水环境数学模型原理及应用

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第1章绪论
　　1.1 引言
　　自19世纪弗劳德(W. Froude)奠定了物理比尺模型的理论基础，并首次将其应用于模型试验后，物理模型一直是研究流体力学和水力学工程问题的唯一手段。但随着工程问题的大尺度化、边界条件的复杂化，同时考虑到经济的合理性，仅依赖物理模型的研究远不能满足实际需求，以致数学模型的发展受到了广泛重视。
　　数学模型方法是将已知的问题进行方程化描述，在一定的定解条件(初始条件和边界条件)下求解这些数学方程，从而达到模拟某个环境参数、解决实际工程问题这一目的的一系列方法。采用传统的公式计算，其实也是一种“数学模拟”，计算公式也是一种“数学模型”。但由于它只涉及初等数学理论，能解决的问题十分简单，因此还不能算是真正的数学模型。 20世纪 60年代以后，随着计算机技术的蓬勃发展，大量的数学模型被建立，用以解决一系列的工程问题。之后，数学模型涉及的范围和内容越发广泛化和系统化，其功能已远远超过了物理模型。
　　研究地表水环境问题的方法通常主要包括野外观测、室内试验和数值模拟。其中，应用数学模型的方法解决水环境问题扮演着越来越重要的角色。地表水环境数学模型是数学模型在地表水环境领域的应用，根据其模拟目标及复杂程度，大致可划分为水动力学模型、水质模型和水生态模型三大类。其基本原理是基于计算机技术，将气象条件、水动力条件、水质边界条件等因素进行定量化约束，通过求解方程组，获得所求参数的时空分布特征及迁移转化规律。在此基础上，分析和判别各环境因子之间的相互关系，进一步开展水质模拟与预测、水环境容量计算、水系规划方案和应急预案制定等诸多方面的应用。数学模型的研究和应用已成为水环境生态领域的热点，解决问题的综合性、系统性和复杂程度越来越高。
　　数学模型可对河流、湖泊(水库)、河口、海岸带的水动力 /水量、水质及富营养化、泥沙输运等过程进行系统性的定量研究，实现野外观测和室内实验无法达到的广空间和长时间模拟。如美国奥基乔比湖水环境生态模型( Lake Okeechobee environment model， LOEM)。LOEM能精确地描述奥基乔比湖的水动力、沉积物、水质和沉水植物的变化过程，为其管理工作提供了有力的工具，堪称水环境模型的经典之作。再如，我国的太湖富营养化模型，建立了包含水动力、风浪、沉积物、水质和拉格朗日粒子追踪等模块的综合模型，服务于“引江济太”工程项目和太湖水生态环境的保护和管理。
　　在中国经济高速增长的背景下，水资源短缺和水环境污染等问题日益突出。《中国生态环境状况公报(2019年)》显示，全国地表水 1931个水质断面(点位)中，Ⅳ类、Ⅴ类和劣Ⅴ类水占 25.1%；全国 110个重点湖泊(水库)中，水质Ⅳ类及Ⅳ类以下的湖泊(水库)数量为 34个，占 30.9%，主要污染指标为总磷、化学需氧量和高锰酸盐指数。“十三五”期间，国家发布了生态环保大数据服务平台，完成全国固定污染源统一数据库建设、“互联网+监管”和一体化政务服务平台等生态环境信息化建设。显然，大数据驱动下的水环境管理已成为国家未来水环境工作的重点，如何利用智慧平台预测和维护未受损的河湖水系、治理和修复已污染的水生态系统将是水环境保护工作的趋势。掌握水环境生态系统的演进过程和规律是开展这些工作的关键步骤，水环境数学模型在智慧平台管理应用中将发挥重要的作用。
　　1.2 地表水环境数学模型简述
　　1.2.1 水动力学模型
