挑战思维极限(勾股定理的365种证明)

作者简介

李迈新，1999年本科毕业于大连理工大学土木工程系，2001年至2002年在大连理工大学软件学院攻读计算机软件双学位。2003年至2007年从事软件开发工作，2007年以后从事软件和数学方面的教育和培训工作。

内容简介

第1章 分块法 分块法的主要思想是为了证明两个图形的面积相等 ,先将两个图形分割成一些数目相同的图块 ,然后证明每组对应的图块面积相等 ,即可证明两个图形的总面积相等. 在证明两个不规则的子图块全等时 ,往往需要用到下面的多边形全等判定条件.它可以看作是判断两个三角形是否全等的角边角定理在多边形中的推广. 定理 1.1如图 1.1所示 ,设两个多边形 A1A2 ··· An和 B1B2 ··· Bn同时满足如下条件,则它们全等. (1) 两个多边形的边数都为 n. (2) 各内角对应相等,即 ∠A1 = ∠B1, ∠A2 = ∠B2, ··· , ∠An = ∠Bn. (3)有 n . 2条连续边对应相等,即 a1 = b1,a2 = b2, ··· ,an.2 = bn.2. ～ 证如图 1.1所示 ,由 a1 = b1,a2 = b2, ∠A2 = ∠B2可知 LA3A2A1 = LB3B2B1,故 ∠1= ∠1d,A1A3 = B1B3,又已知 ∠A4A3A2 = ∠B4B3B2, ～ 所以 ∠2= ∠2d,于是由边角边定理知 LA1A3A4 = LB1B3B4,同理可证 ～～ LA1A4A5 = LB1B4B5,依次类推直到 A1An.2An.1 = LB1Bn.2Bn.1.于是可知 A1An.1 = B1Bn.1, ∠α = ∠αd, ∠An.2An.1An = ∠Bn.2Bn.1Bn. d 再由 ∠3= ∠3d, ∠4= ∠4d, ··· , ∠α = ∠α可知 ∠A2A1An.1 = ∠B2B1Bn.1, d 再从 ∠A2A1An = ∠B2B1Bn可知 ∠β = ∠β.然后根据角边角定理知 ～ LA1An.1An = LB1Bn.1Bn.故 An.1An = Bn.1Bn,AnA1 = BnB1.从而 A1A2 ··· An和 B1B2 ··· Bn对应角相等,对应边也相等,因此它们全等. 在应用定理 1.1时,条件 (1)和条件 (2)往往是容易验证的 .所以本书中在判定两个图块全等时 ,一般只需证明它们满足条件 (3)即可 .参见后面的证法 1和证法 4. 图 1.1 1.1分块对应法 分块对应法是最直观的分块法 ,它的要点是将两个图形分解成对应全等的子图块 ,并为每组对应的图块进行相同的编号 ,从而得到两个图形面积相等的结论 .在参考文献 [2]中有很多用分块对应法证明勾股定理的例子 ,比如下面的证法 1 ～证法 7,它们都非常有代表性,都可以看成弦图 (见第 6章“拼摆法”中的图 6.1)的变种.请读者自行体会其中的演变. 证法 1如图 1.2(a)所示 .显然四边形 SMCF和 LHBR的四个角对应相等,以及 BH = AB = MC, BR = AC = FC,由定理 1.1知这两个四边形全等.再截取 AX = GM = b . a(AM = RtLMGS. = BC = a),易证 RtLAXT ～故 XP = b . (b . a)= a = BE(AP = BR = AC = b),再由 KP = BC和定理 1.1可知两个直角梯形 TXPK和 NEBC全等. 综上所述 ,可知子图 (b)中编号相同的图块各自对应全等 ,即大正方形面积为两个小正方形面积之和,于是立得 c2 = a2 + b2 .口 证法 2如图 1.3所示,仿照证法 1易证各同编号的图块对应全等,于是立得 c2 = a2 + b2 .口 证法 3如图 1.4所示 ,其中图块 4为直角梯形 ,高和下底均为 a.