强基计划数学攻略

作者简介

张天德，山东大学数学学院教授，山东省高等学校教学名师，山东大学泰山学堂卓越教授，全国大学生数学竞赛山东赛区负责人，国家精品在线开放课程、国家一流本科课程负责人。获国家级教学成果二等奖、全国首届优秀教材二等奖等。编写新工科系列图书《高等数学》、《线性代数》等年销量30多万册、《新高考数学专题冲刺30讲》等50余部教材。

内容简介

第3章集合与逻辑 §3.1集合及其运算 一、 集合的概念 中学阶段已经深入探究了集合的概念、元素、交集 、并集、补集、空集、集合的相等，本书不再赘述． 在上述内容的基础上，给出以下补充： 1. 差集 定义1由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集 合称为集合A和集合B的差集，记作A＼B(也可记作A-B) ，即A＼B={xx∈A且xB}． 显然，如果BA，则A＼B=？瘙
綂AB． 2. 积集(也称直积) 集合A×B叫作集合A和集合B的直积(积集)，定义为 A×B=（x,y）x∈A，y∈B． 3. 对称差集 定义(A-B)∪(B-A)为集合A和集合B的对称差集， 记作AΔB， 即AΔB=xx∈A，或x∈B，但xA∩B． AΔB可用韦恩图表示，即图中的阴影部分． 【例1】已知A=(x,y)|x+y+1≥2(x2+y2)，B= {(x,y)|x-a|+|y-1|≤1}，若A∩B=，则实数a的取值 范围是． (2022年北京大学寒假学堂) 【解析】我们先看集合A： x+y+12≥x2+y2,从而A 中点到直线x+y+1=0的距离大于或等于其到原点的距离 ，且A中点在直线x+y+1=0的上方，从而可得A中点在以 x+y+1=0为准线，(0,0)为焦点的抛物线内部(包括边界 )． 再看集合B： 由题可知B中点在由y=x-a，y=a-x， y-2=x-a，y-2=a-x所围成的正方形的内部，如图所示 ． 若B中点在抛物线的右侧，只需满足点(a,2)在抛物 线外侧即可，从而a+3<2(a2+4)，解得a<3-10或a>3+10 ，这里我们取a>3+10； 若B中点在抛物线的左侧，只需满足点(a+1,1)在 抛物线外即可，所以a+3<2［(a+1)2+1］，解得a<1-6 或a>1+6，这里我们取a<1-6． 综上所述，实数a的取值范围是(-∞,1-6)∪ (3+10,+∞)． 本题我们也可以采用数形结合的方法进行解决： 由题意知A是以原点为焦点，直线x+y+1=0为准线的抛物 线及其凹口内侧的点集，B是以(a,1)为中心的正方形及 其内部的点集(如图所示)． 令y=1，代入方程|x+y+1|=2(x2+y2)，得x2-4x- 2=0，解得x=2±6，所以a<2-6-1=1-6； 令y=2，代入方程|x+y+1|=2(x2+y2)，得x2-6x- 1=0，解得x=3±10，所以a>3+10． 综上所述，实数a的取值范围是(-∞,1-6)∪ (3+10,+∞)． 二、 集合的运算 本书是一本独具特色的数学教材，由山东大学数学学院教授、教学名师张天德亲自编写。作者的丰富教学经验和卓越教育背景确保了本书的高质量和专业性。 这本书是为那些准备参加强基计划的高中生打造的，就是为你们而生的！数与方程、不等式、集合与逻辑、函数、三角比与三角函数、数列、微积分初步、平面向量与复数，统统都有。 但是最炫的地方在于，每个主题都有一大堆例题和习题，还有超详细的解答和解析！学数学还能这么好玩，简直是不可思议！这可是帮助你深入理解数学的基本概念和应用，还能让你的数学解题能力蹭蹭蹭地涨！ 嘘，还有一个小秘密哦，书里还有一些超实用的技巧和方法，可以帮助你更轻松地掌握数学知识。无论你是准备考试的学生还是数学老师，这本书都能给你带来惊喜！ 总之，如果你想打通数学基础，轻松迎接考试挑战，那就赶紧抱着《强基计划数学攻略》吧！拥有这本书，数学不再是难题，而是充满乐趣的冒险！