　　近代以来，对于实际液体的水动力学模型，始于 Navier和 Stokes分别于 1821年和 1845年推导出的纳维-斯托克斯方程( Navier-Stokes equations，即 N-S方程)。之后，法国科学家 Saint-Venant于 1871年首次提出了计算河道及河网水流的一维运动基本方程——圣维南方程( Saint-Venant equations)，将一维水流运动的速率变化转化为对流项、扩散项和源汇项。一维模型计算水力变量的横截面平均值，主要计算变量是水面高程和流量，其水体的几何形状通过“横截面”来描述，能量损失参数是主要校准变量。一维模型适用于相对较长、狭窄和浅水水体的长期模拟，主要应用于河流系统。 20世纪 60年代后，随着圣维南方程的广泛应用，各种求解方法的数值稳定性和精度问题得以深入研究。同时，平原地区河道交错，水流流向 /流速易受潮汐、水利调度等影响，由此催生了涉及面更广的河网模型 [1]。
　　自 20世纪 80年代以来，随着计算机运算能力的提升，模型的运行速度得到质的提升，二维水动力模型得到广泛应用。二维模型可分为垂向二维模型和立面二维模型。垂向二维模型计算水深、垂向平均的水流方向以及横向速度分量的大小，在垂向二维模型中，湍流与摩擦损失必须进行估算，湍流通常使用湍流涡流黏度模型(如恒定涡流黏度、混合长度模型或 k-ε模型[2])。垂向二维模型可考虑到水工建筑物和一些附加过程，如科里奥利力、自由表面大气强迫和波传播 [3]，适用于模拟具有复杂几何结构(如河流弯曲和分叉)的河流、漫滩 [4]和大型湖泊、河口和沿海水域 [5]中的流体动力学。立面二维模型常用于模拟湖泊和河流系统的分层情况 [6]。
　　三维水动力模型是在 20世纪 90年代发展起来的，常用于复杂的河流、水工建筑物周围的水流、湖泊和水库动力学，以及沿海、海洋和河口水动力学 [7]。三维水力模型所需的数据包括河床高程和底摩擦损失，每个空间单元对应于底水界面计算网格，以及该领域任何结构的几何描述和湍流模型，主要校准目标是河床粗糙度和紊流模型 [8]，以及泥沙输移和水质建模所需的其他参数。水动力学模型是地表水环境模型最重要的部分，是其他模块应用的基础。水环境模型整体质量的优劣往往取决于水动力学模型的构建。
　　1.2.2 水质模型
　　自 1925年 Streeter和 Phelps建立 BOD-DO耦合模型( S-P模型)至今，水质模型已经历了 90多年的发展历程。从单项水质因子发展到多项水质因子，从稳态模型发展到非稳态模型，从点源模型发展到点源和面源耦合的模型，从零维完全混合模型发展到一维、二维、三维模型 [9]。当前广泛应用的水质模型，是在水动力学模型的基础上，根据物质守恒原理，将各种污染物质在水体中发生的物理、化学和生物变化加入模型之中。水质模型的发展过程大致分为以下四个阶段 [10]：
　　第一阶段(1925～1965年)，简单的氧平衡模型阶段。集中于模拟河流系统中不同水质成分之间的基本相互作用，主要是氧平衡的研究，包括沉积物需氧量、藻类光合作用和呼吸作用，也涉及一些非耗氧物质的研究，并不断地在 S-P模型的基础上进行修正。该模型具有简单、一维、稳态的特点，用于制定河流污染控制策略。
　　第二阶段(1965～1985年)，水质模型迅速发展阶段。模拟对象由单项水质因子发展为多项水质因子，从最开始的氧平衡模拟延伸到对氮磷循环、沉积物、水生动植物等因子的研究，开始考虑污染物不同形态对环境的影响，模拟维度也升级到二维和三维，在模拟状态出现了动态模拟，后续列入其他污染源、底泥、边界等的作用。例如，美国研发的 QUAL-Ⅰ系列模型，该模型可应用于河流综合水质规划和管理 [11]，同时期研发和推出的模型还有著名的 WASP(water quality analysis simulation program)模型[12]。目前国内外开发较为成熟的水质模型还有 EFDC、MIKE、Delft3D等，这些模型主要用于研究水质污染的机理和定量计算。如 Fukuda等[13]建立了越南红河三角洲稻田的溶解氮模型，实现了对稻田地表水中溶解氮浓度的估算，也可直接应用在水环境治理中。值得注意的是，水质模型的使用主要受各国法律法规的驱动，因此模型通常特定于一个国家、机构或水资源，如 SWAT模型广泛使用的主要原因之一是其已被纳入美国环保局的建模框架“流域”，供政府机构和流域管理当局使用。