仿照证 图 1.2 法 1易证各同编号的图块对应全等,于是立得 8 SABHK = 8Si = a 2 + b2 = SBCDE + SACF G.口i=1 图 1.3图 1.4 证法 4如图 1.5(a)所示 ,截取 PW = CL,则有 BW = XL =. ～ RtLBZW = RtLXBL,故 WZ = BL = RH.再截取 XU = VZ.作 UQ ⊥ XY ,则 RtLXUQ ～= RtLV ZE.于是有 UQ = ZE.XQ = VE =. QY = VD.又易知 BZ = BX = CP ,故 BE . BZ = CD . CP ,得 ～ ZE = PD =. RtLZEV = RtLP DJ =. PJ = VZ = XU.再考虑到 BJ = AB = LR,于是可得 LR.LX .XU = BJ .BW .PJ =. UR = P W. 图 1.5 现在可知两五边形 PDV ZW和 UQY HR有三组连续边对应相等 : RU = W P, UQ = P D, QY = DV ,又显然可以看出这两个五边形的对应角相等 ,于是根据定理 1.1知它们全等. 类似可证子图 (b)中其他编号相同的图块对应全等,最后可得 c2 = a2 + b2 . 口 证法 5如图 1.6(a)所示 ,截取 BU = CP , SZ = QU,仿照证法 4可知 BP + QU = c,于是 LZ = BP ,再考虑到 ZV = UE = PD, LW = CP = BU,便可根据定理 1.1知五边形 LZV Y W和 BP DQU全等. 易证 TL = AC = CF , KL = RC,根据定理 1.1知四边形 KLT X和 RCF M全等.又易证子图 (b)中其他同编号的图块对应全等,故 c2 = a2 + b2 . 口 证法 6如图 1.7(a)所示 ,作 KP I AC交 CR于 X,显然 CX = AK = BH,于是 CXHB是平行四边形,故 XHIBCIAN.从而 ∠PXH = ∠CAN = 90. .= CT ,可知 RtLPXH ～ 再考虑到 PX = RtLTCB. 图 1.6 图 1.7 现在截取 BZ = CT,XU = WZ,再仿照证法 4可证子图 (b)中其他同编号的图块对应全等.于是可得 SABHK = 87Si = SACFG + SBCDE .口i=1 证法 7如图 1.8(a)所示,截取 KL = CT , BP = CN,并将两直角边上的正方形按子图 (b)进行分块和编号 .然后在子图 (c)中作内正方形 ABHK,截 取 AX = KM, CI = HN.再将正方形 ABHK按子图 (d)进行分块和编号. 图 1.8 容易验证子图 (b)和 (d)中相同编号的图块对应全等,故 SABHK = 88Si = SACFG + SBCDE .口i=1 下面的证法 8利用角分线进行分块,别有一番情趣. 证法 8如图 1.9(a)所示 ,作 AB的三条平行线 GY , RP和 EX.易知 ∠10 = ∠4, ∠6= ∠9,再由 AC = FG可知 LGF Y ～ = LCAR.现在作 CL平分 ∠ACB,则 CLIAF IBD.且 ∠5 = 45. = ∠7=. CA = AM,再考虑到 ∠1= ∠3, AK = AB,可知 LAKM ～ = LABC,于是 ∠AMK为直角,同理可证 NH ⊥ BN.设 SM和 NT分别为 ∠AMK和 ∠BNH的平分线,则由 ∠8 =45. = ∠4, ∠6= ∠3= ∠1, AM = LCAR. = AC可知 LAMS ～同理可证 LHNT ～ = LCAR.综上所述 ,我们就证明了子图 (b)中所有编号为 1的三角形彼此全等 .类似可证子图 (b)中其他同编号的三角形彼此全等,于是由子图 (a)和 (b)立得 SABHK =2 84Si = SACF G + SBCDE.