线性代数学习指导(理工类普通高等教育十三五规划教材)/大学数学基础丛书

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第3章 矩阵的初等变换及应用 一、 基本要求 1. 掌握初等变换和初等矩阵的定义、功能、性质；了解矩阵等价的概念。 2. 熟练掌握用初等变换求矩阵的逆，求矩阵的秩，判定和求线性方程组的解。 二、 知识网络图 矩阵的初等变换及应用初等变换初等行（列）变换 （定义3.1）换行（列）: rirj（cicj） 数乘: kri（kci） 倍加: ri+krj（ci+kcj） 矩阵的等价（定义3.2） 同解线性方程组（定理3.1） 矩阵的行阶梯形、行*简形和标准形（定理3.2及其推论1、推论2） 初等矩阵初等矩阵 （定义3.3）**种初等矩阵: E(i,j) 第二种初等矩阵: E(i(k)) 第三种初等矩阵: E(ij(k)) 两个矩阵等价的充分必要条件（定理3.4） 初等矩阵的逆（定理3.5） 等价方阵的行列式（定理3.6） 初等矩阵与初等变换的关系（定理3.3）: 左乘变行、右乘变列 应用1矩阵可逆的充分必要条件（定理3.7）: 初等矩阵表示法 用初等变换求逆矩阵初等行变换: （AE)→(EA-1) 初等列变换: A E→E A-1 用初等变换解矩阵方程AX=B→X=A-1B初等行变换: (AB)→(EA-1B) YA=C→Y=CA-1初等列变换: A C→E CA-1 应用2矩阵的秩k阶子式（定义3.4） 矩阵的秩（定义3.5） 满秩矩阵、降秩矩阵 用初等变换求矩阵的秩（定理3.8） 应用3非齐次线性方程组的解（定理3.9） 齐次线性方程组的解（定理3.10）初等变换在化简矩阵、求矩阵的逆和秩、解线性方程组等问题中起着**重要的作用，它在线性代数中占有很重要的地位。 第3章矩阵的初等变换及应用3.1初等变换与初等矩阵3.1初等变换与初等矩阵 一、 知识要点〖*2〗1. 矩阵的初等变换定义3.1如下的三种变换称为对矩阵实施的初等行变换: (1) 互换矩阵的第i,j两行（记作rirj），简称为换行； (2) 将矩阵的第i行各元素乘以非零常数k（记作kri），简称为数乘； (3) 将矩阵的第j行各元素乘以非零数k后加到第i行的对应元素上（记作ri+krj），简称为倍加。 若将定义3.1中的“行”换成“列”，即可得到初等列变换的定义（所用记号是将“r”换成“c”）。对矩阵进行的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。 定义3.2如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B或A→B。 矩阵的等价关系具有下列性质: 性质1(反身性)A与A等价； 性质2(对称性)如果A与B等价，那么B与A等价； 性质3(传递性)如果A与B等价，B与C等价，那么A与C等价。 定理3.1令=(A,b)和=(B,d)分别是线性方程组Ax=b和Bx=d的增广矩阵。若矩阵经过有限次初等行变换后变为矩阵，则线性方程组Bx=d与Ax=b同解。 由于初等列变换会改变对应线性方程组中未知数的位置，从而导致解的位置发生变化，所以，在实际计算时通常只用初等行变换求解线性方程组，很少使用初等列变换。 一般地，对矩阵Am×n实施有限次的初等行变换，可将其约化为如下形式的矩阵，即c11c12…c1rc1r+1…c1n 0c22…c2rc2r+1…c2n  00…crrcrr+1…crn 00…00…0  00…00…0，称为行阶梯形矩阵。它具有如下特点: (1) 每个阶梯只占一行； (2) 任一非零行（即元素不全为零的行）的**个非零元素的列标一定不小于行标，且**个非零元素的列标都大于它上面的非零行（如果存在的话）的**个非零元素的列标； (3) 元素全为零的行（如果存在的话）必位于矩阵的*下面几行。 若对行阶梯形矩阵再实施有限次的初等行变换，可以将其进一步约化为如下的矩阵，即10…0b1r+1…b1n 01…0b2r+1…b2n  00…1brr+1…brn 00…00…0  00…00…0，称为行*简形。