究、数学教育史的研究、世界数学教育的比较研究等.
　　就学校数学教育而言， 主要包括数学课程论、数学学习论和数学教学论等三个部分， 简称“三论”.
　　数学课程论主要包括以下研究内容. ①数学教学内容. 即教什么内容， 为什么要教这些内容等问题， 涉及数学教学内容的选择和编排， 最后落实到教材编写， 等等. 显然， 这就必须研究数学课程与社会的关系、与数学教育价值的关系以及与学生认知水平的发展关系等， 研究如何处理好数学课程与社会、知识、学习者之间的协调性， 使这几方面和谐统一地发展. ②数学课程的发展. 了解数学课程的发展历史， 揭示课程演变的某些客观规律， 对目前的数学课程进行修正和对未来的数学课程编制作出正确决策. ③数学课程的评价. 进行新课程教学实验， 研究课程目标， 建立评价体系， 检验课程实施结果等， 给课程改进和新课程的编制提供依据， 同时还可促进教学方法的改革和发展.
　　数学学习论主要包括以下研究内容. ①数学学习的心理规律. 包括数学概念、命题、问题解决的学习心理过程; 技能的获得与应用; 数学认知结构与迁移; 数学学习中的非智力因素等. ②数学能力与数学思维. 研究数学能力的结构与成分; 数学能力与一般能力的关系; 数学能力的培养途径; 数学思维的分类、过程及方式; 数学思维能力的培养等.
　　数学教学论主要包括以下研究内容. ①数学教学的目标、任务和原则; ②数学教学设计; ③数学教学过程、教学组织形式以及教学手段等; ④数学教学方法; ⑤教学效果的检测与评价.
　　从上述内容可以看出数学教育研究具有研究领域的综合性、理论来源的综合性、研究方法的综合性的特点， 是一门关于数学、教育学、心理学、哲学等的交叉综合性学科， 但这种综合性不是将这些学科随意地拼凑与组合， 而是从数学与数学教育的特点出发， 运用各个相关学科的原理、结论、思想、观点和方法来解决数学教育本身的问题. 与其密切联系的学科包括: 数学、哲学、教育学、心理学、逻辑学、计算机科学、文化学、社会学等等. 在其研究领域除了上述的“三论”， 还包括数学教育心理学、数学解题学、数学教育评价、数学教育统计、数学教育技术、数学比较教育学等等.
　　丹麦学者莫恩斯？尼斯(Mogens Niss)认为， 数学教育学研究包括四个方面的研究: ①数学学科的研究. 作为教育和科学的交叉研究领域， 旨在识别、描述和理解数学的现象以及在任何学段数学教学的过程. ②本性. 对数学或教学的现象和过程的理解， 试图揭示或阐明其中的因果关系. ③方法. 在研究这些数学任务过程中， 数学教学的方法， 包括科学、心理、思想、道德、政治、社会等， 以及与之相关的所有问题. ④活动. 包括各种教学活动， 包括理论或经验的研究， 以及相关的应用研究或者系统性、反思性的实践活动. 在此基础上， 他指出数学教育的本质， 也就是对元问题进行描述和解释， 从而得到数学教学的价值规范， 以及相关的辅助性问题对于数学教与学的结果的影响等. 他给出了图1-1来说明.
　　图1-1　数学教育研究的对象
　　对数学教育中的问题开展研究， 具有重要的理论和现实意义. 通过对数学教育问题的研究， 可以推动教育改革， 实施贯彻数学教育政策， 对数学教学的现状进行反思， 更新教育的理念， 适应教育的潮流; 通过对数学教育问题的研究， 可以促进数学教学水平提升， 帮助教师理解学生的数学学习， 理解数学教学的本质， 提升教师对数学和教材的理解， 改进数学教学设计， 提高数学教学质量. 通过对数学教育问题研究， 可以提升研究者的教学和科研素质， 从而促进数学教育理论的发展. 具体而言， 通过对数学教育问题研究， 可以确认、理解、解释数学教育的现象、过程， 并将其特征化， 探索并弄清其中的因果关系， 挖掘内在的机制. 例如， 发现数学教育中的某种现象或过程; 提供论据， 界定某种意义或性质; 利用理论、观点清晰地作出分析及解释; 对研究问题条理化， 包括分类、分水平、分阶段等; 可以开展经验、实用性的分析， 提高认识， 改进教、学、课程等等. 例如， 进行应用的、开发的问题研究; 开展基础理论性的研究: 理解问题的本质， 转变观念. 又例如， 进行反思实践的系统性的研究: 可以是描述性的问题——“是什么”， 解释性的问题——“为什么”.