口i=1 历史上还出现过和图 1.9(b)类似的另外两个分块方案 ,即参考文献 [2]中的第 19个和第 24个几何证法 ,我们把它们集中到图 1.9的子图 (c)和 (d)中,使读者有一个更全面的了解. 图 1.9 下面看一个利用正方形的对角线 (其实也是角分线 )进行分块的例子 ,即证法 9. 证法 9如图 1.10(a)所示,截取 GM = CL = a.易证 ALNM和 XZY W都是边长为 b . a的正方形 ,所以它们面积相等 .再从 ∠2= ∠4= ∠5和 ∠2+ ∠1 = 90. , ∠5+ ∠6 = 90.可知 ∠1= ∠6.现在截取 KS = b. a = MN,再由 MF = AB = ∠KSH可知 LFMN ～ = KH及 ∠MNF = 135. = LHKS.再截取 BR = b . a,同理可证 LABR ～ = LF LN. 图 1.10 综上所述 ,我们证明了子图 (b)中所有编号为 2的三角形彼此全等 .类似可证子图 (b)中其他同编号的图块对应全等,于是由子图 (a)和 (b)立得 SABHK = 2(S1 + S2 + S4)+ S3 = SACF G + SBCDE.口 1.2镶嵌法 前一节介绍的分块方案都是历史上比较经典的案例 ,体现了数学爱好者的智慧 .到了 21世纪 ,随着计算机技术的发展 ,人们又发现了用计算机批量生成勾股定理证明方法的途径. 在参考文献 [6]中就描述了这样一个新颖的思路 :构造两种不同的正方形瓷砖,边长分别为 a和 b.把它们按图 1.11所示的方式进行摆放,显然可以铺满一个无穷平面 .现在再构造一个边长为 c的瓷砖 ,把它随机地放到平面上的任意位置 ,那么随着瓷砖 c每放到任何一个不同的位置 ,都可以得到一个不同的分块证法.这个思路的英文原名是“Tessellation”,中文可以理解为“镶嵌” ,这即是本节名称的来源. 在参考文献 [4]对应的网址中有一个镶嵌法的计算机动画程序 .下面的图 1.11 ～图 1.19介绍了该程序的不同演示效果. 证法 10如图 1.11所示, W、X、Y、Z分别是四个大正方形的对称中心 ,将它们连接起来 ,显然 bb ( b \\\\ LX =+= b, LW = WP . LP = a + . 22 2 2 b = a.故 XW = c.类似可知 MY = b = LX, MX = a = LW，= RtLXWL. 故 RtLY XM ～得 YX = XW , α+β = α+γ = 90. ,知 XY ⊥ XW .类似可证 WZ = YZ = XY .故 WXY Z是边 长为 c的正方形.易知 ① S1 = 14 b2 .于是立得 图 1.11 c 2 = SWXY Z = S2 +4S1 = a 2 + b2 .口 下面将图 1.11中的正方形 c向右平移 ,使其两条边分别过最右侧的小正方形的两个相邻顶点,即可得到图 1.12的分块方案,详见证法 11. 证法 11如图 1.12(a)所示 , A、B、C、M分别是三个小正方形的顶点 , AB交 CM于 W点.然后截取 NL = a, TN交 BL于 Z点.用类似过程可作出 X点和 Y点,易证 RtLABC ～= RtLBLN. = RtLCMB ～ 图 1.12 ①从正方形的对称中心作两条相互垂直的直线 ,必四等分正方形的面积. = RtL理可证 又 和 = = = = = = = = = = 合, S2 + S4 = = = = = = 图 1.13图 1.14 勾股定理是初等几何中遇到的第一个比较重要的定理，该定理是许多后续定理的基础。1977年的高考试题中，有一道题目的内容就是“证明勾股定理”，出题人是我国著名数学家潘承洞。而勾股定理的证明方法也是多种多样，各有特色，国外已经有学者整理出了该定理的300多个证法，而国内目前列出了近50个证法。本书精选了有代表性的365种证法。这些证法大多只需初中水平，各种思维模式能让读者脑洞大开，挑战思维极限。