它的特点是: 每一非零行的**个非零元素全为1；且它所在的列中其余元素全为零。 对于任一给定的矩阵Am×n，可以经过有限次的初等行变换将其约化为行阶梯形以及行*简形。进一步地，若对行*简形矩阵再实施有限次初等列变换，则有下面的*简单形式，即10…00…0 01…00…0  00…10…0 00…00…0  00…00…0，称为矩阵Am×n的标准形。 定理3.2任一矩阵可经有限次初等行变换约化为行阶梯形矩阵。 推论1任一矩阵可经过有限次初等行变换约化为行*简形矩阵。 推论2任一可逆矩阵可经过有限次初等行变换约化为单位矩阵。 2. 初等矩阵 定义3.3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。矩阵的三种初等变换对应于三种初等矩阵。 (1) **种初等矩阵: 互换单位矩阵E的第i行与第j行（或第i列与第j列）可以得到**种初等矩阵，即E(i,j)=1  1 0…1  1  1…0 1  1 第i行 第j行。(2) 第二种初等矩阵: 将单位矩阵E的第i行（或列）乘以非零常数k可以得到第二种初等矩阵，即E(i(k))=1  1 k 1  1第i行。(3) 第三种初等矩阵: 将单位矩阵E的第j行（或第i列）乘以常数k加到第i行（或第j列）的对应元素上，可以得到第三种初等矩阵，即E(ij(k))=1  1…k  1  1 第i行 第j行 。定理3.3设A是一个m×n矩阵。对A施以一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施以一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。简称为左乘变行，右乘变列。 定理3.4m×n矩阵A与B等价的充要条件是: 存在m阶初等矩阵P1,P2,…,Pl及n阶初等矩阵Q1,Q2,…,Qt，使得PlPl-1…P1AQ1Q2…Qt=B。对于三种初等矩阵E(i,j),E(i(k)),E(ij(k))，容易求得|E(i,j)|=-1,|E(i(k))|=k≠0,|E(ij(k))|=1。初等矩阵的特性: (1) (E(i,j))-1=E（i,j）,(E(i(k)))-1=Ei1k，(E(ij(k)))-1=E(ij(-k))。 (2) 对于方阵A，若|A|=a，则|E(i,j)A|=-a,|E(i(k))A|=ka,|E(ij(k))A|=a。 定理3.5初等矩阵均可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍为同类型的初等矩阵。 定理3.6对于方阵A，若|A|≠0，则与A等价的B的行列式不为零，即|B|≠0。 3. 用初等变换求逆矩阵 定理3.7方阵A可逆的充分必要条件是: A能表示成有限个初等矩阵的乘积，即 A=P1P2…Ps， 其中P1,P2,…,Ps均为初等矩阵。 若矩阵A经过一系列初等行变换变为单位矩阵E，则单位矩阵E经过同样的初等行变换变为A-1，其过程可表示为 （AE）初等行变换（EA-1）， 这一过程实际上就是将矩阵（AE）通过一系列的初等行变换约化为行*简形矩阵。 类似地，若对2n×n矩阵A E施行初等列变换，有 A E初等列变换E A-1。 用初等变换求逆矩阵的几点说明。 (1) 对矩阵（AE）只能实施初等行变换，且在进行初等行变换时，必须将右边单位矩阵E所在的块同时进行。 (2) 在求一个矩阵的逆矩阵时，也可使用初等列变换求逆矩阵，但是对矩阵A E只能实施初等列变换，且在进行初等列变换时，必须将下边单位矩阵E所在的块同时进行。 用初等变换求逆矩阵的方法也可用于解某些特殊的矩阵方程。 设有矩阵方程AX=B。若A可逆，则X=A-1B。对矩阵(AB)实施初等行变换，当把A变换为单位矩阵E时，B就约化为A-1B，即 (AB)初等行变换(EA-1B)。 同理，在求解矩阵方程YA=C时，若A可逆，则Y=CA-1。可以对矩阵A C实施初等列变换，使得 A C初等列变换E CA-1。 虽然线性代数的学习指导比较多，但比此书细致入微的线性代数的学习指导不多