　　第三阶段(1985～1998年)，水质模型研究深入和广泛应用阶段。许多复杂的水质过程被纳入模型系统，模型的精确性和准确性都有很大的提升。例如，考虑沉积物“土-水”界面动态过程的沉积成岩模型 [14]，重金属、有毒化合物被纳入水质模型状态变量。水质模型应用的范围扩大，涵盖河流、湖泊(水库)、河口、海岸带等，并被尝试与水动力模型、面源模型对接。这一时期是理论发展、程序开发和应用拓展的快速时期。
　　第四阶段(1998年至今)，水质模型集成化和使用设计人性化阶段。以欧美国家为主，开发了诸多水环境模型，将水动力学、水质、泥沙、生态等模块集成，并提供了模型网格生成器和前后处理工具。一些研究人员为对部分水质变量进行更加精细的模拟，对特定模块加以修改和开发，如 Bowen和 Hieronymus[15]为 CE-QUAL-W2模型增加了沉积物成岩作用，并开发了一个经验推导的消光预测； Zhang等[16]增加了 CE-QUAL-W2模型中的底栖沉积物过程和沉积物-水相互作用； Chen等[17]在 EFDC模型中将底栖和浮游大型藻类作为单独的状态变量进行模拟，并添加了沉积物成岩作用模型，模拟流域负荷和底栖营养盐通量之间的相互作用。不同模型之间的联系也逐渐被建立，如 EFDC模型可将 HSPF输出作为边界条件，模拟河流的水动力学和生化反应，也可与 InfoWorks CS耦合，用于城市地区的水文和水力建模 [18]；SWAT模型的输出可应用于 CE-QUAL-W2模型[19]，用于水库藻类和营养水平的管理，也可与 SUPPORT(城市雨水处理和分析集成系统)模型相结合，以模拟流域湿地实施方案的影响 [20]。WASP模型不仅能与 EFDC、DYNHYD、RIVMOD、CE-QUAL-RIV1、SWMM等模型进行不同程度的连接，还已成功地与下列内容耦合：用于水动力模拟的有限元水动力( FEM)模型[21]，用于模拟地表水流水力变化对地下水影响的模块化有限差分地下水流(MODFLOW)模型和模块化三维传输(MT3D)模型[22]。新兴技术也逐步被引入模型系统，如人工智能提高了水质模型的预测水平[23]，遗传算法、模拟退火算法强化了参数识别 [24]，神经网络明晰了河网物理结构[25]。
　　在世界范围内，水质模型越来越多地被应用于大型流域的“大型集水区”。例如， SPARROW模型已被用于评估密西西比河和阿查法拉亚河流域( 300万 km2)的 TN和 TP来源[26]；eWater Source模型正在被用于预测澳大利亚大堡礁流域( 42万 km2)的沉积物产量[27]，这些模型旨在帮助做出大规模的管理决策，这将对资金安排产生重大影响。此外，世界各地正在制定环境预测方案 [28]，政府机构希望能够在潜在的极端事件压力(洪水和干旱)下大规模预测水质变化，而水质模型面临的自然复杂性、空间异质性和数据稀疏在大规模应用中更为严重 [29]。为了应对这些挑战，需要更加确保开发或使用的模型具有适当的复杂性。对于国内而言，大数据驱动下的管理系统，如生态环保大数据服务平台、污染源统一数据库和“互联网 +监管”一体化政务服务平台等生态环境信息化的建设需要与数学模型适当结合，并利用新兴的计算机技术处理大量数据，以更加智能化、自动化地实现预测和维护未受损的河湖水系，治理和修复已污染的水生态系统。
　　1.2.3 水生态模型
　　水生态模型是描述水生生态系统中生物个体或种群间的内在变化机制及其与水文、水质、气象等因素之间的相互影响和关系的复杂模型，主要应用于定量研究水体富营养化、生物富集以及水体食物网等问题 [30]。
　　20世纪 70年代初期，Vollenweider提出的简单总磷模型成为水生态模型的基石 [31]，总磷模型理论简单，有利于全面模拟水体的富营养化，但是其只把一种营养盐(如磷)视为限制性营养元素，难以反映多种养分的相互影响及其对生态系统的